А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным 612 и — Б(2 Гсм. (ЗЗ.ЗЯ. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. Оператор спина.
На любое направление, в качестве которого можно выбрать положительное направление оси У, проекция спина может быть равной либо 6/2, либо — В~2. Обозначим к, оператор, относящийся к проекции спина на ось Х. Собственный вектор этого оператора, при- 232 8 Магнитный и механический моменты атома надлежащий собственному значению Л/2, обозначим (У, + ), а собственному значению ( — Л/2)-~2„— ), В обозначении вектора спина (см. гл. 5) знак плюс показывает, что проекция спина ориентирована в направлении положительных значений оси 2, а знак минус-в противоположном. Ясно, что уравнения на собственные значения оператора 3 имеют вид .т 1~, + > = (л/2И г, + >, (36.1а) 3 )7, — ) =( — л/2)(2; — ).
(36.16) Перейдем к базисному представлению вектора спина, выбрав в качестве базисных векторов ) У,, + ) и ) У, — ), которые ортонормированы. В этом представлении проекции вектора ) У, + ) даются числами (1, 0), а вектора ) 7., — ) — числами (О, 1), которые принято писать в виде столбцов: У,+)=, Л,— )= . (36.2) Операторы в базисном представлении выражают матрицами, элементами которых являются матричные элементы оператора. В своем собственном представлении оператор диагонален.
Учитывая, что сопряженные вектора ! Х, + ) ' и (У, — ) ' (см. (21.46)) выражаются в виде строк из комплексно. сопряженных величин (36.2), запишем Ев Спин не имеет классического аналога и в классической картине нв может быть выражен через динамические первменныв — декартовы координаты и импульсы. Позтому оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса, но, будучи оператором момента импульса, он должен удовлетворять тем же коммутационным соотноцтениям.
Операторы проекций спина в вго собственном представлении даются матрицами (36.6) — (36.7). ).с + ) + = (е, + ) = (1, О), )я„— ) = (я., — ~ = (О, 1). (36.3) Умножая (36.1) слева скалярно на (36.3), получаем следующие выражения матричных элементов оператора у, в его собственном представлении: (я., + ) г, ) 2, + ) = л/2, (е„+ ) Х,) я„— ) = О, (г, — (г, ~ г, + > = О, (г, — ).(,) г, — ) = = — Л/2. (36.4) Таким образом, матрица оператора г, в его собственном представлении имеет вид (36.5) (36.6) т(о — ) (36.7) Матрицы (36.5) — (36.7) эрми гоны и удовлетворяют требованиям квантовой механики. Векторный оператор 3=(г„, 3, Я,) (36. 8) является оператором спина. С учетом (36.5) — (36.7) получаем /1 О') уг ~г + уг + ~г = (3лг/4) (369) (.О 1)' Из (36.9) следует, что собственное значение оператора квадрата спина равно Злг/4 = лгя(3 + 1), где у = = '/г, что совпадает с (33.2) после Для получения в том же представлении выражения для операторов ьг и у„ необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями (28.17) и (28.18), которые дают уравнения для определения элементов матриц йг и 3„.
Не приводя математических выкладок„запишем их в виде ! Зб. Оператор спина электрона Б(совО япОе Уа'( 2 (,в(п Ое'" — сов О ! (36.11) где в„, в, в, определены равенствами (36.6), (36.7) и (36.5). Собственные значения ). оператора вп и принадлежащие им собственные векторы !и, у. > находим из уравнения в 1уьХ) = Х1п, у ). (36.!2) Уравнение (21.56) для определения собственных значений для оператора (36.11) имеет вид (й/2) сов Π— Х (Л/2) в!и Ое " (Л/2) яп 9еаа — (Б/2) сов 9 — ). извлечения квадратного корня. Это выражение находится в полной аналогии с формулой (28.20а) для собственных значений оператора квадрата орбитального момента импульса и иллюстрирует физическую природу спина как момента импульса, не имеющего классической интерпретации.
Без дальнейших пояснений очевидно, что полученные для оператора спина выражения справедливы не только для спина электрона, но и для спина '/, любой другой частицы. Оператор проекции спина иа произвольное направление. Направление характеризуем единичным вектором п. Ясно, что проекции этого вектора на оси декартовой системы координат даются формулами и„= и. в„= яп О сов Чу, л„= п ! = в!пОв!пур, (36.10) !. = ° вО, где ~р — полярный и аксиальный углы сферической системы координат с полярной осью У. Проекция спина на направление и равна ва п ' в = л. 5„ + лууу + пузу = = в!пОсовурв„+ япОв!пяув, + сов ОХ, = ~ сов(0/2)е '"" )п,+)= ',в!п(0/2) е'ьп ( — яп(0/2)е "") сов(0/2)еУ"' / ' (36.18) (36.
! 9) Непосредственной проверкой убеж- даемся, что эти векторы ортонорми- рованы: (и+ !и, +) = (и, — !и, — ) = 1, (и, — ! и, + ) = (п, + ! и, — ) = О. (36.20) Среднее значение проекции спина, находящегося в определенном состоя- нии. Опыт Штерна — Герлаха (см. 8 15) позволяет определить, находится ли спин в состоянии !п, + ) или !п, — ). = Хв — (Б/2)эсовэΠ— (Б/2)эяпэО = 0 (36.13) и поэтому собственныс значения равны !у=О/2, )г=-О/2. (36.14) Этот результат находится в полном соответствии с основным свойством спина электрона иметь на любое направление лишь два значения проекции. Принадлежащие собственным значениям (36.14) ортонормированные собственные векторы обозначим !п, + ) и ~п, — ).
В базисе векторов !2, + ), 1 У, — ) они могут быть представлены в виде !п, +) =а,~У, +)+!!у!2, — ), !и, — >=и,!К, + >+11,!г, — ), (36.15) где постоянные ап !3,.(! = 1, 2) удовлетворяют условиям нормировки !ау!~+ !Ру)~ = ! (! =1,2), (36.16) Подставляя (36.15) в (36.12), находим а, = сов(0/2)е 'а", Ду = яп(0/2)е"", а, = — яп(0/2)е 'и", ))э = сов(О/2)еа'". (36.17) Поэтому собственные векторы (36.15) имеют вид 214 8 Магнитный н механический моменты атома На выходе из аппарата, используемого в опыте, образуются два пучка атомов, в одном из которых все атомы будут в спиновых состояниях (и, + ), а в другом — ! и, — ). Если производи~ь измерение проекции спина на направление и у а~омов в состоянии ~п, + ), то всегда в результате измерения получается +Б/2. При измерении проекции спина на направление и у атомов, находящихся в состоянии ~п, — ), всегда в результате измерения получается — Б/2. Такая ситуация совместима с представлением о спине как о классическом векторе (моменте импульса), который в состоянии ~п, + ) совпадает по направлению с и.
Это представление еще сильнее подкрепляется расчетом средних значений проекции спина на оси координат; (и, + ) л„( и, + 'х = (я/2) яи (О/2) сов(0/2) х х (еьа + е ") = (л/2) яи О соа тр, (и, + /У )и, +) = (6/2)а!и(0/2)соа(0/2) х х ( — ее'+те '") =(О/2)япОяитр, (и, + / У, ! и, + ) = (Ь/2) (сод~ (О/2)— — яп х (О/2)] = (Ь/2) соа О. (36.21) Отсюда с учетом (36ЛО) следует равенство (и, + (Г)и, + ) = (Ь/2)и, (36.22) которое совместимо с представлением о спине как о классическом векторе, совпадающем в состоянии (и, + ) по направлению с п и по модулю равном Б/2. Но такое представление о спине неправильно. Оно было бы оправданным, если бы при каждом измерении проекции спина в состоянии ~и, + ) на оси Х, У, У получились значения (36.21).
В действительности в результате каждого измерения проекции спина на любую из этих осей равны либо + Б/2, либо — й/2, однако с различной вероятностью. Это озна- чает, что спин нельзя представить в виде классического вектора, но его образ в виде классического вектора полезен при вычислении средних значений проекций и интерпретации результатов. Все изложенное справедливо также в приложении к спину в состоянии !и, — ) с учетом равенства (и, — (а)и, — ) = — (Ь/2)и. (36.23) Вероятность проекции спина на заданное направление. При измерении проекции спина в состоянии )и, + ) на направление, отличное от и, получаются значения Б/2 и†Б/2, но с различными вероятностями. Вероятности У(У, + ) и У(У, — ) проекций + Л/2 и — йт/2 на ось У по общему правилу даются соотношениями У(У, +) = ) (У, + ~ и, ч- ) )~ = соах(0/2), У(У, — ) = ~ (У, — ! и, -Р У~а = япх (О/2).
(36,24) Измерение проекции спина у большого числа /ч' атомов в состоянии (и, + ) дает в )т/, = /т(созх(9/2) случаях результат Б/2 и в М = //яп'(9/2) случаях результат — Б/2. 37. Магиитиый и механический моменты атома Иалатаетс» векторная модель матнитното и механическото моментов атома и даются количественные характеристики модели. Сложение орбитального момента и спина. Наряду с орбитальным механическим и магнитным моментом электрон обладает внутренним механическим моментом, или спином, и соответствующим ему спиновым магнитным моментом (см.
(34.2) и (34.6)3. Полный момент импульса электрона является суммой орбитального момента и спинового моментов: 37. Магнитный и механический моменты атома 216 Ь =Ь,+Ь„ (37.1) где Ь,— орбитальный момент импульса электрона, Ь,-его спин. Известно, что модуль момента импульса всегда квантуется формулами вида ~Ь,~ = я ~!(!+ 1), !Ь,! = я ~.т(т+ 1). (37,2) Так как полный момент Ь! является также моментом импульса, то его модуль А ~ = Я ~/0 ь 1), (37.3) где / — квантовое число полного момента. Определим 7'. Возможные проекции векторов 1., и Ь, на ось У нам известны: Ьи — — Яти! (щ, = — !, — ! + 1,..., ! — 1, 0„ (37,4а) Ь, =йи, (ги,= — т= — 1/2; ат = — а + 1 = 1/2).
(37.46) Из (37.1) следует, что Ьт, = Ьы + 1.„. (37.5) Проекция полного момента на выбранное направление квантуется аналогично (37.4а) и (37.4б): Ь„= Лги! (ти = — /, — У + 1,...,У вЂ” 1,/). (37.6) Сравнивая (37.6) с (37.5) и учитывая (37.4), видим, что при данном ! квантовое число ~' может принимать два значения: / = ! + !/г, ! = ! - 1/2 (37.7) Угол между орбитальным и спнновым моментами. Для определения угла между орбитальным и синцовым моментами возведем обе части равенства (37.1) в квадрат: Ь,' = Ь,' ч- Ь,' + 2) Ь, й Ь, | сот (Ь,, 1.,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
