А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. групповая скорость совладает с фазовой При наличии дисперсии групповая скорость отличаетси от фазовой. В резуль>ате огибающая амплитул и слагаемые волны движутся с различными скоростямн, что приводит к изменеищо формы <и.ибающей в процессе распространения волны, т. е. при наличии дисперсии волновой пакет распространяется с изменением формы. Если частоты слагаемых волн близки друг к дру>у (ыг - <в!),то для групповой скорости из (12.6) получается формула (12.7) с, = 6<в/6/< Она справедлива нс толью для двух волн с бесконечно близкими частотами, но и для произвольного волнового пакета, образованного суперпозицисй бесконечного числа волн с близкими частотами, поскольку является дифференциальнбй. Суперпозиция колебавй с зивидвстаитньиа частотами.
Пусть происходит /ч колебаний одинаковой амплитуды Ее частота которых различаетсв на Ьы. Результат суперпозиции этих колебаний представляется формулой Е(г) Ее соя с>!+Ее сов(со+Йо)>+Ее сох(е>+26<а)г+ ... +Ее сох(а>+(/ч' — 1)бе>]г, (128) Суммирование этого ряда проще произвести в экспоненпиальном представлении гармонических функций; я — ! 3 Г л — ! 3 г 1 е<иг<>! 3 Е(г) =Ко[Ее Х е <я'+*г"'> ~= ЕеВе[ем< Е евг«< ) = Е Ее [ежи 1 — е им е<нгяя (е <яг"<>г — е<яг"<>г) 1 1 я<ив<и — >>г«</г> г>в(Ь/Ье></2) ] <гв<д( — я<<ч2 е я<<\д) 3 Б<в (Ь<е>/2) (12.9) 812 вп (Суйыс/2) = Е соз <Ф>с, вп (Ьан/2) (12.10) 53 Форма веяиовоге яйкетв с зквиди ставтиммв чистотами (12.11) (12.12) /Зшсзс/2 = я, (12.13) Лчйс гч1, О б чвн заключается теорена о шмриие частотной палосыг Какова в крича частотной полосы импульса, лрепстазляеиого Ь-функчией!.
йС Группавей скоростью называетсп скорость наксннуна амплитуды группы 'вали. С втой скоростью двнжетсп инертна волнового пакета. Ори наличии дисперсии групповая скорость отличается от фазовой. соотношение между юириной пинии излучении н продопжмтельмастью ннпульса может,быть представлено в виде соотноюения нежду ьзирнной волнового нанета н аго пространственной протяженностью запевай еюй,г с, где < Ф > = Ф+ (// — 1) БФ/2 — средняя частота волнового па- кета.
Принимая во внимание, что /тлв =бе — полная ширина частот волнового пакета, выражение (12.9) можно представить в виде Е(с) = Ео мп (Ссмс/2) соз (< со > с). я!и (ьмс/(2йс)] В большинстве случаев, представляющих практический интерес, /9»1 и поэтому в течение многих периодов изменения аргумента Двс/2 у синуса в числителе формулы аргумент у синуса в знаменателе формулы остается малым (/сес/2/9 «1), так что можно считать йсп [Ьшс/(2Х)]юкос/(219). Поэтому (12.10) молпю записать в виде Е(с) = Ео)т' Бсл (/Гшс/2) соз ( < Ф > с) . (Ьмс/2) График этой функции приведен иа рис. 53. Огибающая пунктирная кривая представляет изменяющуюся амплитуду колебаний в волновом пакете, основная частота которых <в>. Энергия такого волнового пакета сосредоточена в сравните'.чь-- ио небольшом интервале частот. Поэтому волновыс пакеты называются также импульсами.
Мы.будем исполгвовать оба зги назваспгч в зависимости от обстоятельств. Максимальная амплитуда образуется в точке != 0, когда все колебания складываются в одинаковой фазе. Через промежусок времени с5с, определяемый условием амплитуда колебаний обращается в нуль. Зто время принимается за меру длительности центрального' импульса. Поэтому между частотным интервалом слагаемых колебаний с5ч = =2яЬФ и временной продолжительностью импульса сущест-' вует соотношение где использован знак приблизительного равенства, что учитывает произвольность в определении продолжительности импульса.
Такое соотношение уже было получено (см.(8.56)] при анализе спектрального состава прямоуголыюго импульса. Ввиду универсальности соотношения (12.13) его часто называют теоремой о ширине частотной полосы. Квазиплоская ввгяа. Плоской волной, представленной формулой вида (2.50), может быть лишь пространственно не ограниченная во всех направлениях волна. Ограничение волны в направлении распространения приводит к ее немонохроматич' ности, характеризуемой шириной, спектра частот Ьоз (см. 8 9). Е(х у, г, г) = ~111 Р(/с й, йм со)е — 'г«м — о'«ус(к «У« с)х,с)ы 1 (2н)ч (12.14) Если линейные размеры поперечного сечения волны, распространяющейся в направлении оси У, велики по сравнению с длиной волны, то амплитуда Е в (12.14) отлична от нуля лишь в узком интервале волновых чисел йй 0)су вблизи значений й„=О, й„=О. Если 12Лй«! и й«, 12Ы«,~ и й„ (12.15) го в«юла начываетсн квазиплоской. Ес с достаточной точностью можно представить и виде (2.50), пою«мал под й средний волновой вектор.
Квазиплоскую волну можно считать плоской лишь на участке фронта волны. линейные размеры которопу меньше ширины когерептностн (см. 427, 30). Если же при рассмотрениу«некоторого явления необходимо учесть изменения по фрозпу волны на участках, ббльшнх ширины ко«ерентностп, то се нельзя считать плоской и о рейставл ять формулой (2. 501. ! 4 13 Хоо«ическнй свет Аиолизируютсс оолны со случайными омнлитулими и фазами. Суперпозиция волн ео случайиьума фазами. В классической картине изолированным неподвижным атомом излучается цуг волн с экспоненциально убывающей амплитудой продолжительностью порядка 1О з с.
Ширина линии излучения имеет порядок 1О Гц (см. 0 9). Форма лииии— лоренцева. В результате взаимодействий с другпмн атомами в процессе излучения происходит ударное уширение линии (см. 4 10). Напряженность поля волн в некоторой точке в момент времени г дается выражением Е,(г) =Еле "и (13.1) тле г,' — момент начала испускания соответствующего цуга волн после столкновения, «р,' — случайная начальная фаза излучения. Ее можно объединить с членом — сог,', который зависит от расстояния между атомам и точкой наблюдения, являющимся также случайной величиной.
Позтому напряженносп, поля излучения аюма в некоторой точке может быть представлена в виде Е«(г)=Еое ""' "' (13.2) где гр, = юг«'+ гр,' — случайная фаза Эффект Доплер«к приводящий к изменению частоты, пока не принимаем во внимание. Его нетрудно учесть как дополнительный фактор уширения линий излучения. Для упрощения предположпм, что все волны имеют одинаковые амплитуду и поля- ризацию. Суммарная напряженность от всех излучателей равна 78 Ограничение волны в перпендикулярных направлениях привопит к возникновению конечной — ширины спектра волновых чисел «5й, и «5л, (волна распространяетсн вдоль оси Л). Другими сло- 2 вами, волна с конечным поперечным сечением пучка не может распространяться строго в одном направлении, характеризуемом вектором й; имеется некоторый разброс направлений волновьж векторов отсреднего направления.
Это явлениеназываетсяду!фракцией(см. гл ш Следовательно, плоских волн с конечным поперечным сечением не существует. Однако если разброс направлений волновых вахт«уров.невелик, волна с большой точностью может считаться плоской и быть представленной в форме (2.Я)), где под 1с понимается средний волновой вектор волны. Такая волна называется квазиплосной. Для получения математического критерия.квазиплоской волны поступаем так же, как н дчя установления критерия (9.42) квазимонохроматической волны. Волну представляем в виде интеграла Фурье: Е(С) =Ее Ее 'Сгн ей ~ Е„е '"' Е е'ец (13.3) ! где ф, — случайная фаза цуга волн, пришедших от с-го атома. Стоящий под знаком суммы ряц может быль представлен как векторное сложение комплексных чисел.
Каждьсй из членов рялп, ехр( — сф,) по модулю равен единице. на рис. 54 показан результат сложения этих членов для ссекоторого момента вре- мени с, Аналитически их сумму можно записать в виде Е е 'ес = а(с) е'ее!, (13.4) где л(с) — амплитула суммы экспоненциальных'слагаемых, ф(с) — ее фаза. Таким образом, зе Слеженее игиепщивщ влечений фпзпеык ипожвтелей (13.5) Е(с) = Еоа(с)е — '!рг — ес'и где щ — несущая частота волны, у которой модулированы амплитуды и фаза. Спектральный состав этой волны такой же, как и у линии с ударным уширением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
