А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Следует отметить, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Это видно из формулы (41.20), поскольку в случае основного состояния Е'о' является минимальной энергией и все члены в сумме отрицательны. При )с Ф л) из формулы (4! .19) получаются выражения для С!2), а с их помощью — выражения для собственных функций с точностью до величин второго порядка малости.
Тогда К..р'и (Е(о) Е(о))2 ~йп1 пи Е (Е(св Е(о)) (Е(о) Е(о)) ()с Ф я(, я Ф яй. (41.21) Выписанные выше формулы без труда обобщаются на случай непрерывного спектра собственных значе- ний: вместо сумм в соответствующих формулах следует понимать интегралы по значениям энергии непрерывного спектра. Если спектр собственных значений частично дискретен, частично непрерывен, то в соответствующих формулах имеется сумма по дискретному спектру энергии, а интеграл †непрерывному спектру энергии.
Например, вместо (41.17) получается формула )р(п ~ )у(о) + Е(о) Е(о) Чяо) ) Е(о) Е(о) — Ч) „((о, (41.22) где к-совокупность величин, полностью определяющих состояние; ń— собственное значение энергии состояния, характеризуемого совокупностью величин в; Е',о принадлежит непрерывном~ спектру собственных значений, Ч",о -соответствующая волновая функция непрерывного спектра собственных значений. Пример 41.1.
Рассмотреть в первом (борцовском) приближении упругое рассеяние заряженной частицы при столкновении с неподвижным силовым центром. Постановка задачи в теории столкновений. Если параллельный пучок частиц, например электронов, падает на некоторую частицу, например атом, то в результате взаимодействия с этим атомом частицы пучка могут, во-первых, изменить направление своего движения и, во-вторых, претерпеть изменение энергии. Если столкновение произошло без изменения энергии сталкивающихся частиц, то говорят об упругом столкновении (рассеянии). Столкновение с изменением энергии сталкиваюгцихся частиц называется неулругим. 41.
Стационарная теория возмущений В опыте измеряешься число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол с)П в направлении, составляющем угол 0 с первоначальным направлением движения частиц (см. рис. 47). Если ось г. сферической системы координат направить вдоль первоначального направления движения рассеиваемых частиц, а начало координат совместить с рассеиваюп1им центром, то направление движения частиц после рассеивания может быть охарактеризовано полярным углом 0 и азимутальным углом тр.
Пусть число частиц, рассеянных в указанный угол в единицу времени с по~ерей энергии в, равно г(Х,. Это число„ очевидно, пропорционально числу Х частиц, падающих в единицу времени на единицу плошади в первоначальном потоке, н пропорционально телесному углу т)П. Таким образом, т)а, = т)Х)т)Х = т((а,8,<р)т)12, (4!.23) где 27(а, О, тр)-коэффициент пропорциональности, т)тз, имеет размерность площади и называется дифференииальным эффективным сечением для неупругого рассеяния в угол с)П с потерей энергии в.
Величина о, = )дХ,!Х = Х,!Х = )8(а,8,42)д(2, (4124) где интеграл взят по полному телесному углу, называется полным эффективным сечением неупругого рассеяния с потерей энергии е. Очевидно, что Х, = Хо, (41.25) -число частиц, отнесенных к единице времени, которые при столкновении потеряли энергию в (концентрация частиц первоначального потока равна Х = Х частиц/(м2 с)]. Таким образом, задачей теории столкновений является вычисление дифференциального эффективного се- чения, знание которого позволяет полностью характеризовать распределение рассеянных частиц по углам и энергиям. Борцовское приближение. Рассмотрим упругое рассеяние, когда в результате столкновения энергия частиц не изменяется. В этом случае можно не принимать во внимание внутреннюю структуру атома и считать его точечным силовым центром, в поле которого происходит движение рассеиваемых частиц.
Пусть это поле является сфернчески-симметричным. Обозначим Е„(г) потенциальную энергию рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Уравнение Шредингера в этом случае [р2/(2т) + Е,(г)) Ч' = ЕЧ', (41.26) Потенциальная энергия Е„(г) определена с точностью до произвольной постоянной. Эту произвольную постоянную можно выбрать так, чтобы на бесконечности потенциальная энергия обращалась в нуль (Е„(со) = О).
Частица после рассеяния уходит на бесконечность лишь в том случае, когда ее полная энергия больше нуля. Таким образом,при решении уравнения (41.26) нас интересует случай Е)0. Обозначив (т2 = 2тЕ)ГР !г(т) = 2тЕ (т)/й2 (41 27) где т-масса рассеиваемой частицы, можно уравнение (41.26) записать в ниде тттт)т ! й2Чт 1т( )Чт (4128) После рассеяния, удалившись на достаточно большое расстояние от рассеивающего центра, рассеиваемые частицы движутся как свободные вдоль радиусов, проведенных от рассеивающего центра. Поэтому после рассеивания движение частиц описывается расходящейся волной. Падаю- 236 9. Теории возмущений шие частицы до рассеяния, очевидно, описываются плоской волной.
Следовательно, интересуюшее нас решение уравнения (4!.28) является суперпозицией падающей плоской волны Ч'о и рассеянной волны Ф: Ч =Че+Ф. Выбирая ось У системы координат в направлении движения потока частиц до рассеивания, можно функцию Ч'„ представить в виде Ч' =Ь 'е' (41.30) где 2;размер куба периодичности, который удобно выбрать равным Ь= 1м. При такой нормировке поток падающих частиц на основании (25.21а) равен М = т',/е = р/тл = в(с ' м ') .
(41.31) На больших расстояниях г от рассеивающего центра функция Ф имеет вид сферической расходяптейся волны: ей' Ф, „(г,О) = А(О) —, (41.32) где А(0) — амплитуда рассеянной волны, которая из-за центральной симметрии рассеивающего поля не зависит от угла Ф. Ток рассеянных частиц на основании формулы (25.21а) равен ~ей!' дФ* ОФ'т ев ~ А(О) 1~ /„= — ~Ф вЂ” — Ф"— г. Ог,) (41.33) и, следовательно, число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол т(й, т)!тт = (Це)г~д() = е1А(О) Ятг.
(41.34) Поэтому на основании (41.23) и (41.31) имеем Оо(О) = д(О) 4!) = Ох~ту =1А(О) 1'Оа. (41.35) Таким образом, для нахождения дифференциального эффективного сечения необходимо вычислить амплитуду рассеянной волны. В борновском приближении эта амплитуда вычисляется с помощью теории возмущений, когда в качестве возмущения берется потенциальная энергия рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра.
Подставляя (41.29) в (41.28) и пренебрегая )гФ как величиной второго порядка малости, получаем для определения Ф уравнение т7 гФ „т.тФ тир (4!.36) Его решение хорошо известно из курса дифференциальных уравнений: (' тг(~') 'Р „(г') от" ' " Ф(г) = — — т)х т)у т)г 4л е 1г' — г1 (41.37) где т(х'т)у'т)з'-элемент объема интегрирования, радиус-вектор которого г'. В этом решении автоматически учтены только расходящиеся волны. Для нахождения амплитуды А(0) надо получить для Ф(г) асимптотическое выражение при больших значениях г.
Обозначим и единичный вектор в направлении оси У, а и = = г!г — единичный вектор в направлении движения частицы после рассеяния (см. рис. 47). Тогда 1г' — г) = '(г' — г)т = (гв + г'т — 2г.г)пг. Поэтому для г» г' 1г' — г~ г — и г'+ ..., (41.38) где многоточием обозначены члены порядка г'/г и вьппе. Подставляя (41.38) в (41.37) и пренебрегая в знаменателе и. г' по сравнению с г, получаем при больших г ! е'' Ф(г) = — — — ) еивв ' ''тг(г):т)х'т)у'т)г', 4л г (4!.39) 4 41 Стационарная теория возмущений 23«с где учтено значение 'Р (г) по (41.30) и принято во внимание, что е' = г' и .
Сравнение (41.39) с (41.32) показывает, что ! А (0) = — — ) ей«'о И ' 1'(г') йх'с1у'йе'. (41.40) 4л Удобно ввести обозначение К = !«(п — п), ! К ! = К = й ) по — п ! = = 2/с яп (О/2). (41.41) Тогда (4!.40) с учетом (41.27) можно записать в виде 1 2т А(0) = — -- —,) еск 'Е„(г') йх'йу'йе'. (41.42) 4л /22 На основании (41.35) дифференциальное эффективное сечение равно йо(О) 1 /2тс«2 — =д(О)= — ~ — /! н й«2 1блз «« /«2 2) <Г" "Е„(г') йх'йу'й ' (41.43) Не вдаваясь в подробности условий применимости приближения Бориа, отметим лишь, что это приближение всегда пригодно прн достаточно большой энергии рассеиваемых частиц.
Формула Резерфорда. Приближение Бориа можно использовать для нахождения рассеяния частиц кулоновским центром (см. 9! 4). Потенциальная энергия а-частица, заряд которой 2е, в поле ядра номера е, имеет вид Е„(г) = 22е~/(4лаог) . (41.44) Подставляя (41,44) в (41.42), находим т«ЕЕ2 ГЕси ' А (О) = — — — — ~ йх'йу'й2', (41.45) 4Л2Е г«2 К где т, — масса а — частицы. Для вычисления этого интеграла ось У сферической системы координат направим вдоль вектора К.
Тогда ж с 1 = ) — с1х'йу'й2' = 24 4 асусос о' = ) йг'г' ) «1«р' < ып О'йО' —, (41,46) о о о г' где О' — угол между К и г'. Интегрируя (42.4б) по «р' и по углу О', находим х 1 = (4л/К) ) яп(Кг')йг'. (41.47) о Этот интеграл не является сходящимся в обычном смысле. Однако его можно представить как предел другого интеграла, сходящегося в обычном смысле, с помощью формулы х х ) яп(Кг')йг' = 1пп < е '"яп(Кг')йг'. (41.48) Интеграл, стоя«ций в правой части равенства (41.48), легко вычисляется с помощью интегрирования по частям: ) е "" яп(Кг')йг' = К/(а'+ К2).
(41.49) о Поэтому из (41.47) с учетом (41.48) и (4!.49) окончательно получаем 1 = 4л/К2. (41. 50) Следовательно, т«Уе2 1 А(0) =— 42 К2' Принимая во внимание, что К' = 4/с'яп'(О/2) = (4тза2/82) яп'(О/2), (4! .52) на основании (4!.43) находим 2е2 2 1 д(0) = !А(ОИ' = 2 4(0/2)' (41.53) Итак, если в падающем потоке в единицу времени на единицу поверхности падает Х частиц, то дифференциаль- 238 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
