А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поэтому взаимосвязь значений г" в моменты времени, разделенные интервалом т, может характеризоваться лишь статистически.. Простейшей статистической характеристикой случайной величины является ее срелнее значение '(1 4.21 <Дг)>, = <Д->, <г"(г+т)>. = <.22>, Г» (т) = < ]Г(с) — <Г> ] ]Г(с + т) — < Г> ] >,, (14.6) Если р(Г>,Г2) является плотностью вероятности того, чю Я!) принимает значение Г>, аЯс+т) — значение Гь то (14.6) представляется в вила О Г„(т) = ] ] ((> — <Г>) (Г2 — <Г>) р(с' Гз)>]Г> с]Г2 .Ь вЂ” «> Если процесс является эрголическим, то усреднение по ансамблю может быль заменено усреднением по времени и вместо (14.7) можно написать (14.7 а) Г„(т) = <]Г(с) — <Г>]]Яс+т) — <Г>]>, = Г>2 = и — ' ! Ис) — <Г>]]Г(с+.) — Г>]Ос, „т „, (!4.7 б) где <Г> — среднее значение Г по времени.
Для упрощения формул рассмотрим в качестве случайной величины функцию Г(с) — <Г>, среднее значение которой рав>ю нулю. Чтобы не вводить дополнительных символов, Обозначим ее такжеЯс). Формула (14.76) для такой функции принимает вцл Г,,(т) = !пп — ~Яс)Яс+т)с!с, Т О ТС2 Т (14.8) т.
е. совпадает с (14.76) при <Г> = О. Все результаты, следующие из формулы (14.8) для <Г> = О, без труда переносята~ на общий случай (! 4.76). В дальнейшем, если не будет оговорено противное, используется определение (14.8), т. е. предполагается, что <Г> =О. Автокорреляпионная функция Г, >(т) при 2=0 равна среднему значению квадрата 7(с), 2. е. некоторой положительной величине. При небольших значениях т она продолжает сохранять положительное, о~личное от нуля значение, хотя и уменьшается с увеличением т. Про обпасть значений т, при которых Г,,(т) пО, говорят, что в ней корреляция имеет конечную величину.
При увеличении т корреляция ослабевает, т. е. всегда Г» (т) < Г» (0). Из (14.8) имеем Т>2 ТС2 — > Г,,( — т) = йш — ] !(с)Г(! — т)>]с = йш — ]Г(с'+т)Я>')>]с' = Г„(т), Т- ° Г тсз Т вЂ” ТС2— (14.9) гле переход от первого интеграла ко второму осуществлен заменой переменных с = с' + т. Таким образом, автокорреллпионнаа функция симметрична относительно нуля: (14.10) Если значения функции Я с) и Я с + т) не связаны др)т с другом, т. е. независимы друг от друга, то автокорреляционная функция равна нулю. В частностсЬ при т- со она стремится к нулю. Теор«аж Вияера — Хинчвжа Важное значение автокорреляционнсй функции обусловливается, в частности, ее связью со.спектром мощности, которая устанавливается теоремой Винера— Хинчш>а спектр мощности является образом Фурье автокорреляционной функции, а автокорреляционная функция является образом Фурье спектра мощности.
84 где индекс «а» у угловых скобок означает среднее по ансамблю или, иначе, математическое ожидание по множеству реализаций от Г(с) и Г(с+2). Для стационарнпго процесса, очевидно, это среднее не зависит от с, т. е. <1» = <Я > = <Г>. Взримосвк>ь значенийГв моменты времени, разделенные интервалом т, описывается авто- корреляционной функцией, определяемой формулой Для доказательства преобразуем выраженгм (14.3) с учетам (14.2): тгг ггг ыз(Ф) = 1пп — 1У(г')е ~ч' дг'1.г(г)е'в'бг, и г — ггг — г/2 гле учтено, что функция /' действительна (1'~=Я.
Для дальнейших преобразований заметим, что значения этих интегралов При стационарной функции не зависят от пределов интегриронания, лишь бы интервал интегрирования был Т. Поэтому в первом интеграле можно заменить пере- менную интегрирования г' г+т и интегрировать ло т(г)г' =г)т); оставив без изменения пределы инта рирования: ггг яг,' м,(со) =.Впг 1дте — '"' — ) 1(г)у(г+т) бг. (14.12) — яг Т вЂ” г/г Внутренний интеграл в (14.12) на основании (14.8) равен Гг ~ (т) Поэтому (14.
12) превращается в соотношение вз (14.11) (14.13) которос доказывает первую часть теоремы Винера — Хиичина Вторая часть теоремы есть просто обратное преобразование (14.13): (1 4.14) Функции, описывающие стационарные случайные процессы, нв млеют образов Фурье, Дла ник епределлвтсл спвциальнав вали. чина, играющее рюль образа Фурьв. квадрат модули'отей величины называвтсн спектром нощнести. В спектре мощности отсутствуют Фоновые характеристики случайнето процесса. Спектр нощнестн содержит мерактернстини случайного процесса, усредненныв по большаку интервалу врененн. Ггозтену полномасштабные иарактвристнни процесса ° спектре нощности отсутствуют. Спектр нощиостн лвлеетсв обрезан Фурье автюкоррелвционней Функции, н наоборот.
Эпснвринентально определив снвктр мощности, можно найти автемюррелвционнуго Функцинь Интервал неррвллцин равен значению нермнревамнетю спектра мощности при нулевой частоте. Взяв в (14.2) комплексно-сопряженные величины от обеих частей равенства н принимая во внимание, что для действительной функции / выполняется равенство у'=у'", заключаем, что Рзе(Ф) = г; ( — Ф) и поэтому (14.3) является четной функцией Ф, т.
ц Фс(Ф) = Ф, ( — Ф3 корреляционная функция Гг г (т) согласно (14.10) также является четной функцией т. Поэтому, представив в подынтегрвльиых выражениях (14.13) и (14.14) ехр(~(ыт) соа ажЫ цп Фт, приходим к выводу, что интегралы, содержащие синус, исчезают и соотношения принимают вещественную форму: м гт,(со) = 2 1 Г„(т) соз Фтбт, (14.15) Г„(т) = — 1 гт,(Ф) соз сотбт. (14.16) гг л с Теорема Винера — Хинчнна позволяет нахолить спектр мощности, если известна автокаРРеляЦнонпая фуНкция, которая Может быль экспериментально азмерена. Обычно она представляет собой быстро затухающую функц)гю, благодаря чему вычисление интеграла (14.15) ве составляет ~руда.
Тем самым спектр мошносш окезываепж измеренным экспериментально. Интервал иорреляшиь Из (14.8) видно, что (14.17) Поэтому вместо корреляционной функции Г с (с) удобно пользоваться безразмерной функцией у!с (с) = Гс с (т)/Г„(0) = Г„(т)/ </з >, (14.18) получившей название нормированной коррсляциощюй функции Из (14.18) видно, что ус с 0) = 1. Мерой коррсллпин является аслнянна (14.19) — интервал корреляции.
Снять интервала корреляции с нормированным спектрам монщостсь По аналогии с нормшзованной корреляцяопной функцией вводится ссармнроваиныйс спектр мощности (14.20) и'„(са) = сгс(со)/ </з > = и,(в)/Г„(0). Между интервалом корреляции и нормированным спектром мощностя существует важное соотношение. Для его вывода выразим в (14.19) ус с (с) через нормированный спектр мощности по формуле (14.14): е с в — — 1 ) и,(в)есасбвдс = ( кк(в)б(в)дв = сса(0). . 2к — О (14.21) Таким образом, шггервал коррес!янин равен значшшю нормированносо спектра мощности при нулевой частоте. Отаепе З.ь 3 1О'м.
2.2 1+(4/я) (сох вс — '/з сов Звс+ '/с сох 5вс — ). 2.Х 1+(4/я)(ил вс+'/з ни Звс+ + '/с зш 5вс+ ...). 2,4. Лс) /с — (!/и) (вп вс + '/з во 2вс+ ...). 2Л у(с) = '/с — (4/кс)(соз вс+ +(/зс) сох увг+(/с )соз 5вс+...). 26. /х/и ехр( — (в — ва)с/(еа)) 27. ял /к ехр — (Ьссс/2). 2Л, Найти длину когереитиости излучения рубинового лазера 0 695,6 нм), если ширина линии излучения в длинах волн равна 62 = 1,6!О и м. 2.2. Записать ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, которая в интервале ( — Т/4, +Т/4) равна двум, а вне испервала ла его гранин — нулю. 2.2.
Записать ряд Фурье для периодической функцнн с периодом Т, которая в интервале (О, Т/2 с равна двум, а в интернате (Т/2 Т) — кулю, 2.4. Запасать ряд Фурса для периодической функ. ции с периодам Т, заданной на участке (Ос Т) формулой Яс)= ОТ. 23. Записать ряд Фурье лля периалическай функции с периодом Т, заланнсй формулой — 2с/Т ирн — Т/2 <с <О, у(с) 2с/Т при 0 < с < ТД. 2,6. Найти Фурье-образ функции г(с) = ехр(-ис') саз вес (н > 0). 27. Найтя Фурье-образ функции Ях) 4ехр( — с'/а'). 2.8. Проведите раачет, доказывающий, что составная линия из двух лоренцееых липин явлается лоренцевай с шириной у=ус+уз. а составная линна из лаух гаусеоеых линий является гауссавой с шириной Ь,/бу+Ьсу.
Основная идевч свойства средчл писмваются с«елярамм: величппела лиэлектрнческой н магнитной пронипаомостямн, элскчропроводимостью Повеление света на чранисче ос кду рамичнммн «радами оиредеяяе~ся сраничнммп условаямн Распространение света в изотропиых средах 8 !5 Распространение света в даиастринах Описмвается микроскопический меканием, возникьуавсниа пионеров» и ее проявяенкя. Изучается распространение имнуязсов в внспсртирующей вроне. Моиохроматаческне волны. В однородных изотропных диэлектриках диэлектрическая прони- цаемость а не зависит от координат.
Кроме того, считаетоя, что она не зависит также и от вре- мени. В этом случае уравнения Максвелла аналогичны уравнениям (2ь!) — (2.5), но с заменой йо — к, т. е. изменяется лишь первое уравнение (2.э1: (15.!) Поэтому все дальнейшие результаты '8 2 для электромагнитных волн в вакууме справедливы для диэлектрика, но с заменой ао а. Это приводит лишь к изменению скорости волн. Из ураьшений (2.8) и (2.9) С заменой со~а для скорости электромагнитных волн в диэлектрике получаем выражение а нолновое число дается выражением /с = 2к/)с а/и. (15 4) Соответственно изменяется и ныражение для волнового вектора. Структура электромагнитной плоацьй волны, описываемая в диэлектрике уравнениями (2.53) — (2.56) с заменой ао -за, аналогична вакууму, а соотношение (2.57) принимает вид Е= иВ.
(15.5) Плотиосьь п"ггь"а э"еРгп" волн в диэлектриках дается формулой (3.1). Для !$ ! вместо (3.2) находим Я !й!ю!Е!!Н! ю ЕВ/ро ю Е'/(роьь), (15.6) где учтено (15.5). Поскс)аку в диэлектрике 1/р„си' (см. 15.2) принимает вцд Я иеЕз. (1 5.7) В диэлектрике обьемная плотность энергии электромагнитного поля выражается формулой ю, '/з(Е Р +В'Н) аЕз, (15.8) где В Н Ез/(роиз) = юЕ'. Поэтому интерпретация соотношения (15.7) весьма наглядна, если его записать в ниле о Я ию. (1 5.9) Для срсцнего по времени значения плотности потока энергии.волн вместо (3.4) получим < Я >ь инЬю/2, (15.10) гдю Ео — амплитуда напряженности электрического поля волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
