А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Ь = (ас74)[(ао — со) + + со',74) с а(п'(йс/2), 230 8. Магнитный и механический моменты атома где (2/+ 1 = 2) с полным моментом О =ю, ю г(ю, ю)э+юэ/4?ггэ ./ = г,/ . В общем слУчае пРи не Рав- (40 24) ном нулю полном моменте атома имеется 2/ + 1 уровней энергии. Резонанхарактеризует частоту изменений сы осуществляются при таких часто- ориентации момен~а вдоль оси У, тах осциллирующего поля, при котоПри В, «В, цз! «Оэ вероят- рых энергия квантов поля равна разность йй (1) в максимуме существенно ности энергий между различными отлична от нУлЯ лишь пРи ц)- 0)о и энеРгетическими УРовнЯми системы, достигает единицы при оз = Оз . Вид- как это было пояснено выше в рамках но, что энергия кванта поля при этом полуклассической картины взаимо- ДЕ = йсоо = 2РвВ„ (40 25) действия магнитного момента с магнитным полем. Математически зада- равна разности энергий между со- ча в этом случае сводится к решению стояниями двухуровневой системы системы 2/ + ! уравнений.
Задачи 8Д. Магнитный момент атома, равный по модулю двум магнетонам Бора, направлен под углом 30 к индукции магнитного поля, по модулю равной 3 Тл. Найти энергию взаимодействия магнитного момен~а с полем. 8.2. Полное орбитальное квантовое число атома С= 3. Вычислить максимальную дополнительную энергию, которую приобретает атом в поле с иидукцией 5 Тл.
8.3. Определить максимальный и минимальный углы между орбитальными моментами импульса двух электронов, у которых /, = 2 и /, = 3. 8.4. Чему равны квантовые числа / полного момента импульса электрона и соответствующие модули полного момента импульса? 8.5. Чему равны множители Ланде для атомов с одним валентным электроном, у которых ь= О, 1, 2? 8.6. Чему равен эффективный магнитный момент атома, у которого Ь= 2, 2 = '/,, 5 = '/,? 8.7. В опыте Штерна-Герлаха узкий пучок атомов серебра, находящихся в йормальном состоянии, проходит со скоростью а = ЮОО м/с сильно неоднородное магнитное поле протяженностью и = 4 1О ' м и падает на пластину, расположенную на расстоянии 10 ' м от места выхода пучка из магнитного поля. Расщепление при этом равно 1 мм.
Определить гралиент магнитного поля. 8.8. Найдите энергию и момент импульса электрона в атоме водорода в состояниях Зр и 4р. 8хй Определить орбитальный магнитный момент, создаваемый электроном, движущимся в плоскости, перпендикулярной индукции однородного магнитного поля 0,2 Тл, если кинетическая энергия электрона !5 кэВ. 8.10. Найти макисмальную энергию орбитального магнитного момента электрона в состоянии 4 Р, находящегося в магнитном поле с нндукпией 0,25 Тл.
8.11. Чему равен орбитальный момент импульса протона (квантовое число !) с энергией 5 зВ. движущегося в плоскости, перпендикулярной индукции однородного магнитного поли 6,3 мТл? 8.12. Выразить проекцию спина на плоскость ХУ через квантовые числа г и тг 8.13. Найти угол между спиновым и орбитальным моментами электрона в Зе-состоянии. 8.14. Найти разность энергий двух состояний ЗэРь, и 3'Р,', в атоме водорода.
Ответы 8.1. 3 10 " эВ. 82, 0,87. Ю " эВ. 83. 160"; 45'. Вэь 7/2; 5/2; й /63?2; Ь~~35/2. 85. д,(! = О) = 2; дэ(ь = 1) = 2/3, 4/3; д (ь = 2) = 4/5; 6/5. 8.6. 2 /!5 р /5. 8.7. 2 1О' Тл/м, 8.8. 1,51 эВ; 1,48 1О з Дж с; 0,85 эВ; 1,48 10 э~ Дж с. 838 1,2 10 '" А м~. 8.10. 3.28 1О хч Дж.
8.11, ! !Одь. 8.12. 6[э(э Е!) — т,)н'. 8.13. 135". 8.14. 2,23 10 ' зВ. собственных значений Точное решение уравнения Шредингера в большинстве случаев в аналитическом виде невозможно. Теория возмущений является важнейшим методом приближенного решения уравнения Шредингера. 42 Стационарная теория возмущений в случае вырожденных собственных значений Нестационарная теория возмущений ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ в случае невырожденных 232 9. Теория возмущений 41.
Стационарная теория возмущений в случае нсвырождснных собственных значений Излагается метол получения приблииенных собственнмх значений пе зависяшего от времени оператора Гамильтона и соответству>оших собственнмх фунхпий в случае невыроилениь~х собственнмх значений Постановка задачи. Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии н от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве случаев решение уравнения — сложная математическая задача, которая не может быть выполнена с помощью изученных в математике функций. Поэтому часто приходится применять приближенные методы ре>пения задач, т. е. находить собственные значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим из приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений.
Оператор возмущения. Представим оператор Гамильтона системы в виде суммы двух операторов: О Г)>о> (41.1) причем точное реп>ение задачи для оператора Гамильтона гтнп> предполагается известным, т.е. известны собственные функции и собственные значения уравнения: >о>о> Чз>о> хчо> Чг>о> (41.2) Если бы оператор ГУ в (41.1) был равен нулю, то решение задачи свелось бы к уравнению (41.2). Однако в действительности оператор не равен нулю и необходимо решить уравнение (Г)>о> + Р) Чз йчР (4!.3) Теория возмущений позволяет сделать это приближенно в предположении «малости» оператора )у который называется возмущением.
Математический критерий «малости» оператора )>будет выяснен в дальнейшем. По смыслу задачи ясно, что этот оператор можно считать «малым» в том случае, когда собственные значения уравнения (41.3) мало отличаются от собственных значений уравнения (41.2) и собственные функции уравнения (41.3) во всех точках пространства мало отличаются от соответствующих собственных функций уравнения (41.2). Таким образом, задача теории возмущений состоит в том, чтобы исходя из известных собственных значений и собственных функций уравнения (41.2) найти с определенной с~слепые точности собственные значения и собственные функции уравнения (4 ! .
3). В этом параграфе рассмотрен случай, когда собственные значения уравнения (41.2) являются невырожденными и гамильтониан не зависит от времени. Вычисление поправок к собственным функциям и собственным значениям. Будем искать ту собственную функцию и собственное значение уравнения (413), которые при )г= О переходят в собственную функцию Ч" и собственное значение с'и> невозмущенного уравнения (41.2). Обозначим эти искомые собственные функции и собственные значения Ч' и Е . Разложим искомую собственную функцию Ч' по собственным функциям Ч>яо> невозмущенного уравнения (41.2): Ч' =2 СЧио> (41. 4) я Подставляя это разложение в уравнение (41.3), находим — Й>о>) С Чз>о> 2' РС Ч>го> (41 5) ч л 9 41 Стационарная теория возмущений 333 Умножая обе части (41.5) на Ч)!о)о и интегрируя по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функций, получаем С„(Š— Е!0)) = Х Умс„, (41.6а) где $м = ) Ч'(о'* (Ч»'.() ()х()у()а (4!.66) — матричные элементы оператора возмущения, вычисленные с помощью невозмущенных функций.
Представим искомые величины Е и С„в виде разложений в ряд Е Е(о) + Е(И 1 Е(г) 1 (41. 7) С„= С'„о'+ С'„и + С(и + ..., (41.8) считая Е„'и и С'„') величинами того же порядка малости, что и матричные элементы возмущения; Е(Я) и С'„"' считаются величинами р-го порядка малости относительно матричных элементов возмущения. Подставляя разложения (41.7) и (41.8) в (41.6) и приравнивая между собой величины одного и того же порядка малости, получаем С(о)(Е(о) Е(о)) = !) (41.9а) С(о)Е(и+ С(ИЕ(о) С(ИЕ(о) «) 1; С(о) (41.96) С(о)Ео) + С())Е(т) + С(з)Е(о) С(г)Е(о) а и к а и а а =,Г УИС(и, (41.9в) Эта система уравнений может быть решена методом последовательных приближений. Ре)ление уравнения (41.9а): С(о) 6 Е(о) Е(о) (4! . 10) Подставляя (41.10) в (4!.9б), получаем 8 Е(И + Сц)(Е(о) Еа(о)) )» (4! 11) При )( = ») из (41.11) находим первую поправку к собственной энергии: (41.
12) а при )( ~ )н-коэффициенты С(и = !» )(Е(о) — Е(о)) (41.13) Коэффициент С(() этой формулой не определяется. Он может быть найден из условия нормировки, имеющего с точностью до величин первого порядка малости следующий вид: ($Ч»(о) + Ч»(и12()х()у(1г = 1 + С(и + С(и" = 1, (41.14) т.
е. С'и ~- С"' = О. (41. 15) При выводе (41,14) принято во внимание, что если коэффициенты С„в разложении (41.4) выразить в виде рядов (41.8), то искомая функция Ч) ') Ч»(о =о где Ч(о = УС«)Ч(„о) — поправка )зго порядка малости к искомой волновой функции. Мнимая часть в коэффициенте определяе~ фазу волновой функции. Фаза волновой функции несущественна.
Не ограничивая общности, эту мнимую часть можно считать равной нулю, а из (41.! 5) следует С"' = О. (41.16) С учетом (41.13) поправка к волновой функции в первом приближении может быть представлена в виде (и «"' «и Чно) Ч' = 2 Е(о) Е(о) ~ о где штрих означает, что в этой сумме член с п = р) отсутствует. Очевидно, что требование «малости» возмущения имеет вид 234 9 Теория вовмущений ~ гг(Е(о) Е(о)! (41. ! 8) т. е, матричные элементы энергии возмущения должны быть малыми по сравнению с разностями соответствующих невозмущенных уровней энергии. Следующая поправка к собственному значению энергии находится в результа~е решения уравнения (4! .9в). Подставив в это уравнение величины нулевого и первого порядков из (4!.1О), (4!.12) и (4!.13), получаем 1„ (г (1 — 8„ ) Е(о) + С)п)(Е(о) Цо)) —,Г м " (41 19) Е (о) — Е (о) где член ! — б „ учитывает условие (41.!б). Отсюда находим Р „Р„'„ Е( ) = Е о о ("с =)и), (41.20) где штрих у знака суммы означает, что член с л = )я в этой сумме отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
