А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4К1 Частота оу называется несущей, а частоты оту П начыилюшя боковыми. Если а(1) является не гармонической, но периодической функцией с периодом т 2я)вг, то ее можно представить а виде рада Фурье по частотам, кратным П. Подставив ряц Фурье в формулу (11.1) и преобразован кажлый нз членов ряда после умножшшя на соа шг, аналогично тому, как это было сцелано при переходе от (11,3) к (11.4), полушьы ряц в который входят частоты ш и шжлй (н 1, 2 „.), т.
е. спектр состоит ш набора частот, отстоящих друг от друга на й н обе стороны о ~ н»»утлой частоты ко (рис. 49). Ширина спектра опрелслиегсл игнрннон спектра функции а(т). Если а(1) является непериодической функцией, которая представляется интегралом Фурьея то ее спектр непрерывный Подставляв в этом случае в (11.1) выражение для а(1) в ниле интеграла Фурье и преобразовывал гармонические составляющие аналогично предыдущим случаям, получим лля модулированного колебания непрерывный спектр, простирающийся в обе стороны от несущей частоты шо (рис. эб). Такшл образом, н в этом случае ширина спектра определи»у»я шнринон спектра л(т) Все изложенное справедливо для колебаний, например, электрической напршкенностн в фиксированной пространствен- 48 Спектр келебвиий с гврмовичесия молулироиякиой ямолитудей ме 4Р Спектр иолебевии с иериодячески модулиреиявйсй ямилитудмт Частктнаи н Валовая иоду.
лицин вквнвалинтны толино тогда, когда они гарно. нимисиии. При нвгарноннмаской иодуллцни струк. тура сигналов стих нодулицнй соворшонио равлнм. иа. 74 ной точке Если с!горесть распространения волн не зависит от — частоты (среда без дисперсии), та калебасие бю иэменеюся фор- 2 мы переносится в друг>се тачки со скоростью распространения волны и поэтому фордж колебання по времеви в данной точке легко пересчнпявается на пространственную форму колебаний (см.
з5). Модуляция частоты и фазы. Эти два вида модуляции целесообразно рассматрнвать совместно, поскольку описывающие их формулы тесно свюаны друг с прутом, хотя ссруктура сигналов, модулированных до частоте и фазе, существенно различна.- Соозношеиие между частотной и фазавсй модуляциями получается как следствие записи фазы колебания.через зависящую от времени (модулкраванную) частоту по формуле \ зп> Ф(с) = вп ( 1 в(с) дс), о зо Сановной сиеячр колебиинв с не- периодически модул»равниной аы. или>удой (П.5) где Ф(с) — фаза колебания„в(с) — модулированная частота.
Начальная фаза колебаннй считается равной нулю. Из равен- ства Ф(с) = ( в(с)дс (1 1.6) о следует, что мгновенное значение частоты со(с) связано с фазой Ф (с) соотношением в(с) =дФ(с)/дс. 0 с зс Гирмоничссквв молулвлия чисто- ты (11,7) Формулы (11.6) и (11.7) позволяют от формул, описывающих частотную модуляцию. перейти к формулам, описывающиы модуляцию па фазе.
Расвиотрим гармоническую модуляцию частоты. В этом случае имеем в(с) = во+с>в соз йс, (11.8) где во — постоянная частота, около которой происходят колебания частоты с амплитудой >5в и частотой колебаний й. В соответствии с (11.6) имеем Ф(с) = ~ в(с)дс = вас+(с>в/й) вп йс. о (11.9) Это означает, что фаза Ф(с) также мадулирована по гармоническому закону с той же частотой Й и амплитудой модуляции Ьв/й. Если фаза модулирована по гармоническому закону Ф(с) = о>ос+/СФ и!и йс, (Н .10) то в результате дифференцирования (11.10) по времени с учетом (!1.7) приходим к формуле в (С) = дФ/дс =, во+ С!>Фй соз йс, (11.11) показывающей, что частота при этом оказывается модулированной тапке по сирмоническаму загону с той же частотой й и аьсп!>итудай с>ФЙ Гармоническая модуляция частоты в(с) и фазы Ф(с) показана на рис.
51, 52. зз Германе кскял модуляинв фе>ы О Чем о>пи»овесе способы осуществив»ня час>отмой н басовой надупялнй! Как >авион> пропускная способность пнин» свя>и от месун>ей частоты у Таким образом, частотная и фазоввя модуляции полностью эквивалентны только тогда, тэ когда оси гармонические, При негармоиической модуляции такая эквивалентность невозможна, структура сигналов, модулированных по частоте и по фазе, оказывается совершенно разлнч- 912 ной, Прн чааютной модуляции медленным изменениям сигнала (т.
е. низким частотам в сигнале) соответствуют большие колебания по фазе [ЛФ, = Лв/й в (11.9)], а быстрым изменениям сигнала — малые. При фазовой модуляции, наоборот, медленным изменениям сигнала соответствуют мальв амплитуды колебаний частоты (Ьв = суФЙ), а быстрым изменениям— большие. Частотная и фазовая модуллщии отличаются также по способу осуществления При частотной модуляции образуетса дрямое воздействие иа частоту колебаний генераторат при фазовой частоте колебаний генератора постоянна, а фаза модулируется при движении сигнала после гшератора. Спектр колебаяня с гармовнческай модуляцией частоты. Рассмотрим спектральный состав частотно-модулированного сигнала с гармоническим законом модуляции е(с) ео эсп [вот+(с!в/й) ип йс].
(!1.12) Считая, что амплитуда модуляции мала (г2в/й ~ 1), разложим (11.12) в рвд Тейлора по (дв/Й) кп Йс и ограничимсж членами первого порядка: Е(с) Ео[вп вот+(с2в/й) кп йс сок овос] = Ео !э(п вос+[Ьв/(2Й)] кп(ого+й)!в — [с!в/(2Й)]! осп (ого — Й) с. (1!.13) Таким образом, в спектре в первом приближении присутствуют лишь частоты во и во+ й, во — Й, т. е. он аналогичен спектру сщ.нала, модулированного по амплитуде с той же частотой.
Однако такое соответствие спраисцливо лишь при малых глубинах модуляции. При увеличении Ьв/Й существенную раль начинают играть и другие составг)ясащие спектра в частотно-модулйи раввином сигнале. Поэтому, вообще гоноря, сигнал, частота которого модулирована по гармоническому закону, содержит в своем спектре бесконечное число частот и этим принципиально отличается от амплитудно-модулирсеанного по гармоническому закону сигнала.
Частотная модуляция отличается от амплитудной также и тем, что прн амплитудной модуляции связь между спектром сигнала и спектром модулированного колебания линейна, а при частотной модуляции — иелинейиа. При амплитудной модуляции добавление новой встоты в спектр сигнала добавляет соответствующую частоту в спектр модулированного колебания, ие изменяя амплитул остальных частот. При частотной модуляции добавление новой частоты приводит ие только к добавлению в спектр модулированного колебания многих новых частот, но и к иэмеиеииса амплитуды существующих. Спектр колебания (11.12) при произвольных значениях Ьв/й выражается посредством функции Бесселя У„(х) с целым индексом л и здесь не рассматривается.
5 12 Волновьк ивксты Дается зарактсристиза волновыз пакетов и кввзиплоскоя волны. Волновой пакет, образованный двумя волнами. Электромагнитные волны распространяются со скоростью света независимо от частоты только в вакууме. В среде скорость электромагнитной волны меньше скорости света и зависит от частоты. Зависимость скорости волны от частоты назьвается дисперсией. Рассмотрим суперпозицию двух волн, частоты которых вг и вз, а волновые числа Сея и /сг: Ес (; с) = Ее сок(всс — Ссгг), Ег(г, с) = Е 'сол(в,с — 'Ссгг), (!2.1) считая, что они имеют одинаковую поляризацию и распространяются в одном направлении. Фазовая скорость волны определяется из условия вс — Ссг = сапа!.
(!2.2) Дифференцируя (12.2) по >, получаем 2 (12.3) (индекс «ф» у фазовой скорости для упрощения в дальнейшем указывать не будем). Фазовую скорость в вакууме обозначим с. Фазовые скорости волн в (12.1), вообще говора', могут быть и различными. Напряженность образовавшейся в результате суперпозиции волны описывается формулой Е(, !) =Е! +Ег = 2Ео соз [(<в! — е>г)>гг — (й! — хг)гак х сог ((е>! + <вг) г/2 — (й! +/<г) г/2). (12.4) форма такой волны показана на рис, 10. Если дисперсия отсутствует, то напряженность имеет шщ (4.7). Волна без изменения формы распространяепж со скоростью света в направлении положительных значений оси У, причем огибающая амплитуд обозначенная на рис.
10 пунктирной линией, движется со скоростью света. Групповая скоресп Суперпозиция двух или большего числа нолн с различными частотами группу волн, или волиовоя пакет. Скоростью группы волн или групповой скоростью называется скоросп движения максимума огибающей амплитуды группы волн Нз усдошш постоянства фазы огибающей амплитуды волны (12.4), записанного в виде '/г(ш! — ыг)! — '/г(/<! — йг)г сопз>, (12,5) после дифференцирования по г находим групповую скорость: е, бг/бг (ы! — е>г)/(/<! — /<г). (12.6) Если дисперсия отсутствует, то <в! с/<<, о>г = с/<г и нз (12.6) получаем г, с, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
