А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 56
Текст из файла (страница 56)
гд6 1г дЧ", дЧ'ь( (35.2) 208 8 Магнитный и механический моменты атома 35. Орбитальный момент электрона Дается характеристика орбитального магнитно- го и механического момента электрона в рамках квантово-механических врелссавлений Источники атомного магнетизма. Магнетизм атома обусловлен тремя причинами: а) орбитальным движением электронов; б) магнитным моментом электрона; в) магнитным моментом атомного ядра.
Магнитное поле, обусловленное магнитным моментом ядра, обычно много меньше магнитного поля, порождаемого орбитальным движением электронов и спином электронов, и поэтому здесь не принимается во внимание. Орбитальный момент электрона по квантовой теории. В О 15 был рассмотрен орбитальный момент электрона по классической теории.
Было показано, что между орбитальным магнитным моментом р, электрона и его моментом импульса Е, существует соотношение (15.7). Рассмотрим этот вопрос по квантовой теории. Если состояние электрона описывается функцией Ч', то [см. плотность тока (1б.20а)1 / = [счггс(2нс,))(Чэ7Ч'а — ЧэассгЧэ), (9 = — е). (35.1) В сферической системе координат составляющими оператора 17 являются д(с7г, (1гг) дгсс)9 и (япОсг) дггдЧэ, поэтому Поскольку функции )с(г) и Р',"(соаО) в выражении (30.39а) являются действительными функциями, из (35.2) следует, что Л = э'в = О (35.3) а отличной от нуля является лишь составляющая тока в направлении координатной линии ср, т.е.
в широтном направлении: 98 — гп Ч'„, нег пО где пс,— масса электрона, пс — магнитное кван~овос число. Вычислим магнитный момент атома, обусловливаемый током (35.4). Через площадку Йо, направленную перпендикулярно координатной линии ср, протекает ток Й1 =У Йо, (35.5) который создает магнитный моменс Йр„= 8Й1, (35.8э) где 5 = кг'яп'9 — площадь, обтекаемая элементом тока Й!. Таким образом, нга япхО 98 с11с„= — --, гп Чг„с„~ с1а (35.7) т,га(пО и, следовательно, (сс = ег~ 2кгйпОс1а Ч'„, . (35.8) 2ес, Вдоль трубки тока 1Ч'„с„~ ' по- стоянно, а 2кгяпОЙо = ЙРесть объем этой трубки тока.
По условию нор- мировки, ) 2нга(пОЙа ~ Ч'„, 1 = ) ЙЦ Ч'„, 1 = 1 (35.9) и следовательно д6 (35. 10) 2нс, Учитывая, что, по квантовой тео- рии, р,= — Ь г? 2гп (35.12) 70 !.„= лж, (35.11) можно (35.10) записать в виде совпадающем с (15.5) классической тео ии. Ь оскольку в качестве оси Х можно взять любое направление, соотноше- ние справедливо для проекций на любое направление.
Таким образом, можно заключить, что соотношение (15.7) между орбитальными механи- ческими и магнитными моментами остается справедливым также и в квантовой теории. Модуль и ориентировка орбиталь- ного магнитного момента. Соотноше- ние (15.7) с учетом (28.20а) и (28.20б) показывает, что модуль магнитного момента, обусловленного орбиталь- ным движением электрона, Р1 = (ел7(2лг,)1,4?!(! + !) = Рв /!(! + 1), (35.13) где рв — — ел/(2п?,) — магнетон Бора. Проекции магнитного момента на некоторое направление в соответ- ствии с формулой (28.206) равны Рг, = Рвгк(ж = — 1, — ! + 1,..., ! — 1, ! ), (35.! Ч) Ве Соотношение между магнитным и механическим орбитальными моментами в квантовой и классической теории одинаково. Собственный магнитный момент и спин электрона не имеют классических аналогов. Гиромагнитное отношение дпя орбитального движения равно 1, а для спина равно Какие значения может принимать проекция орбитального магнитного момента на заданное направление? Чему равен модуль орбитального магнитного момента? Какой смысл имеет угол между направлением магнитного момента и заданныьз направлением? 1 Зо.
Орбитальный момент электрона 209 Схема возможных ориентировок магнитного момента т.е. всего возможны 2!+ 1 способа ориентации магнитного момента относительно избранного направления. Очевидно, что углы, которые образуют вектор Ь1 с некоторым избранным направлением, например с осью Л, могут быть найдены по формуле соз(1„Ь!) = Ьм/! Ь, !, (35.15) где 1,— единичный вектор в направлении оси 2, (1„Ь1) — угол между Ьт и осью 2,. Учитывая (28.20а) и (28.20б), перепишем (35.15): соз(1„Ь,) = т! ~! (! + 1).
(35.16) Поскольку максимальное абсолютное значение и? = 1, из формулы (35.16) следует, что угол (1„Ь,) не может быть равен 0 или я, т.е. нельзя себе представить, что вектор Ь1 ориентируется строго вдоль некоторого направления. Это и понятно, потому что если бы это было так, то, зная модуль вектора Ь, и его ориентировку, можно было бы одновременно определить его три проекции на оси координат. Но это запрещается правилами коммутации для операторов Ь„, Хж .Ь,.
Схематически различные возможные ориентировки магнитного момента изображены на рис. 70. Эта дискретность в ориентировке магнит- 2ЗО 8. Магнитный и механический моменты атома Пдепессия момента импульса ного момента называется обычно пространственным квантованием. Оно было подтверждено в опытах, которые изложены в ч 15. То обстоятельство, что невозможно одновременно измерить все три проекции вектора Еп а можно лишь измерить модуль вектора ~ Е,~ и одну из его проекций, может быть наглядно интерпретировано следующим образом. Представим себе, что вектор $., прецессирует вокруг избранною направления (рис. 71).
В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция вектора 1., на направление, вокруг которого он прецессирует. Две другие проекции вектора Ь, на направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси прецессии, остаются полностью неопределенными. Напомним еще раз, что наиболее разительным отличием квантовою представления об орбитальном моменте от классического является то, что в а-состоянии орбитальный момен~ равен нулю. Дать какую-то классическую интерпретацию этого явления с точки зрения классических представлений невозможно. Заметим, что, как следует из (35.13), орбитальный магнитный момент электрона в е-состоянии также равен нулю.
Ги ром агиитиое отношение. Отношение модуля магнитного момента к модулю механического момента в единицах еД2тл„) называется гиромагнитным отношением. Иначе говоря, если отношение этих величин представить в виде п е д. 1 2ги, то безразмерное число д называется гиромагнитным отношением. Гиро- магнитное отношение характеризует соотношение между магнитным и механическим моментами системы, Из формулы (15.7) следует, что 1ь е 1, 2т, Сравнение (35.18) с (35,17) показывает, что для орбитального магнитного и механического моментов электрона гиромагнитное отношение д, равно единице, т.е.
(35.18) д, = 1. (35.19) Гиромагнитное отношение для спина электрона может быть найдено из формулы (34.7). Эта формула может быть записана в виде 1ь, Д,, = 2е!(2ги„). (35.20) Следовательно, гиромагнитное отношение для спина равно 2: д, = 2. (35.21) Отличие гиромагнитного отношения для спина от гиромагнитного отношения для орбитального движения имеет существенное значение при рассмотрении полного механического и магнитного моментов атома.
д 36 Оператор спина электрона 211 36. Оператор епппа электрона Дается предстаадеиие оператора спина а базисе собстаенных векторов оператора одной из сто декартовых проекпий Сппп. Из экспериментальных данных по дублетной структуре спектров щелочных металлов (см. 5 33) следует, что электрон обладает собственным моментом импульса, получившим название спина. Объяснить возникновение спина какой-то классической моделью оказалось невозможным. Спин является первоначальным свойством электрона, и задача заключается не в том, чтобы объяснить, а в том, чтобы описать его. Поскольку спин является моментом импульса в классическом описании, он является вектором я, проекции которою на оси декартовой системы координат обозначаются, как обычно, а„, а„, а,.
Векторный характер спина предопределяет его свойства при классическом описании явлений. В частности, его можно складывать с другими моментами импульса по правилу параллелограмма и с орбитальными моментами импульса. Однако его принципиальное отличие от орбитального момента импульса обусловливается тем, что орбитальный момент импульса как динамическая переменная выражается через другие динамические переменные— декартовы координаты и импульсы, в то время как динамическая переменная, названная спином, через другие известные динамические переменные не выражается.
Оператор орбитального момента импульса легко получается по общим правилам перехода от классического описания к квантовому посредством замены классических величин на соответствующие операторы, как это сделано в 5 18. Значение оператора позволяет найти его собственные функции и собственные значения, коммутационные соотношения различного рода и описать все квантовые свойства орбитального момента импульса. Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные — декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах.
Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. 8 23). Поскольку спин не может быть предо~вален как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
