А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Проекции напряженностей электрического поля результирующей волны даются равенствами Е„= Х Е~~, (30.46)- Отсюда находим корни уравнения: = — (Г ()С вЂ” /И' () — Ю У, 2 2 где (30.56) (30.57) де!1 ! !н 1 ! определитель матрацы (30.49) Чтобы проанализировать решения этого уравнения, необходимо учесть некоторые нерэвенства. Из (30.28) получаем (30.58) ! г-и.,р'.„=(1 1н — 1.Д„)!(1 1гг) =де!2!(1 1„), рм = 1мl,Т !и . (30,59) Из формулы (30.59) в соответствии с неравенством Шварца следует, что ~ри~ 4!.
Учитывая также. что 1 и 1н неотрицателыяы, из (30.58) находим О ~ бег 1 < 1 1ж. Кроме того, нз неравенства И вЂ” 1„.)' > 0 полУчаем (( + 1,)' Л 4! ! и поэтомУ 0 ~ бес 1 ( ! з(т ж '/э(1 +!эт)з. Это означает, что оба хор!и (30.56) вещественны и положительны. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при положительном знаке корня в (30.56) для В и С получшотся отринвтельные значения, которые неприемлемы, поскольку В и С, по определению, положительны.
Следовательно, необходимо в (30.56) взять отрицательный знак у ворни Решение единственно н имеет следующий вил: = — с 1) — —,,и Г„) — 46 1. (а) (б) (30.60) е = — ' с„— ( ) + — ' лг тт7:~~ о . (в) (г) Полная интенсивность волны и'интенсивность поляризованной часш 1=-! +1и, 1„,т = В+ С = l(! +1)гг~ — 44ЕГХ (30.61) (30.62) (30 63) Из рассмотренных я связи с решением (30.60) неравенств следует, что Оа Р а 1. Из теории матрил известно, что' дену и ЗРХ = 1 + 1л инвариантны прн вращении системы координат.
()тсювл с учетом (30.63) заключаем, что Р ас зависит ог направления осей Х и. Х Вырааение степени нвлвриэязиж через эактремаяьвые эаачеаы иитеисивиеснь Исследуем изменение интенсивности в зависимости от 0 и с. Воспользовавшись тригонометрической фор- Степенью поляризации Р полны называется отношение интенсивности поляризованной части к полной интенсивности. где дег1=1 (м — 1„Х,„— определитель матрицы когерентности.
Поэтому 1(В ) ~ 1(В е) э~Я~~+8 ) 4 ) 1((1 +1 1(О, а) „ , + 1(8, с) „ , Д (30.66) Сравнивая правые части (30.66) и (30.63), заклгочаем, что Р=(ПВ, )(„— ПО, )! „„И(1(О, И +1(0, И„), (30.67) причем под экстремальными значениями здесь понимаются абсолютные максимумы и минимумы относительно обеих независимьж переменных 9 и е. Полностью поляризованный свет характеризуется значением Р = 1. Из (30.63) следует, что при этом бег» 1 У»» — 1;„1, = С~. Это означает, что ~р» ~= ), т. е. Е„и Е, взаимно полностью когерентны. Полностью неполярнзованный свет характеризуется значением Р = О. Из (30.63) следует, что (30.68) Поскольку 1„,1, = 1,»(зч является положительной величиной, кажлое из свагаеьпях в правой части (30,68) должно быть равно нулю в отдельности.
1 — 1, 1 =1, =0 (30.69) Следовательно,)р„»)= О, й и Е„взаимно полностью некогервнтиы. При 0 < Р ~ 1 свет частично полярпзован, 0 <~у.»~ с 1, Е. н Е» чзстиуно 'взаимно когсрситны. Прглстлалпэва естественного света Пользуясь возможностью прсдставлсиня матрицы когерентиосш дла результируюпзей волны в виде суммы матрщз когсрситности слагаемых волн, можно матрицу когереитности (30.35) естественного света представить в ниде мулой для синусов и косинусов двойных углов, запишем (30.32) в юще 1 чу ПВ, ) ='Ьз(1 +1„)+'Ь(1 — 1 )со828+ /Жф соз(е — 9)б(п20. (30.64)— Оза Эту формулу можно преобразовать аналогично тому. как (26.23) была преобразована в (26.25а): 1(О, е) = Д + /Ст +Ф соэ(28 — а), (30.65) где Д =(1»,+1»»)/2, С=(1ж — 1 )/2, Я= /Х 1»»соз(а — в), гйп =Б/С.
Амплитуда колебаний интенсивности зависит от гхж (е — О), достигая максимального значения при )сок(а — в)! — 1. Максимумы и минимумы интенсивности достигаются при углах О, для которых сов(28 — а) = 1 и сох(28 — а) = — ) содтветственно. Следовательно, 1(В, с)1н»»» =м»'+ т/Ст+Ф, 1(В, а)1~~~ =(7 —,,/Ст+$~. При нахождении экстремумов посредством только что использованных приемов необходимо соблюдать осторожносп .
Дело в том, что зависимость 1 в (30.6э» от О и е содержится нс ~ольке в аргументах соз(с — В) и соя(28 — а), ио и в величинах 1, 1„, 1, 1м. Оправданием использованного приема являетси то обстоятельспю, что зависимосгь 1 от е й О посредством соз (с — и) и сох(20 — а) много сильнее зависимости посрслством 1, 1хи 1, 1 н при нахожлснии экстрем)мов последней зависимостью можно пренебречь. Примем во внимание, что — 1 1 г (30.70) — 1 1 2 — 1 1 4 (30.71) В первом случае волна естественного света интенсивности 1 представлена в виде суммы двух линейно поляризованных волн с интенсивностями 112 3лехтрнческне векторы колеблготся во взаимно перпецликулярных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
Во втором случае волна естественного света эквивалентна двум независимым волнам, поляризованным по правому н левому кругу. Интенсивность каждой иэ слагаемых волн равна половине интенсивности 1 естественного света Соотношение межпу степенью пвшризаши и степенью когерентности. Из (30.59) находим, что 1Р,1» =1 — бе11/(1 (ж), Квадрат степени поляризации (30.б3) выражается формулой Рэ 1 — бе1 Л/((1 + 1»»)з(4) .
(30.72) (30,73) Из неравенства (1 — 1»»)э >0 следует (1 +1ж)' ъ 41,1,, и поэтому сравнение (30 72) с (30.73) показывает, что (30.74) причем знвх равенства достигается только при 1 1„. Чтобы проанализировать, когда зто происходит, рассмотрим преобразование проекций напряженностей поля при повороте осей координат. Бслн ось Х' новой сцсимы координат составляет с осью Х угол а (начала систем координат совпадают, а поворот осуществляется в плоскости ХУ), то Е, Е„сова + Е,вгл а, ń— Е»в1п а+Е„сов а.
Тогда 1, „, 1 сов» а+1»»ппза+(1»»+1„)соваипа, 1л~ =1 в(в»а+1»»соева — (1„,+1,„)в)носова. Из условия 1» „=1ух находим 102а ='(1»г — 1 )Й1т+1ж). (30.75) (30.7б) (30.77) Вшц1у того что 1,„ = 1„„ решение уравнения (30.77) дает два взаимно ортогональных направлениц для которых интенсивности 1„„и 1„э одинаковы, а степень когерентности (ь» достигает максимального значения, равного значению степени поляризации Р волны. Теорема Ван-Цаттерта — Цернвка В б 2б, 27 были рассмотрены конхретные случаи прояв-' ления временнбй и пространственной когерентности. Поскольку степень когерентности определяет видимость интерференционной картиньс важно уметь находить степень когерентности излучения, не зная видимости интерференционной картины.
Для кваэимонохроматического Е| (Рн с) = Е' (с — г1 /о)/гс (30.78) где о — скорость распространения волны в среде между точками Р;„и Е Наличие с — й /о в аргументе у Е' учитывает запаздывание колебаний в точке Р, по сравнению с точкой Р', а гс в знаменателе принимает во внимание уменыпение амплитуды напряженности в процессе распространения волны Нормировочная постоянная в (30.78) не выписана Обозначение точки Л в (30.78) дается индексом 1 у Е и Для квазимонохроматических излучателей Ей(с') Еоо(с')е Тогда выражение (30.78) прйнимает вид Е (с) Ео,„(с — гс /о) ехр( — Ссо(с — гс„/о)г„„' (30.79) (30.80) Напряженность электрического поля в точке Рг дается аналогичной (30.80) формулой Ези(с) = Ее (с — гз /о) ехр ( — См(с — гзт/и) г2й ° (30.81) В точки Р| и Рз в момент времени с приходит излучение от всех источников светящейся поверхности Е'. Поэтому суммарная напряженность электрических полей в этих точках Ес (с) = Х Ес „(с) = Х Ео (с — гс /о) ехр ( — 4оз(с — гс /о) ) г си, (30.82) Ез (с) = Е Еь;(с) = Х Еои (с — гьо /о) ехр (Сез(с — гзи /о) ) гхм, (30.83) тле суммирование распространяется по всем излучателям на площади Е' поверхности, В полной аналогии с (30.5), изменяя соответствующим образом начало отсчета времени, лля взаимной корреляционной функции Гс з(т) величин Ес и Ес получаем вырюкение Г1г(т) = <Ес(с)Еос(с)> = Е,<Еа (с — гст/о)Еь~ (с — гзи/о) 6йгзте (30.84) псв т ° = (г, — г, )/о.
Поскольку точечные источники излучения на Я' являютси между собой статистически независимыми, имеем <Ео,„(с — г,т/о)ЕоХ (с — гяи/о) > = <Ео. (с — г1 /о)ЕоХ(с — гзи/о) >б (30.85) излучения от источника небольших размеров, находыцегося на достаточно большом расстоя- эсп нин, такусо возможность представляет теорема Ван-Циттерта — Цернике Она справедлива— не для любого достаточно малого источника на достаточно большом расстоянии, а лишс'при 836 условии. чю разноесь времен распространения'света от.любой точки источника ло двух точек нпблюления, лля которых определяется взаимная степень когерентности излучения, меньше времени когерентности излучения из соответствующих точек источника. Для упрощения расчета предполагаем, что светимосп, поверхности Я' (см. рис. 140, б) создается находящимися на ней точечными квазимонохроматическими источниками с одинаковой средней частотой излучения, между собой не когерентными.
От каждого из них в направлеспш поверхности Я испускается волна. Если напряженность электрического поля волны, испускаемая источником в точке Р', пропорциональна Еи(с'), то амплитула волны в точке Р~ на плоскости наблюдения Е равна 262 и формула (30.84) прянпмает вид . Г1 з и '$ < Ее (г — г1„ге)Еей(г — ге~/с) > г щ~г4~е'"'н (30.86) где ыг =ы(г, — гз )/с=я(гьч — гз ), 6=в/е=2я/Х вЂ” волновое число. Рассматриваемые процессы излучения и наблюдения предполагаются происходящими в стационарных условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
