А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из (33.8) видно, что дифршпшоннвя картина завишц от х// и у// Это означает, по дифракционнвя картина увеличивается подобно самой себе пропорционально расстоянию. Принимая во внимание, что в чистом вице дифракция Фраунгофера осуществляется на бесконечности (/-+ со), заключаем, что она яаляетщ дифракцией в параллельньж лучах Это обстоятельство обосновывает для дифракции Фраунгофера название дифракцни в параллельных лучах.
Дпфрвкщпо Фрвуюпфсрв в ооэвщв, улпвлстворюоп!ей усповнво (33.7), можно наблюдать пв эврвпс без вскквх ьзп.*олппьслыппх уогуойсэв. Однако пропп ее наблюдать в фоьвльпой п мого. ю собков. кпов кпк ьв ннньк к ыюкж пэ пу~в лпфрппроввпньж лучей. Днфраквня на прямоугольном отверепа. Считаем, что начало координат расположено в центре прямоугольного отверстия со сторонами а и Ь (рис. 159). На отверстие слева падает плоская волна вдоль оси У. На отверстии фюа и амплитуда плоской волны постоянны. Обозначим комплексную амплитуду волны на отверстии Ав.
Принимая во внимание, что йв Ъ (33.8) имеет размерность амплитуды, деленной на площадь, полагаем (33.9) нр' = Ао/(аЬ). ззр, г. рй«ч«гз лчфр«кя««ю«яр««ю Зг «лья«и «ж«р«тяя где а = )шх/(2Л, Р = ЬЬу/(2Л. (33.1 2) Наблюдаемая интенсивность пропорциональна ! А1г и с точностью до постоянного множителя равна ап* а ис* 11 /(х, у) = )А„1г (33.13) Полосы нулевой интенсивности определжотся условиями з(па = О, з(п О =0 и представляют собой прямые линии, параллельные осям Хи У и образующие систему прямоугольников, внутри которых интенсивность отлична от нуля (рис 160). Зависимость множителя гйпга/аг от а показана на рис 161. Максимумы, кроме центрального, достигаются при- значениях а = Зя/2, 5я/2 и т. д Поэтому интенсивности в последовательных максимумах относятся как 1; (2/(Зя))г: (2/(5я))г; ...
... = 1: 0,04: 0,016: ..., т. е. интенсивности убывают авена быстра Поэтому основная энергия прошедшего через отверстие света сосредоточена в центральном светлом прямоугольном пятне. Из (33.12) следует, что а и О зависят талыш ог отношений х/) и у/). Это означает, по размеры дифракционной картины растут гфопорционально расстоянию от отверстия, т. е сама дифракпионная картина из центра отверстия видна под постоянным углом (рис 162). По смыслу приближения Фраунгофера этот угол считается малым.
Поэтому а и О можно преобразовать к виду а = )сах/(2/) =()га/2) 18 О =())а/2) з)п Чь, р = (яа/2) з!и )рг, (33 14) гле 18 а« = з)п )р„м х/), з(п зр„~ у/) из-за малости углов )р„н а„. Запись (33.14) показывает, что дифракционная картина действительно зависит только от угла между лучом и осью У, т. е. А(х,у) А()р„„о„) Например, ыг рис 162 изображены лучи в плоскости Х=О:.
В этом случае' Чъ=О, О„=Ч) и А =А(<р). Следовательно, дифрагированные лучи, исходящие от различных точек отверстия и образующие в результате интерференции на бесконечности точку дифракционной картины в направлении угла Чь параллельны друг другу и направлены псд углом' а к оси, Г)то)бы образовать ннтерференциогп)зю кары))ы иа конечном расстоянии, надо на конечном рассзоянии свесив параллельные лучи в точку Для зто)о на их путя нужно помес- о я ъ ) ! Зя)т уя)2 )ьг х«я 4,„„„;„«е/Р Тогда (см, формулу (33.8)) хзг ыг ыг А (х, у) = (Ае/(аЬ)) ( ехр ( — )Ьхх /))дх' 1 ехр ( — )))уу //)ду', 633 — «)г — ыг (33.10) тле А(х,у) = Ф(х, у) — амплитуда Элементарнге интегрирование в (33.10) приводит к формуле А = Ае (ап а/а) (з)п О/(1), (33,11) 1бз двэреиине фрвещеэаре — дн.
еувищщ и оаувллалеинд дгнаъ тить собирающую линзу, в фекальной плоскости которой н образустое днфракционнад картина. Дифращвм ве ижлгь Прг увеличении одною из размеров отверстия период чередования дифрахционньж полос, перцендикулярных длинной стороне, уменыпается. При достаточно бщп*щсм размере длинной стороны отверстие этот период стаиовито1 настолько малььь что глаз не в состоянии его различать.
В дифракционной картине оспнотп1 лищь полосы, параллельном длинной стороне отверстия,,которые образугот дифракиноащую картину ог щели (рис. 163, 164). Формула (33.11) может в этом случае быть записана в виде 161 дисуеввве ие аале (оелеан ва- 1оддадали древо щади) Ао = Аонп и/)), (33.15) где Р = ЬЬу/(2/) =ЬЬ аю ф/2. Полезно формулу (33,13 получить метщВм э1хг Фрелела прщием за начало отсчета фа дифрщи. ровалных волн фазу волны в срсвней точке щели. Волна от то нез у' (рнс, 1бэ1 распространяется в направлении, определяемом углом ар, н приобретает по сравнению с волной от точил О рнзиоотр фаз.б ЬЬ Ьу' нп 1Р. Амплитуда вовры, приходялпщся нв элемент щели шириной ду', равна, очевидно, Аобу'/Ь. Поэтому п)м суперпознции этих пвраллельпых волн иа беско. нечнссщ комплексная вмплитула равна 164 Реаиуадедюое иатеиаоедааао ира днвуднввв ое аиадн мз А (Ао/Ь) 3 е р и"'бу' =Ао -т-, ))=ЬЬа)пф/2 (33:16) -ед Ь/2 у! (см.
(33,15)). Чтобы осбществнть дифракшэс на конечном расстоанин, надо воспользоваться собирающей линзой, Угол Ь р, под которым нз центра щели видна первая темная полоса, определяется из условия )) = ЬЬ е1п Ьф/2 и. (33.11) Считая Ьар Малмм и цолвгая е!нЬарЕЬф, находим, чю угол, под которым из центра щели видна центральная светлан полоса, равен 90 2Ьф = 2)а/ь, (ЗЗЛЗ) -Н( $ 1ОЭ К уеанаау лвсуаивии ва щади на- таван дев фраиадо а б 166 Поиврвые системы каордвы» в еноскостих ветоевикое в двфрикциовиеа вертким Учитывая, что дх'ду' = г'дг'дб', в!пВгйпВ' +совб совВ' = =с в(6 — В), (33.20) запишем формулу (33.8) в виде е уи+О А(г, 6) =(Ао/(тшз))! гдг' [ ехр[Ио'(г//) сов(6 — 6))дб', (33.21) где считается, по на круглое отверстие падает плоская волна, фронт которой параллелен плоскости отверсппх и, следовательно, У = Ао/(ка').
Внутренний интеграл равен те+в уи [ ехр [и! сов(6 — В'))дй'= [ ехр [!и сов 6')дВ' 2яно(р), гле но(т1) — функция Бесселя-нулевого гторялка, П =/тгг'//. Тогда [см. (33.2!)) А = (2Ао/пт) [ г'дг'Лобсгг'Я. о (33.22) 167 Грвфвк фуииции Л1у!гр, оиреде.ыикиеа кортику двфрвысии от кругнето отверстии Из теории функций Бесселя известно соотношение ! х/о(х)дх = уб/1(х), (33.23) гле Л (х) — функция Бесселя перенну порядка Учупъшая (33.23), получаем а 1 г'/оЯгг'//)д»' = [Уе/(/сг))/1 (й а//), (33.24) тогда [см, (33.22)) А(г) = А — ~ь( — "'у /0 . ' удг/! (33.25) Функции Бесселя хорошо изучены. График функции 2Л (р)/р ПРинеуни на рис )б7.
В центре дифракционной картины имеется светлое круглое патио, окруженное темнычи н светлыми лифракционными кольцами. При этом максимумы интенсннносги в светлых кольцах быстро убывиат (рис. 166) Радиус гс первого темного кольна находится го условна ' У (/тат /Л =О. (33.26) Принимая во внимание, по первый корень уравнения и'1(х)ы0 равен х1 =3,632, находим угол Ье1, под которым зто кольцо видно из центра круглого отверстия: 16В дифрвкции от кругвего отверстии Прс уМЕНЫНЕНИИ ШИРИНЫ ЩЕЛИ УГЛОВЫЕ РазмеРы светлой хтз полосы увеличиваются и нрт Ь-е). интенсивность плавно уменьшаетсц ог плит!хс к периферии беу каких-либо колебаний.
ййз Дифракциа ив круглом отверспм. Обозначим а ради)с круга с центром в начав коорлинат плоскости Х', У (рис !бб). Расчет удобно вести как в плоскости источникоц так и в плоскости дифракционной картины в полярных координатах: х' =г' совВ', х=гсовВ, у' =г' ип6', у~го!пб. (33.19) (33.27) (33.29) Ьре = 1,116Х/а, однаю интенсивносп вне центрального светлого пятна очень сильно убывает. В пределах центрального пятна сосредоточено около 84;/ всИ энергии, проходящей через отверстие. Энерпзей, прихалязцейся на обласзь вне центрального пятне, можно в большинстве случаев пренебречь.
д ф Она представляет собойсовокупиостьпериоллчесва повторяющвхся щелИ (риище. !69). !3бознакчаим а, Ь и А=-аз /з соответственно ширину непроницаемой часзи ре- Г щетки, ин:Рену ш.еерстзш и илину периоде репзезхзе дифрахцианную картину можно нанти с помощью формулы (33.8) аналогично тому, кек эта было слелано Лда одной щачц 0дивко более наглядно и проще провести анализ методам сложения комплексных амплитуд Амплитуду волны, днфрагированной каждой из щелей в паправленизь характеризуемом углом д [см. (33.15)], представим в виде А ей = Ае в1п [3/[3, [3 = /гб в!и Чз/2, (33.30) гле индекс (О) у А„отмечает, что эта амплитуда волны от одной щели.
Дифрагированные от щелей волны интерферируют между собой и образуют днфракционную картину. Таким образом, чифржпноннаЯ верзила ат Рещетен Яезшсесн Резгльтатом Лнфрехиии во.ш нв каждой ше;м и внтер~[хренпен волн аг Резничиых щелей. Рассмотрим интерференцию волн ог щелей. Разность хода волн от двух соседних щелей (рис 169) и разность фаз между ними равны (33.31) Л = Ацп зз, (33.32) б = /гЛ = Ы Вп зз.
Взяв за начало отсчета фазу валньь дифрвгированной в направлении, определяемом углом Р ат первой щели, т. е принимая ее амплитуду равнеи (33.30), находим дчя амплитуд волн, лнфрагнрованных от второй, третьей щелей и т. д„выражения А,е е ~~, А е в, ....
В результате супер- позиции вали от всех )3/ щелей образуется волна с амплитудей А = ве' +Аез е в+А~~ ~~ + +Аиз ~~ 1зи =А (1 — влв)/(1 — я) (33.33) где использована формула для геометрической прогрессии 1+х+х + ... +х" =(1 — х"+')/(1 — х). Учитывая, что ! е — еие е — !л612 ~~лед е — ьтегз е — вниз в3а (ргб/2) (33.34) е — еуз е гцз — е ~из е ~вд иа (Ь/2) н иапользуя (33.30), окончателмю находим !Ае[ =[Ар!!в!и [3/[31 [в!пФп/в!па[, [3 йбв[п <р/2, и = б/2 Ыв!п за.
(33.35) 224 Ь<р1 = (г~//) = 3,832/(/са) = 0,6!3/и. Поэтому угловой размер светлого пятна, наблюдаемого вз центра круглого отверстия, равен 0, = 26 р, = 1,223/ . (33.28) Зта формула играет большую раль в вопросе о разрешающей силе оптических приборов (см. 8 36). Второе кольцо видно под углам Формула (33.3з) полностью описывает дифракционную карот щели, поскольку интенсивносп' картнпы определяется )Ае л. Из (33.31) видно, что при е/в)п б) ым)Х (гл =О, +1, ~2, ...) (33.36) волны ог соседних щелей усиливают друг дру)пЬ т.
е волны от всех щелей усиливают друг друга Это означает, по соотношение (33.36) определжт направления, по которым образуются главные максимумы При зтсм условии и = Ыв)п )р/2 = пгл н, следовательно, )бе Дабракпнопнвв реюеека ! яп Жп/в)п а ~ = ))) (33.37) Графически сложение комплексных амплитуд от отдельных щеле(ь приводяцее к образованию главных максимумов показано ы) рис. 170 Видно, что Ь/( а)) явлжтся действительно максимальной амплитудой, которая может бы;гь образован» нз амплитуд волн, дифрагированных на Ь) щелях в направлении, определяемом углом )р. Отсюда ясно, почему зтн максимумы называются главными. Однаю !А4 амплитуд главных максимумов не одинаков Из (33.3з) следует, что он модулвруется множителем )в(п Р/ф, т.
е, амплитула главных максимумов модулируется лифракцией от отдельных щелей. Максимальное значение 1яп6/Щ равно единице, оно достигается п)и условии 6 =0:, которое соответствует центральному максимуму (ю =О). Амплитуда всех остальных главных макюпмумов меньше. Если главный максимум приходится на напранление, для которого яп б = О, то он отсутстнует. Это может случиться, когда Ь и )/ соизмеримы. Минимумы излучения образуются тогда, когда в результате сложения комплексных амплитуд получается результирующая нулевая амплитуда (рис 171).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
