А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для различных 6 (т. е. при различных в)) ломаная кривая может быть замкнуш один раз, дна раза и т. д„т, е разность фаз волн от крайнвх щелей решетн рав 2я,4я, —. Поэте у ус вве мш му в ам нтуд в днфракционнгй картине записывается в виве А)а) А(а) А)а) та) р в г г ) )))Ам~ ыв Сломанно комалекеныв амплае)л, правелюмм к обавеоаннпю 3ВВВВМВ мвкеВмтмое (33.38) илц поскольку 6 =Ы в)п В) = 2ле/яп б)/Х, (33.30) твк квк при и = О, Ж, 261, ... отношение н/6) становится целым числом (гл =и/1)) " [33.3т)) превращается в условие главного ыаксимуала Условие (33.38) дла минимУма может быть, конечно, получено и из (33.35): )7) сломенпе коъюлекепыа амплнгтл, прпволпюее к обреюааанм МВННМЕМВВ яп (ЖЬ/2) = О.
(33.40) 17З Обмой аабаатор лафвааааоааой аабтаам ог маета молой (боз ообоюлоааа маошгабоа) Отсюда следует, что )ч'8/2 = ия (и = О, 1, 2, ...) совпадает с (33.383 Если и/!х( = иь то ип )чп/пп и остается калечным и обусловливает возникновение главного максимума Из (33.39) заключаем, что между двумя главными максимумами имеется (ч' — 1 мшимумав, ясно„что межлу минимумами далэхъь быть максимумы.
которые называются вторичными Следовательно, межэп двумя, главными максимумами имеется Х вЂ” -2 вторичных зшксимумав, Это позволяет, зная число Ж щелей, выяснить общий характер дифракционнай картины, а по формуле (33.3э) найти относительные значения модулей амплитуд и интенсивностей различных частей дифракционной картины. На рис. 172 показан общий характер распределения модуля амплитуды пшэ шести шалях ()((=6) без соблюдения масштабов.
Дифракцбы белого света на решетка каждая из волн различной длины дает свою дифракционную картину. Из условия Иб(п а = сиХ виднц по угол с для фиксированного т увеличивается с увеличением ). В нулевом порялхе интерференций т =0 центральный максимум ~р =0 совпадает для всех волн Поэтому в центре образуется белая полоса Затем идет первый поряпок интерференции (т = 1) Линии интерференции первого порядка не перекрываются линиями интерференции второго порядка. Перекрытие различных порццкав наступает при тХ=т'Х', гле )., ).' — длины волн; т, т' — порядки их интерференции.
Для видимого спектра 1.0,76 10 а = 2.0.38 1О ", (33.41) т. е. длиииаваонаваа гранина первою порядка спектра попадает эп самее начало коротковолпйвой границы второго парилка спектра и, следовательно, первый порядок видимой части спектра ие перекрывается вторым поряльом. Второй и третий порядки спектра перекрываьэтся. Как видно из (33.4!), это обстоятельство обусловлено тем, что видимая часть спектра занимает одну октаву. Дисперсшшная область Для дифракпионной решетки она определяется так же, как пслу ае интерферометра Фабри — Перо (аи. 8 28), и находится по формуле (28.34); У дифрахпианнай решетки обычно наблюдаются спектры низких порядков (эл = 1, 2, 3, ...), поэтому днсперсиониал обласзь оказывается очень большой (ЬХ =)„Ьй =) /2, Л)..=-1)3). В частности, в первом порядке дисперсионная область решетки совпадает со исем видимым спектрам.
Разрешающая способнасть Для дифракционной решетки она определяется так же, как и в случае интерферометра Фабри — Перо (см. 8 28), однако в качестве услоши разрешения линий принимается условие рэлеж линии считаютсл разрешенными, если максимум юпеисивиасти одна! попадает на минимум интенсивности пру~ай. Из (33.39) видно, чта главный максимум возникает при и = т)ч', а соседний минимум — ' при л=т)9+1. Следовательно, по (33.39) для соответствующих углов можно написать Ибш ааа.о =тп1Щ(б =т), (33.42) ю(б(п ~р„„„= (т)б+1)ЦМ = (т+1/М)Х. Для длины волны Х1 =). +Ы условие главного максимума порядка т имеет мщ ~(б(п.о'маао (33.43) По условию Рэлея линии считаются разрешенными, если <р„и, = ч/11„, .
С учетом (33.42) и (33.43) это условие записывается в виде )гл+ 1/))Г)Л = т(Л+6Л). (33.441 $33 Отсюла для разрешающей способности решетки [см. (рис. 28.22)) нахолнм 'т'=Л/Ы = )Чт. (33.45) Так как число ЬГ щелей в решутке дос(игает многих десятков тысяч, ю се разрешающая способность большая Длн повышения разрешающей способности необходимо переходить к большим значениям порядхв т интерференции Однако т ограничены углами отклонения и ..-. ;.
к/2 н, следовательно, зш д .в (33.36) ш может быль больше единицы. поэтому гл„„, =.г//), и (33.46) равно числу волн, укладывающихся на полной ширине решетки. Следовательно, максимальна» разрешающая способность ив зависит ог числа щелей и ог того, как па квзкдом периоде з( рец)атея распределяются между собой прозрачная и непрозрачная части. Решетки с большими Ь/ обладают существенными преимуществами У ннх значительно' лучше угловая дисперсия и отношение изменения бф в у~не нри изменении длины волны к Й., равно (ЗЗ 47) Р = Ьф/ЬЛ. из (33.36) находим д спз ср (йр =. гл Ьл н, следовательно, (33.48) Р = ш/(т/соз ф). Поэтому у днфракпионной решетки с малым г/ угловая дисперсия выше Это означает.
иго заданная угловая днсоерсия на ней достигается при меньших порядках гл интерференции, что очень важно, поскольку на меньших порядках интерференции интенсивности максимумов больше. Кроме того, при малых т больше дисперсионная область. Поэтому практическое значение имеют решетки лишь с достаточно большим числом ))Г периодов и большой общей шириной Лучшие реше.пи имеют до !5 оц ширины и содержат около 100 000 периодов.
Отражательные дифраиционные решетки. Если вместо щелей на решезхе нахолятся хорошо отражающис участки, а вместо непроницаемых участков — участки, поглощающие свет, то в отраженном свете наблюдается дифракпиоиная картина, аналогичная картине в проходящем света Действующие в отраженном свете решеткй называются отражательными. Если. непроницаемая часть решетки достаточно хорошо отражает свет, а щель хорошо пропускает, то решетка может одновременно действовать в качестве дифракционной решетки как в проходящем, так и в отраженном свете Период И обеих решеток одинаков а смысл величин и ц Ь противоположен: в формулах для интенсивности они меняются местами. Дифракция ва шелн с непрерышадч изменением фазы волны.' Допустим, что в щель помещена призма с показателем преломления л (рис.
173). При прохождении плоской волны через призму иа выхоле из щели у волны образуется сдвиг фаз, изменяющийся вдоль щели. Как и прежде; начало координат предполагается находящимся в середине щели. Считая угол и у вершины призмы малым, можно толщину призмы в точке с координатой у' считать равной пЬ/2+ау'. Оптическая толщина равна (пЬ/2+ау')л, а сдвиг 4аз Дифракция Френеия осущестяияется в Влнмнев зоне.
а дифракцня Фраунгофера — в дальнеВ. Днфракцив Фраунгофери описывается с панащею преоВразованив Фурье. Ь = кл(пЬ/2+ну') + 1<[пЬ вЂ” (пЬ/2+пу')], (33.49) где второе слагаемое учитывает сдвиг фаз прн распространении луча на той части длины пЬ, которую он проходит в воздухе. Поэтому <у в формуле (ЗЗ.В2 записанной для одной переменной (щель предполагается бесконечно длинной), имеет аил Ч (у')=(Ап/Ь) е<з (33.51)) и, следовательно, амплитуда лифрагнрованной волны [см.
(33. 1б)] А =(Аа/Ь) ехр[И<(л+1)АД]х зр х ] ехр [ — 1[й яп Ф вЂ” к(л — 1)а]у']<]у'= Аае'"М " яп ]3 /[3' [3' = )<Ь [яп <р — (л — 1)п]/2, (33.51) !тэ Дифрвкцпн вв июли с иеирерыв- »ыы из»с»синен фивы зонин [А 1 = [А 1~="' и [ = ]А 1 в'и Я~ С вЂ” (» — ) ]/ ] (33 52 Р 1 )<Ь[яп Ф вЂ” (н — 1)а]/2 Видно, что центральный максимум дифракционной картины распоЛагается ив днфракционном угле <р = (л — 1)о, а в остальном характер лифракцнн существенно не меняется (рис.
173). Фаэовые решеппь Если во все щели дифракционнсй решетки поставить призмы, каб это только что было рассмотрено, то максимум дифря<ции сместится на дифракционный угол (л — 1)о Направление на главные максимумы не изменяется, поскольку они обусловлены интсрференпией между волнами от различных шслезь а условия этой интерференции не меняются (разность хода межлу лучами от соседних щелей но-прежнему </в]п <р). Поэтому общий характер интерференционной картины постоянен, изменяется лишь распределение интенсивностей: максимальной интенсивностью обладает пе главный максимум на угле <р =6, а тот главный максимум, который попадаег на угол <р = (л — 1)и или находится вблизи этого угла. Это позволяет работать с более высокими порядками <л интерференции, что улучшаег разрешающую способность, и в то же времл избегать потерь в интенсивности. Решетки, пр< прохождении чере< которые меняется фаза волньь называются фазовыми.
Вариация фалл влоль щели может быть самой разнообразной. Она подбирается исходя иэ требований задачзь для решения которой предназначена фазовая решетка. Амплитудном[аховые решетки. В них при прохождении через щель света существенно изменяется не только фаза, но и амнлитуда волн, т. е. происходит поглощение света. Наклонное падение лучш на ряпетку. Пр< наклоннсм падении лучей на решетку (рис. 174) условипи главных максимумов по-прежнему валяется равенство разности хода лучей в соседних щелях целому числу длин волн [см. (33.36) ) На рис 174 видно, что разноси хода между лучами равна Ь =<3» — Ь' = </яп 8 — </яп <р, О прн «аким успавник днфракцнл Фраунтафера набпюдаетск на налык расстоинилк< цен обьлснпетс» бопьщал днсперсионна» область днфракцнонной рещетии< Мажете пм Вы описать вазнмкиоеенне дмфракцнн на реюетке с понощью представлений о днфракци» на непре.
рывна мзненкющнксл структурах! поэтому условие главного максимума имеет вид А(з!пŠ— !и р) — Х. (33.53) л ча. в33 Будем отсчитывать углы а от направления падающего у Как видно ш рис 174 а=6 — зр. (33.54) Обычно углы дифракции малы, т.
е. о ч 1, поэтому ип  — гйп зр = 2 сов[(8+ зр)/2) в!и [(Π— зр)/2) = = 2 сов 0 йп (а/2) = соз 0 в!и а. (33.55) Обозначая зз" =т(совб' (рис 174), запишем условие (33.53) в форме др з!пи=из)., !74 Наклонно валенке луоея ва ре метку совзидающей с (33.3б) Это означает, по дифракция при наклонном падении лучей на решетку происходит тек же, как при прямом, однако в качеспе периода выступает проекция пернола решетки на перпендикулярное падающему лучу направление (рис.
! 74), т. е. дифракция происходит как бы на решетке с меньшим периодом. Это позволяет наблюдать дифракцию от волн с очень короткой длиной, пользуясь решеткой с большям периодом, когда при нормальном падении волн на решетху никакой дифракции практически не наблюдается. Напомним, что для наблюдения дифракции при нормальном падении лучей период решетки должен быть немного больше длины волны. Например, в обычной патефонной пластннуе расстояние между бороздками, в которых осуществляется запись звука, равно примерно 40 — 50 мкм. При косом падении лучей белого света на пластинку эффективное расстояние между бороздками может стать равным нескольким микрометрам, и пластинка будет отражать свет квк отражательная дифракционная решетка с образованиаи спектра в первом поряпш и цветных полос в высших порядках интерференции.
Дифраицвв ва непрерывных периодических и непериодических структурах дифракционнея решепа является периодической структурозЬ у которой коэффициент пропускания ч амплитуды равен 1 на щелях и 0 на непрозрачных частях (рнц 175). Бели амплитуда падающей ва решетку волны Азз то амплитуда выходящей из решетки, волны равна 77З Йзмененаа козффвнневте ароаускаана амнлнтудМ длв даврвкннокаоа реметкн Ао (на щелях), А =Аот = 0 (иа непрозрачных частях). Предположим, что вместо решепаз имеется слой вещества, коэффициент пропускаиия которого изменяепз по' закону (рис, 176) З76 Яеарермвква структура с тормоаносска взмеааммнмса козвсмааентом вродускааав вмалнтудм т(у') '/з[! + соз(2яу'/з/)), (33.57) Э А = В 1 (1+ (2яу'/ес))е " "' с)у', 2я-ю (33.59) где постоянная В включает в себя как Ае, так й некоторый нормировочный множитель,, который нет необходимости более точно определять,'потому что все расчеты ведутся с точностью до относительного изменения амплитуд; множитель 1/(2п) введсп для удобства Принимая во внимание, *по соя (2яу'/сО = '/з (е'з'гчэ + е — 'зыч") (33.60) представим выражение (33.59) в виде А = Л ) ехр( — с/су' э(п ср)ду' ь Л ) ехр[с(~~ — /сап ср)у')бу' + 2л— 4я — о О + В Г ехр( — 1( — "+йэзп чз)у')ду', 4я — ы сс (33.61) откуда А — Вб(/спп ср) +(В/2)б(2я/И вЂ” /сгйп ср) +(В/2)б(2я/с/+/ся(п сг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
