А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Закроем вш нечетные золы. оставив открьпыми четные. В результате получается зшасппзка, называемая:згпшой (рис. 153). Амплитуда прошедшей через пластинку световой волны на оси 3 в точке В может бьзть рассчитана с помощью спирали, изображенной на рис. 147. Амплитуда от нулевой открытой круглой зоны дается вектором МсМ„от второй кольцеобразной открытой зоны — вектором МзМз, от четвертой — М,М, и т. д. Все зти векторы имеют одинаковое направление, т. е.
фазы комплексных амплитуд отличаются на 2ат (т — целое число). цозгом у осуществляется'интерференция возж с усилением. Следовательно, в ючке В на осн происходи з значительное усиление шп енснвпостл света, т. с. в этой точке свет фокусируется. Зопная пластинка ведет себя кнк линза.
пудам считать, что г(сдающие на пластинку лучи параллельны, т. е. л = оз. Тогда точка .на осн, в которой собирауртся лучи, ведет себя как фокус линзы, совпадающей по положению с ханной пластинкой, если се фокусное расстояние у' = /. При Я вЂ” со формула (31.10) принимает внд гз = (гл+1)/Х (31.1!) ! (! 32 Приближаю»о Кирхгофа Выволвтов формулы тоории лифраииии в ириблииоиии Кирвгофа. Формула Грина Из теоремы Гаусса — Остроградского »д(т АЙР= ФА дй и положив А ФйгабС вЂ” СйщдФ, (32.1) (32.2) находим 1 (Ф»ул6 — Сж'Ф) 6 = ф(Ф вЂ” "6 — 6-~~)66. (32.3) Злесь (д 6/дл)ду = йгад 6 дй, (дФ/дл) дб = ба Ф дБ, т.
е. д 6/дл и дФ/дя янляются производными по длине параллельно внешней норман» к замкнутой поверхности Я; 1' — объем, ограничиваемый поверхностью 8. Формула (32.3) называется второй форму юй 1 рю»а О»ы нрпмоппмз ям ли»!»упк»»»»»» Ф и 6. ят первые и яторыс час»пыл прои пилиыс»»с~»рсрь»яы»» ы»у»рп объема 1' и пи и ысрхностя Л' Теорема Гельмгольца — Кнрхгеф»ъ Распространение световых волн в снободном пространстае описываепж уравнением (2.12). Полагая в случае монохроматнческ»ж волн Ф(г, ») = Ф(г) е (32,4) находим для зависящей только от простринственных координат амплитуды уравнения тугф+/»вФ б (32.5) тле 1»з = тоз/сл = (2л/),)т, 1 — длина волны. Применим формулу (32.3) к объему гг, ограниченному поверхностью Ю (рис, !55).
Обозначим Ро фиксированную точку внутри обью»»а, а Р» — переменную точку (любую точку пространства, отличную от Ро) Принимая Ро за начало отсчета, координаты точки Р» можно хцратеризовать радиусом-векторам го». Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция 6(Р»») = ехр (1/»го»)/го» (32.6) уловлетворяет уравнению (32.з» для всех точек, отличных от Ро. В обозначении 6(РО в (32.6) учтено, что точка Ро припяти за начало координат и'нет необходимости ее указывать, а при подстановке 6(Р») в (32.5) производные вычисляются по координатам точки Р».
Функция Ф, описывающая злехтромагнитную волну, непрерывна во всех точках. 1. Он не решает вопроса о законе ослабления амплитулы вторичных волн в зависимости от зщ направления распространения. Эту зависимосп приходится постулировать, чтобы обеспечить отсутствие обратной волны. фзх 2. Метод Френеля дает неправильную фазу волны. Фаза на фронте волны принимается по определению равной нулю. Позтому амплитуда волны валяется вектором ОА (рис. 154). Вычисленная по методу Френеля амллитула задается вектором ОВ, т. е. вычисленная по методу Френеля фаза отличается от Фактической фазис волны на я/2. Хотя дпя многих практически важных явлений, зависвцих от Модуля амплитуды, зта разница в фазах несущественна, она все же с теоретической точки зрения имеет принципиальный характер и должна быть объяснена.
Это удалось сделать лишь в более строгой теории дифрыщии, основанной на интеграле Кирхгофа. 2!4 Поскольку в точке Р, =Р, фушщия 6(Р,) обращается в — бесконечность, я ее производные терпят разрыв, к ией нельзя а применить формулу Грина для всего обьема /у. Поэтому оу.'рууким точку Р, небольшой сферой. радиусом а с центроМ в точке Рл. Обозначим площадь повеРкности сфеРы Я„а ОгйаничиЛ "б РИ.В~"Ь' рафу ю О(Р,)уд воряет всем условиям прнмащмости (32.3). )Учитывая, что ( (ж'6 — 69 Ф)дйм1( — й'Ф6+йУФ6)да=0, (322) и у — и е получаем (Ф вЂ” — 6 -~„— ) ЙЯ = 0 лев дл ) (Ф дп 6 Ю)дЯ ( (ФУ 6-д2йФ-)бб (329) е Для точек Р~ иа поверкности Я им~ем -2й- = агаб, г„, п = сов (в, г„) дгее Л (М.10) и, следовательно, д6/дл = соз(е(, гл~) (!/е — 1/ге~) 6.
(32.! 1! В (32.10) индекс 1 в обозначении операции градиента показывает, что граднеат вычисляется по координатам точки Ро т. е. йгаЬ гле = гее/геь,Очевидно, что йгаде ге = гее/г1ви, следовательно, йгад, ге = — йгаде гее. Дла то4ж Р! Иа поиеРхноети Яе 6(Ре) =е'"/е, д6/дл = — д6/де =,(1/в — Й).6. (32.12) При е - О, поскольку Ф и ее производные непрерывны, полу- чаем ~ ( — — — ") =~с — "."' +— — Ф е ( — — !/е)) 4уш' ~ = — 4ИФ(Р ).
(32.13) Поэтому (сы (П.9)) (32.!4) гзе К виввлу уелевви иелувелив (328) грз К вииелу ииуегралввва гееремее Квригефв — Гелвмгалеив Заметим, что внещиаа ноРмаль п на поаеРкности Бе, ОгРаничи вагощей объем у" = !' — !м направлена внутрь обьема !'» (рис. 155). Из (32.7) и (32.3) следует, что Эта формула позволяет аычяслвть знавшим функции,Ф в любой точке внутри объема, ~пей этот объем, Ова называегск интегральной теоремой Гельмгольца- — Кнрхгофа н является огневой скалярной теории дифракцни. Функция Ф в (32.14) должна удовлетворять волновому уравненг(нх Поэтому значеник Ф я дФ/ди на повеРхносгн нельза задать пРоизвольно.
следовательно,(32.14) не Явллетса фоймУ- лой, по которой можно вычислить Ф(Ре), а предсгацляст собой янтегральнсе уравнение относительно Ф и кажущаяся простои вычислешы Ф(Рс) обманчива. Физический смысл фУнкции 6 =ехР((йъ)(геь входащш в (32.14Ь Яозг из сопоставлеииа этой функции с правой частью (2.43) Видно,. что 6 представляет зависящую от координат часть расходящейся вз точки Р~ сферической волны. Условие нзлученип Рассчотрим типичную ситуацииь 'в которой изучается днфракция (рис 156).
Имеется большей (бесконечный) экран Я с одним илн песколькимн отверстиями, иа который падает свет, и наблюдается распределение интенсивности света, прошедшего перез отверстШЬ т. с Двфракпня в пространстве за экраном Значение Ф(Ре) может быть выражало по формуле (32.
Щ причем ограничивающая обмм поверхность состоит из двух частей: плоской поверхности Я и части поверхиосш З сферы рациусгхн А с деигром в точке Рь Интегряг((32.14) прелставляетса в виде суммы двух интегралов — по поверхностям Я и Юь Оценим интеграл по Ю, при А — ео. Так как для точек поверхности л,' (32,15) то Обозначим й телесный угол, под которым видна поверхность Я, вэ точки Р,.
Учитывшь что в (32.1б) бб Азбй, находим а ева'~ АГ СФ (й 1 )Ф)ба Сл А (Я.17) Этот интеграл равен ну~ро при А — е, если выполняегслусловве излучения (О. 1й) При этом формула (32.14) для Ф(Ре) в ситуации, изображешгой ва рж 15б, не нзменяет своего вида„но под 8 понимаепп не вся замкнутал поверхносгь, охватывагощая точку Ра, а только плоская бесконечная поверхность, обозначенная на рнс.
15б также 8. Можно указать на некоторыс соображения, показывшощие, что условие (32.18) в реальных физические ситуациях действительно выполняетск При ко)говном размере отверстия н конечном Расстоанни межлУ отвеРстием н точкой Рс фУнкцив Ф должна пРи А - со описывать сфеРнческую 'волну, т. е. должна иметь вид Ф(А) ел~/А. (32.19) Тэк как ~ =,(ж — — )Ф, Ел СА ' и (32,20) ,ели известны значения функции и ее производной по нормали на поверхносш, ограивчиваю-— 1/го ( й, (32.21) называемое условием оптического приближения. При его выполнении можно положить — ( — ) = соз(п,го«)(й — — ) —.
Йсоз(в, го,)е'""' /го« д е'х"' 1 е 'х'"' Л и„, ди го, 'о« "о« (32.22) н представить формулу (32.14) в виде Ф(Ро) = — ! — ~ — — ИсФ сох (п го«)1 <И е«х««дф Л М, го«ди (32.23) Формула дифрвипив Фреиелв — Кнрхгофа Пусть на отверстие падает сферическая волна, исходящая из точки Рз,«(рис. 157): Ф(Р«) = Ае и™/г «г. (32.24) Учитывая, что ' дгп/дл = сов (~Х Ух«) = — соз(п, гп) (32.25) находим в оптическом приближении дф/ди —.Йсоз(п« ~«х)ев™/г«з.
(32.2б) Следовательно, формула (32,23) принимает внл й е'хц +"и Л Л Ф(Ро) = — А — ! (соз(в, г«х)+сох(п, го«)]«35 4к з, "о«гм (32.27) (Яо — площаль отверстия), поскольку подынтегрвлъное выражение на непрозрачных частях экрана равно нулю. Равенство (32,27) называется 4юрмулой д„фрахшм Фре««соя . — Кирхгой«х то полынтегральное выражение в (32.17), а следовательно, и интеграл действительно равны нулю, т. е. Условие излучения (32.18) выполняется. Пряближешп Кирхгофж Для того чтобы формулу (32.14) исполыовать ю как интегральное уравнение для нахождения Ф, а как формулу для вычисления Ф(Ро) по известным значениям Ф и дф/ди в точках плоского экране, Кирхгоф предложил следующие правила для определения их значений в плоскосш экрана 1.
На отверстиях Ф и дф/ди имеют такие же значения, какие о«и имен«бы при отсутствии непрозрачных честен жрана. 2. На непрозрачных частях экрана Ф =-О, дф/ди †- й Выбор тра««и««ных условий в соответствии с этими правилами приводит к решеюао залах дифрахцив в приблв«жеинц К««рхгофа Гранич««ыс у6«ов««я 1хирх«офа никоглз точно «и вь«полняютск а) ва краях отверстий должны соблюдатьсх оцредсленньп граничные условия, которые в принципе можно найш в сост«пт ствиц с электромагнитной теорией сита; б) за экраном не может быль резкой тени, т. е. скачко.
образного обращения Ф в нуль. Однаю при линейных размерах отверстий,много больших длины волны, краевыми эффектами можно пренебречь и граничные условия Кирхгофа являютхн хорошим приближением к действительности. Оптическое прибил«кение Поскольку в видимом диапазоне ).м 1 нм, практически во всех представляющих интерес случаях соблюдается условие Теорема взаимностл Гельмгольца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
