А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это является следствием того, что значительные изменения фазы и амплитуды в (13.4) происходят в течение времени тсь равного времени между возмущениями. Поэтому временные параметры, определяющие ударное.уширение и ширину спектра модулированной волны (1З.зс, олинакового порядка, а потому в основном одинаков и спектральный состав излучении. Время рвэрщиениа Каждый прибор измеряет лишь некоторое среднее значение величины по малому промежутку времени, называемому временем разрешении. Время разрешения лучших приборов дпя измерения напряженности электрического поля по порядку величины равно 10: ес Поскольку время то, в течение которого амплитуда а(с) и фаза ъ(с) в (13.5) существенна изменяются, имеет порядок 1О ", заключаем, что в течение многих десятков и даже сотен периодов колебаний волны зги величины могут считаться практически постоянными. Это означает, что при усреднении (13.зс по периоду колебаний или многим периодам <Е> =О.
Поэтому эксперимщгснльно можно изучать не средние величины напряженности поля волны (! З.зс, а средние величины от квадрата напряженностпс тз е. потоки знерпш волн. Результат измерения потока энергии воли в эксперименте зависит от времени разрешения прибора. Усредиеняе по периоду колебаний.
Хотя приборов, которые имели бы разрешение в один период световых колебаний, нет, целесообразно изучить этот;вопрас теоретически, чтобы затем обсудить результаты усрсцнений интенсивности по более продолжительным периодам. На основании (3.4) с учетом сказанного о скорости изменения а(с) и ср(с) для средней плотности потока энергии волн, напряжеш!ость электрического паля которых дается выражением (13.5), получаем формулу Я = с(112) епЕщс~ (с), М флуктуации плезвости потеке звертив прв усрелвевви пе прожзжутклм ереназз веете ыеньщны тс С3 Какал величина играет роль образа Фурье функции, ои»- сыплющей стационпрнюй случайный лрацессз Что токае спектр нощности! Какин образок ло спектру нащност» ножка олрепелить оптоиорреллционную функцию и интерпол «оррелпцииу П 3.6! где усреднение произведено по одному.
периоду или па промежутку времени, много меньшему т . Знак усреднения у Е пс указываетсп для упрощения написания н не оговаривае1сн, ° так как среднее от перекрестных членов равно нулю; < )е'тд'1)т> = 1; л — число атомов, излучение которых наблюдается. При усреднении по очень большому в сравнении с периодом колебаний промежутку времени плотность потока Я [см. (13.6)) играет роль мгновенного значения плотности потока энергии воли, а усредненная в соответствии с (13.11) — средней плотности.
Средняя плотность потока энергшг волн на основе (13.6) с учетом (13.11) равна <У> = '/зсеоЕол. .(!3.12) Из сравнения (13.12) и (13.6) заключаем, что г (1) о./ <5 > (13. 13) Тогда формула (13.8) принимает вид дР = — ехр~ — — у!ас)адф =— 1 о~~ ! 1 Я ехр ~ — )с(удф. <8> . Х. <8> (13.14) Отсюда следует, что распределение плотности вероятностей о лается формулой р' (5) = (1/ < о >) ехр ( 9/ <о > ) (13.15) с нормировкой 1 р' (ю) ж = 1 .
(13.16) о Величина флуктуаций плотности потока энергии может быть вьгчислена с помощью (13.14) н характеризуется среднеквалратичным отклонением от равновесного значения: ' тй - гт1г — г ') =,Й'и:Т г (13.17) где <(о — <о>)з> = <Зт> — (<я>)т учитывая по Ф Случайные флуктуации фазы и амплитуды волны светового пучка маро»терн»уюте» накоторЫн ннмннальнын врвнвмнын ннтервалон *К, п р» усреднении па «оторону мзненанн» плотности лотка »перги н полностью сглаживаютсл. Вто «про»тернов ерин» назыааетсл временен когврентмостн. ь Амплитуды »пот»час»ого излучения распределены по запалу Гаусса.
В маотнчасион свете значение флуитуации интенсивности равно сред»»ну значению интенсивности. О По как»н пра«ежуткан вренени радо производить усреднения, чтобы найти флуктуация интенсивности и среднюю ките»с»впасть светового патока! Какие обстоятельство приводят к гауссаву распределению анплитуд вали каатического света! Какой снысл кисет «мгновенное» значение интенсивности светового патоко1 Учитывая, что при фиксированной частоте обьениая платность излучения пропорционально концентрации фотонов, найдите но основании формулы (13.191 флуктуацмк числа фотонов, попа»пыжи» на детектор е промежуток вренеми фиксированной продолжительности.
Какюй должна быть прада»жнтельнасть »того проне»утка вренеми, чтобы утверждение ю флуктуация» нагло быть экспериментально провереног Флуктуации плотности потока энергии хаотического света. При усреднении по промежутку Н! времени, большему времени когерентности т, (в случае ударного уширения т„= то), получаем 613 < аз (1) > = < !Е ет~ и! )т > = и „ (13.11) о <лз> = — ~о« ехр 1 — — 1ол — 3(<л>)2 <Я> д <о> ) 2 находим (13.18) 8 14 Фурье-авалю случайных процессов По«язывввгов, «я«мопно применить Фурье-пр«перв«о«впво «фун«пням, нв удовпегворяющнм мятемвтнчео«нм «рнтерням прямо««мое«в Фурье-преобрвзоввння. Излагаются понят«я н методы Фурь«-внвпнзв «луп«нных прон«ееов.
Снеж«8 мощности. Большинство случайных процессов стационарны по времени, т. е. Их общий характер с течением времени не изменяется. Это означает. что функции, опвсываюшие зти процессы, пе вмеют оораза Фурье, поскольку они не абсолютно игтегрируемы (функция не стремится к пулю при г + гс 1. Следовательно, применить обычныс метлой и поиятлн спектрального ана:щза к этим функциям нельзя.
Да зто и нецеггесообрнзио, поскольку в случайных процессах интересны лишь средине характеристики, а фазовые соотношения между гармоническими составляющими в слекгральном разложении не имеют значения. Кроме того, полностью не известна функциональная зависимость случайных функций от времени. Поэтому в Фурьевнализе случайных процессов используются более подходящие для этих целей величины и пои япуя. Чтобы исключить проблему расходимости интеграла, определим ~~ (а) — образ Фурье случайного стационарного процесса г"(г) на конечн«1м, достаточно большом промежутке времени Т; 212 г (Ф) = ( г(г)е — '"'дг.
— 222 (14.1) т. е. флуктуация плог ности потока энергии уавгга ее среднему значеншо. Такиьг образа г. отклонение ллоттюстл потока энергии волн от среднего значения в световом пучке очень. большое. что можно качественно галета на рис. 5б. Отметим еще раз, что «мгновенное значение> плотности потока энергии в световом пучке необходимо измерять за промежупш времени, много меньшие времени когерентности, а вся совокупность измерений должна занимать время, большее времени когсрентносги т,. При выводе соотношения.(13.19) предполагалось, что мгновенное значение плотностя потока энергии Я является средним по периоду светового колебания.
В действительности таких детекторов не существует. При учете конечного времени от клика детектора формула 113 19) немного и глгеннь ген. носко гаку величин« флукгу ший несколько о лаживаетсн Полвризации. Монокроматические элехтромагнвтные волны (см. $21 всегдя обладают определенной поляриэещией, т.
е. являются поляризованными. У хаотического света, предстанляилцего собой суперпозицию воли со случайными фазами н амплитудами, конец вектора напряженности. поля волн описывает в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волн, нерегулярную, чрезвычайно хаотическую линию. Если ззн к лсбпглш не«гора нплрюкенгюстн не имеюз. никаких лреимушествениьм направлений. , то ноглм называется лслолпрнзовал ной Есги жс в колебаниях вектора напряженности иместсн некоторая.рогу шрлостгь хогн и не гикая, как'в поляризованной волне, то волна называется нные"ио ло"нризованибй. Количественная теория частичной поляризации основывается на теории когеревтносги взаимно перпендикулярных компонент напряженности цоля воли. Поэтому целесообразно ее изложить вместе с теорией когерентности (пи.
5 30). Как показывает (9,22), распределение энергии по частотам в спектре излучения тярактери- 42 зуется квадратом модуля спе«трельной плотности !т (<в)!2 = Г(<в))г"(ез). В однородном процессе распределение энергии тю частотам с течением времени не изменяепж, а полная энергия 424 излучения пропорциональна времени. Отсюда можно заключить, что ~ ~<Мт(<е)1 4<в растет пропорционально Т и, следовательно, !тт (ге))1-,/Т. Поэтому величина (14.2) конечна, не зависит от времени и может быть использована для характеристики спектральных свойств случайных прпцессов, Квадрат модуля этой величины (14.3) на <гхвае<ся ш<ек<ром мощное<я С помощью (14 2) получаем 1.
«1 т/2 ' Тгз 1 <е — ~ в<,(<в)<!ез = йгп — $ дьг(г) $ бган(!') — $ ехр ( — '<ге(г — г'))<1<е = 2я т в — гд 2<2 2к Т Т12 Т/2 тгг = 1пп + ~ Ф)дг ~ Иг')г!г'б(г — г') = 1!ш — ' ~~((г)~242 = <)1(г)!2 >, — 272 — 222 <- 'т Таким образом, спектр мощности связан со средним квадратом модуля случзйной функции соотношением (14.4) В спектре мощности отсутствуют фазовые характеристики процесса;и поэтому он содержит меньше информации, чем амплитудно-фазовый спектр. < и<к <р мо<шюс<и содсрж<п харак.ерисзики процесса, усредиен1<ьж по бо,<ьшому инюрвалу временит Помому из него выпадаю< мелкомасшц<биые харак <арне<яки процесса.
Автоиорреляциоииая функция. Важнейшей характеристикой случайного процесса является взаимосвязь значений описывающей этот процесс функции в различных пространственных и временных 2 очках. Взаимосвязь люжду зиа <ениями функции в ею<ой точке в различные мо менты времени описывается автокоррсляцг<онной функцией. Рассмотрим для примера стационарную случайную величину.
Нас интересует связь значений этой функции в момент времени г, т. е. (< = Г(г), с ее значением в момент времени 2+ 2, т. е. Гг =г(2 + 2), где т — некоторая фиксированная величина..Другими словами, надо изучить связь значений этой функции в моменты времени, разделенные интервалом г. Сами по себе моменты време<в< произвольны из-за стациоиаРносзн пРоцссса, важно лишь. чтобы междУ ними был ии<епвал г Нз-за'случайного характераДг) при каждом измерении (еиспытаниив) уначенияДг) наг+ <) будут находиться в случайном соотношении друг с другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
