А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Снещенме спектра по частатан приводит к умножению функции на фазовый нножитель, завмсащий от снещенма и вренанм. ! 9 9 Естеечненишг вирши линни излучении Вычиеляетея елеитр излучения 'нзолирояанного, нелоленииого атома. глх+глвох =О, (9.1) где т =9,1 10 з' кг — масса электрона, во — круговая частота колебаинщ имеющая для опти- ческой области спектра излучения порядок 10' зс '.
Решение уравнении (9.1) имеет вил х(1) А саз (вот — гР), (9.2) гле А — амплитуда колебаний. Полная энергия колеблницегося электрона равна И' = гихл/2 + ел воях з/2 = (айвз/2) Аз (9. 3) При ускоренном движении заряда, как известно, мощность излучения раша 1 е"-з биео е' (9.4) Иэ-за потери энергии электроном на излучение его энергия уменьшается, а колебания являются затухающими. Закон сохранения энергии для колеблняцегося электрона с учетом потерь энергии на излучение имеет внд си' 1 е* 4 з — — сР> — — — воА, Ж 12иео е' гле < Р> — среднее по периоду колебаний, вычисленнсе с помощью (9.4) и (9.2) с учетам того, что уменьшение аютлитуды за период колебаний мало по сравнению с амплитудой или, что то же самое, испущенная эа период знерггш мала по сравнению со нсей энергией излучения Это услоние всегда хорошо соблюдается.
Подставляя в (9,эу вы11аженне для А нз (9.3), получаем — = — уИ', йн' Ф (9.6) (9.7) Решение уравнения (9.6) имеет вцл И'(1) = И' е — т', (9.8) где И'о = И'(О), и, следовательно, на основании (9.3) амплитуда колебаний электрона изменя- ется по закону А =Аое гцт, (9.9) а отклонение х электрона ст положапш равновесйя описывается вместо (9.2) формулой х(т) =А,е "'уз соз(вот — ф). (9.10) Класснческаа модель излучатели Простейшей кларснческой моделью излучателя является электроть колеблющийся около положения равновесия ло гармоническому закону. Уравнение свободных колебаний электрона имеет вид Необходимо отметить, что все вычисления были провацеиы в предположении малости затухания. амплитуды за перисщ колебаний Т = 2п/соо.' 7Т)2 = яу(соо < 1.
(9.11) Таким образом, условие малости затухания имеет виц (9.12) 7 '4 соо сих+сиул -~.иссоох =.О. (9.13) Прямой проверкой убеждаемся, что решение (9.13) при условии 7 < соо совпадает с (9.10). Спектральпьис состав излучения. Если электрон начинаег колебаться и излучать в момент с =О, то смещение х(с) может быть прецставлено в вилл с 0 при с<0, х(с) = е — т~сз(Аоесо" +Атее — '"") при с ьО, (9.14) поскольку х(с) — вещественная величина.
Излученная в интервале 0 < с < ш энерпи дается выражением ас бкк, с' (9.15) где иссюльзована формула (9.4) и учтена; по х =0 при с < О. Представим энергию излучения (9.!эс распределенной по частотам. Поскольку затухание мало (у « соо), можно считать, что х ь: — соо.т, з а х(с) представим в виде интеграла Фурье: (9.10) х(с) = — ~ессис)со 1х(Ц)е '"~ОЦ = — ~ г (со)еиобоз, — ь -Р (9.!7) где введено обозначение О г(оз) = ( х(с)е — "'"'с!с = 7 х(с)е — сь'с!с (9.18) с учетам того, что х =0 при с < О, Подставляя х из (9.16) в (9.1э1 и выражая х(с) по формуле (9.17), получаем И' = — с, ос~~, ~с)с ~ Г(со)есмон~ г(ч)ен'с!г,= бкс, с' (2к)' Подставив значения постоянных ео, е, ис, с в выражение (9.7), видим, что для оптических частот (гоо 10" с ') условие (9.12) всегда хорошо выполняетса В типичных условиях амплитуда уменьшается в два раза в течение нескольких миляновы колебаний.
Другими словами, 7-10з с '. Изобразить графически .таксе медленное изменение амплитуды колебаний затруднительно, поэтому на рис. 43 колебания электрона показаны при силыю увеличенном значении у (в сотни тысяч раз) С учетом затухания колебаний вмесю (9. 1) можсю написать уравнение (9.19) 59 ! ег<"+11'дг,= 2яб(в+ч), (9.20) приводим (9.19) к виду 1 ег н — —, 4 ! Р(«) Р( — )б 12кгао сз оз Загукавшие колебанию глектраеа (9.22) ое о Лорсанова форты тикка Аа (9.23) + т/2 — /(ео — со) т/2+ з(во — то) у/2+ г'(гоо + со) (9.24) О1 Зависит лн, пт сдвига начала отсчета времени спектр: а) онппнтудный/ б) фазовый! Что токов конплексный спектр функкии1 Как он сказан с анплитуднвы и фазовын спактрани1 1 ег с = — —, ео з! ! Р(е) Р(фбвс1~ ! ец" гоуз Дг, ' ..
., Принимая во внимание соотношение ,г о с Р/г е 4 ! ! Р( )Р(чс)б( +чс) б гчс 12кгао с' 1 ег о г — г во !1'(в)Р( — е)бе = ! ы(в)бв, ' (9.21) бггга сг тле учтено, что Р(е)Р(,— е) является четной функцией в, и введено обозначение Функция ы(в) характеризует распределение энергии по частотам, являясь плотностью энергии волн, приходящейся 'на частоту в. Подставив выражение (9.14) в (9.18),-получаем Р(е)= ! Аоехр [[ — т/2+/(во — в))г)г[г+ о +! Аеехр [[ — у/2 — /(еское)[г)д/= В общем виде вырюкение для Р(со) Р( — е), входвцее'в формулу (9.22), получается громоздким Однако. при условии у ~ ео слагаемые в правой части (9.23) сильно различаются по своему значению на частотах ен во.
Слагаемое, в которое входит разносп во — го, много больше слагаемого, в которое входит сумма во+в. Поэтому для Р(в) достаточно сохранить лишь первое слагаемое с Ао, а для Р( — в) — лишь второе ела-г гаемое с Ао и можно написать Р(в) Р( е) 'ба т/2 — 1(ео — в) 'боА о (е. — в)г+(у/2)' 44 Тогда формула (9.22) принимает вид 2 Максимум интенсивности излучения лежит вблизи частоты аз=ель а при удалении от нее интенсивность излучения быстро уменьшается На частотах е 2 гее 'ь 7(2 ез! гес 7/2 (9.26) объемная плотность излучения в два раза меньше обвемной плотности излучения на чартоте геь Зто означает, что. основная часть энергии излучения приходится на интервал частот Ьго=и,— гс, =7, (9.27) называемый риной линии излучения. Лереицева рма,н ширняа линии излучышв Формулу (9.22) удобно представить в виде л~А, гу~гв ° 1ьб, — нормированная функция лоренцевой формы линюг излучения (рис.
44). Функция (9.Ю) удов- летворяет условию нормировки (9.30 а) Главный вклад в интеграл дас~ облаз ь интегрирования вблизи ге~ гее. Вюшд в интеграл от области значений аз<0 имеет порядок величины членов, отброшенных при вычислении Г (ез) Г ( — ге) по формуле (9 24), исходя из (9 23). Поэтому с той же точностью, с какой г (в) г ( — ез) выражается формулой (9.24), условие нормировки (9.30а) имеет вид Рл(ы)г(ге = 1. 0 (9.30 б) Лоренцева форма линии излучения образуется при «естественных» условиях излучения, когда единственным фактором, вливюпвеи на излучение осциллятора, является радиационное затухание. Поэтому эта форма линии часто называется естественной формой линии излучения. а ширина линни излучения — 7-естественной шириной.
Естесзвенная ширина линии излучения очень мала. Для оптических частот 7/гсе 10 ~. Если при анализе некоторого вопроса изменение частоты примерно на 1/10 000 000 от частоты гее не имеет значения, то можно считать, что все излучение приходится на частоту ае, и рассматривать излучение как монохроматическое. Такое приближение справедлшю в большинстве случаев, рассматриваемых в оптике.
Лишь в некоторых ситуациях приходится принимать во внимание конечность естественной ширины линии излучения. Время излучения Как вишю из (9.14), амплитуда колебания электрона убывает в е 2,7 раза в течение времени (9.31) 99 которое называется временем излучеииа Видно, что чем меньше время излучпапь тем больше ширина ливии нзлученна Строга моно;рама1ичссгае излучение возможна лиль прн бесконечно большом времени ншученвл.
Форма ливии поглощенна Уравнение двюкения упругасвязанного элеитрона, находящегося пад лействием электрического паля Е, имеет вид шх+ ттх+ швозх = еЕ, где предполагается, что напряженность Е направлена по осв Х Если Е(г) = Еое'"', (9.32) (9.33) то в установившемся режиме х(г) является гармонической функцией с той же частотой в: х(Г) =хоемп (9.34) Поскольку х=нох, х= — в'х, уравнение (9.32) принимает ыщ ю( — вз + йоу+ в8) х = еЕ, (9.35) е х= (9.3б) во — е' +пот саоз! Ф(в) = сапог ххо = з вз)з+ г з (9.37) . При во ~ у эта функция отлична от нуля лишь вблизи частоты во, когда можно знаменатель в (9.37) преобразовать следующвм образом: (вз вз)2 + вз,уз (в в)2 (во + в) + в у~ 4во (в в) + шоу~ = 4в8 [(в — в)' + (у)2)Ч (9.38) Тогла (9.37) принимает внл саво! Ф()= (в~ в) +(уР) (9.
39) Следовательно, линия поглощения имеет лоренцеву форму с тай же шириной, по и линия на1учснвя.. Квантаваа ивтерпретапвя формы липин нэлучевпя. В квантовой картине излучение осуществляется посредством испускания фотонов. Частота в фотона связана с его энергией Е соотношением Е=йв. (9.40) Колеблющийся электрон является источникам излучения, причем энерпш ему передается.
падающей волной. Следовательно, происходит поглощение энергии упругасвязанньвн электроном. Интенсивность поглощения пропорциональна квадрату амплитуды (9.36) колебаний электрона, т. е. ххо. Поэтому если на упругосвюанные электроны падает излучение с непрерывным спектром частот, то возникает линия поглощения, форма которой задается выражением ба испускание фотона происходит в результате перехода излучающего атома из состояния атома — с энергией Е„в состояние с энергией Е, причем Е=ń— Е„.
Следовательно, излучаемая частота щь = (ń— Е„)(Ь (9.41) имеет вполне определенное значение Однако при квантовом переходе излучаются фотоны различных частот, потому что энергия возбужденного состояния Ение имеет вполне определенл;о .п.зчсния. Другими словами, возбужденный уровень энергии имеет конечную ширину.
1! Ос«щ згз.зучеззия в кван ювгй картине интерпретируется как время нахождения атома в возбуж.щннгзм сос. санин, а соотношение (9.31) сводится к утверждению, что ширина энергетического уровня абра|но пропорциональна времени жизни электрона на этом уровне. В основном состоянии с наименьшей энергией электрон может находиться бесконечно цолго, если атом изолирован, и, следовательно, ширина основного энергетического уровня равна нулю. Если линия излучения образуется за счет переходов электрона из некоторого возбужценного состояния в основное, то лоренцева форма линии является отражением распределения электронов по энергиям в пределах возбужценного энергетического уровня.
Если атом находится в поле излучения . ~ чи в щи моден от.кует с друз.има а томами, то он может перейти из основного состояния в возбуж.щннос. Олсдовззельно, его время жизни в основном состоянии конечно и поэтому основной уровень не б«слонечно узок, а имеет конечную ширину. Это приводит к соотаетствуюшему ушнрению линии йзлучения. Квазнмазюхраматмческая валжь Если ширина линии излучения достаточно мала, то волну можно прецставить в виля (2.39), понимая под аз частоту в центре линиц т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
