А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть при некотором фиксированном значении и векторы напряженности Ег и Ег волны заданы соотношениями (рис. 19) Ег = Ее соз ауг, Ег = Ее нп еуг, (5.!3) (52 4) ыз 18 Выроилеаеыя слу .нй сэепеане Лаут линейно нолврезовавяыз вела О (5. 1б) 19 Образевавве лнеейна келарвзовэн- вей волны в результате суеерко- звкаи Ннркулврко воллркзоваавыт воре поэтому Е = 2Ео сов (б/2) соз (гог — б/2), (5.!7) Ер 2Ео ягп (б/2) соз (ыг — б/2).
бб Первая волна обладает левой, а вторая — правой круговой поляризацией. Амплнтулы волн одинаковы. В результате супер- позиции волн получаетса волна с проекциями напряженностей Е, Ег„+ Е~ = 2Ео соз ыг, (5.12) Ер = Ег р + Егр — О, т. е. линейно поляризованная волна. В данном случае линия ко- лебаний вектора Е совладает с осью Х. Если между колебания- ми [см. (5.10) и (5.11)] имеется сдвиг фаз, то 'линия колебаний суммарной напрюкенности образует угол с осью Х, определяе- мый сдвигом фаз слагаемых волн. Пример 5Л.
Определить характеристики волньь получаемой в результате суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой, поляризованных по правому и левому кругу, если в начальный момент разность фаз волн равна б. Напряженности левополяризованной и правополяризованной волн записываются в виде- Еж=Ео сов го!, Е|р=Ео а!и гог, Ег = Ео соз ( — агг+б), Ег, = Ео з!п ( — гор+ Ь). Удобно произвести сложение описываемых формулами (5.14) колебаний, представив нх в виде комплексньж векторов Е, =Е,„+1Е,р=Е е'"', Е =Е +!Е „= Е,е и ' "', (5.15) результат сложения которых дается формулой Е Е +Е ЕОЕ'Зрг[сяе~ — Игг -1- Сца' — П" ]= = 2Еое'"' сов (он — б/2), Из (5.17) следует, что Е,/Е, = гй (б/2), т, е, результирующая волна являетск линейно поляризованной, причем линия колебаний вектора Е образует с осью Х угол ЬД.
! Ь б Ус редиски к Показываетсэ, кэк результат усрслненкн зависи~ от интервала усрелнениэ к лаютсэ правила вычислений при комплексной форма вредставлепиэ волн. Опервцвя уередиевиь В физических теориях пользуются величинами, относящимися к точке щюстранства и моменту времени. Однако в физическом эксперименте измерыот средние значения величин по некоторому объему и промежутку време.ни. Например, мгновенным значением величины называется ф Из принципа суперлезнцин следует, что любую пнмейно поляризованную волну нежно представить в виде сунны дауа кспм с взаимна перпенднкупярныин ппосиостяни пинай. иай полэрнзаци».
Если еоз. иияает разность фаз колебаний между этими волнани, то результирующая волна является либо эллнптнчески попвризованной, либо циркулярно полярмаовони ой, в зависимости от разности фез. ее предельное значение при стремлении промежупа времени устреднения к нулю. Однако 41 е эксперименте это предельное значение достигнуто быть не может, Результатом измерення— всегда является среднее по некоторому малому промежутку времени. Все сказанное об усред- 64 пении по времени относится также н к усреднениям по объемам.
Среднее значение физической величины Дх, у, ", с) определяется формулой </(х, ~', с. с >~~~, = ~./(х. В ж с) йхйуйсйс, ! л ссдс (6.1) ьяь сле ЛР и Ьт — соответственно объем и интервал времени усреднения. Результат усреднения зависит от размеров области усреднения. Масштабы изменения /; меньшие области усреднения, не фиксируются в усредненных величинах.
Например, нельзя изучить ход изменения напряженности электрического поля вп времени в гармоническом колебании, если за промежуток времени усреднения взять перисщ колебаний. Если в обласп! усреднения 61' в любой момент промежутка времени йт усрелнения величине / изменяется незначительно и этим изменением можно пренебречь, то в (6.1) при интегрировании по йхс1уйт величину / можно считать постоянной и выполнить усреднение по (х, у, г): /(х, у, с, с) в,, " — ! йс ! /(х, у, с, с) йхйуйе ( Г(х, у, г, с) йс, ! ! ! (6.2) 1 сне — ~ йхйуйс =!. Таким образом, все операции усреднения в этом случае сводксся к усредйи нению по времени: (6.3) где пространственные переменные для упрощения написания формулы ие выписаны, нескольку операция усреднения от них не зависит. Усреднепие гарлюнических функций. По определению, 1 '-ь~сс с + ЬОсс Г вь ! с„,! вс (вас/2) е'"', Ьс 3 Свдс ! (вй /2) с — ьп ю — ь /с (6.4) тле ес" — е " = 2с яп а.
Разделяя в (6.4) действительные и мнимые части, находим: яп (вйс/2) <соз еи) = соэ вс, (влс/2) (6.5) ь!и (вйс/2) . <5!п вс) = з!п вс. (вас/г) (6.6) Результатом усреднения гармонической функции является гармоническая функция с той же частотой, но с амплитудой, умноженной на (6Л А~)=яп(Д (Ц=-вйт/2) (рис. 20). Видно, что амплитуда усредненной гармонической функции быстро убывает с увели.еннем /ст.
При ~= в/!т/2 = я; Лт = 2п/в= Т(Т вЂ” период гармонических колебаний) амплитуда обращается в нуль. В частности, в оптическом диапазоне электромагнитных колебаний (Тч !О" ы с) приборов, которые регистрируют напрвженность электрического или инлукцию 42 магнитного поля за' промежУток времени, меньший 10 '5 с, — в настоицее время не существует. Поэтому невозможно зкспе- 1 риментально зафиксиРовать ход изменения электрической напряженности и магнитной инд)испил световой волны. В оптике изучаются лишь усрелненные по многим периодам колебаний' значения физических величин. Усреаяешв ивадратсв гармонических функций.
В этом случае имеем зй (6 я) Грифы ямилвтудн усртдииииой гврмоввчсской фувкяя» = — !1! + сов 2вф 1 Г 51псват) 2 ! (ват) = — !в г яп (еза г) со5 2вс~, 2 " (вдт) (6,9) где использованы соотношения для двойного угла и формулы (6.51 и (6.6). График средней величины квадрата гармонической функции приведен на рис. 21.
Видно, что среднее значение колеблется около з/з с амплитудой, определяемой характерным множителем АЩ. При увеличении интервала времени усреднения амплитуда колебаний уменьшается и среднее значение квадрата гармонической функции стремится к постоянному знгь ченшо ~/з Эта ситуация в оптическом диапазоне всегда осуществляется. Лянейиость операцвл усреднения'. Из определения (6.1) следует, что <рсуз + Рхсз > = < рсуз > + < нзуз > = Рз <сз > т рз <2>,(6.10) Своз мС> Зс Гряфнк коясбяивй усрсдисяиого квидрвтя гярмоиячсской фуакевя где рз, рз — постоянные. Равенспю (6.10) показывает, что опеРация усазеддения является линейной. Вычисления с комплексными сиадврными велнчюшми. Для упрощения вычислений колебания и волны обычно представляются в комплексной форме.. Вычисление средних по времени приходится производить от произведений действительных илм мнимых частей комплексных величин. Однако произведение действительных частей двух комплексных величин не равно действительной части их произведения, т.
е. ВеА Кей ф Ке(АВ), и поэтому нахождение среднего от произведения'действительных частей шзух комплексных величин 'не сводится к вычислению среднего от действительной часш их произведения. Но вычисление все же значительно упрощается, поскольку зависимость от времени рассматриваемых величин'имеет взщ А (х, у, 5, с) = Ао (х, у, т) е В(х, у, с, С) = Во (х, у, с) е з" г. (6.12) <соз озс>,з = < — (1+со52езс)>е 1 <5!пзвс>, =- < — (1 — со52вс)> 1 д. Ьт результат усреднвннл зависит от интервала усреднении. С по нощью среди юг значений непьзл изучать мзнеменмя, которые происходит на ннтервапах, неньщмк интервала усреднения.
О Докажите, что среднее значение производной равна про. взводной от средмвго значсиия. Почвну среднввзначсинв произведения вещественных частей двук «оиплвкснык чисел не равно веществсниой части среднего значения их произведения! Учитывая равенства' КеА = '/з(А+Ае), КеВ = '/ (В+Ве), 43 (6.13) 97 получаем КеА КеВ'= Ке(Аее '"') Ке(Все 'ы) = '/зКе(А Вф+АеВсе — ям) где принято во внимание соотношение Ке(АВ") = Ке(АеВ). В результате усреднения (6.14) по времеви наводим (6.14) (6.15) < КеА КеВ> = '/зйе(Аейее) = '/зйе(АВе) = '/дКе(АеВ), (6.16) где А и В имеют вид (6.12). Вычясленяя с номплексвьев векторными величинами.
Если векторы поля волны представлены в комплексном виде„т. е. Е е — ЯаΠ— к'и с (6.17) Н вЂ” Н е — Мы — кг! Ое (6.16) то плотность потока энергии определяется формулой $= Кей х КеН (6.19) Представим не зависящие от времени части векторов в виде Еад'"' =Ел+ Ег, Невок ' =Н„+Н„ (6.20) тле индексами К и) отмечены действительные и мнимые части величин, стоящих в левой части равенства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
