А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Поэтому эту функцию следует искать в виде с= 2 а,р'. (30.16) !=о Подставляя ряд (30.16) в уравнение (30.15) и перегруппировывая члены, получаем н 2' (В! ~А — ! — ! — Ес)а„р" + а=о + 2' [2(Е + 1) !! + Ес((с — ! )Д а! р" ' = О. к=о (30.17) Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях р в этом ряде, находим рекуррентные соотношения для определения неизвестных коэффициентов а„ и„(В! ЕА — ! — 1 — !!) + -р а„г(!с + 1)[2(Е+!) + Ес) = О, (30,18) которые приводят к формуле и!ч ! = ик(!с + ! + !— — В! ??А)Е[(Ес+ !)(Ес+ 2Е+ 2Ц. (30,19) Е Какова кратность вырождения уровней знергии атома водорода? Сформулируйте правила отбора дпя главного квантового числа. В чем состоит физический смысл распределения плотности в влектронном облаке? Из последнего соотношения следует: а„„Еа, = (1 — а„) Е(Ес + 1), е! = (Е+ 1 + В! ?гА)Е(Ес + 2Е+ 2).
(30.20) Ясно, что 1пп е„- О. Поэтому начиа л ная с некоторого члена к = к справедливо неравенство ик; ! Еи! = = (1 — а„) Е(Ес + 1) ) (! — е! )Е(1 + к), (30.21) причем при достаточно больших к величина а, может быть сделана ао сколь угодно малой. Неравенство (30.21) показывает, что начиная с Ес = = Ес„члены ряда (30.16) растут быстрее, чем члены ряда (! — а )" (30.22) т=о ! Поэтому функция р, определяемая бесконечным рядом (30.16), растет быстрее, чем функция (30.22). Число б, может быть выбрано сколь угодно маолым. Следовательно, если р представляется бесконечным рядом (30,16), то функция (30.14) на бесконечности обращается в бесконечность, что недопустимо.
Поэтому ряд (30.16) не может бьггь бесконечным. Оборвем его на Ес, т. е, будем считать, что и! Ф- О, аа+ ! — — иачз =... = О. Из формулы (30.19) видно, что условие обрыва ряда имеет вид В! А — ! — 1 — !с=О. (30.23) Учитывая значения величин В и А, определенных в (30.2), находим следующее выражение для уровней энергии водородоподобного атома: глу! ек ! Е„=-— 32яза?азиз ' где л = Е+ Ес + 1. (30.246) !90 7 Атом водорода и водородоподобныа атомы Целые числа л, 1 н )г называются соответственно главным кви!!товым числом, орбитильным ква!!товым числом и ридиилькым квинтовым числом.
Поскольку ! и )г могут принимать значения О, 1, 2, и т.д., главное квантовое число принимает значения л = 1, 2, 3, ..., (30.25) Радиальные волновые функции. Уравнение (30.15) для функции о с учетом (30,23) может быть переписано следующим образом: Рв" + Е2(1+ 1) — Р1в'+ + (п — ! — 1)в = О.
(30.26) Рассмотрим функцию /'= е 'р"'. (30.27) Дифференцируя зту функцию по х, получаем уравнение Р7 + Р7' — (.1+ д))'= О. (30.28) Дифференцируя его х+ 1 раз, находим р)2*~ 2) + (д + 1 — рдг*+ ') -)- (2 + !)г !) = О. (30.29) Введем теперь новую функцию д по формуле 72!) = е 'р'д. (30.30) Подставляя это выражение в уравнение (30.29) и сокращая на множитель е рр', получаем для д уравнение Рд" -)- (д+! — Р)д'+ гд = О. (30.3!) Решения уравнения (30.31) называются полиномамн Лагерра Щ(р).
Из (30.30) с учетом (30.27) следует, что (Ь ц!1)(Р) ар Р-1 (е — р Рр з з) г(Р' 2(д+ 2),, — ( — 1) 1Р— Р + 2(в — 1)(д+ г)(д+ 2 — !),, + Р . ! (30.32) Сравнение (30.31) с (30.26) показы- вает, что уравнения совпадают, если в (30. 31) 9=21-~ 1, и — 1 — 1=2=)1, (30.33) Следовательно, в = )Ч. !21'-"21) (Р) (30.34) и радиальная волновая функция, являю)цаяся собственной функцией уравнения (30.4), записывается сле- дующим образом; р — ))( е — р)гр!д!2)р !)( ) (к=п — ! — !), (30. 35) Коэффициент Х„! находится из условия нормировки: ) Дггг !с о !2 !л)-з)чг ) а-рргв+н 0121+ !)(211!з !)4Р а (30.36) где г = р/(2 А), причем А дается равенством (30.2).
Представив в интеграле, входящем в (30.36), один из полиномов Лагерра в виде !1 д!2!11! р -21-1 ( — р 2!р121) (рг (30.37) а другой — в виде ряда !'1!21 з 1) Чг „Г !1(2!+ ! + !1) =(- !)"~ Р' — — Р' '+.. (30.38) и вычисляя интеграл по частям, полу- чаем 9 30. Стационарныа состояния атома водорода и спектр излучения ( Е-2 2Е+1) !9)21+1) !Э)21" 1)С)р в = ! е ')221" '"1(й + 1)! )т— а — (с(2! + 1 + (с)(с ! ) с)(с = = (2(+ 2+ (с) !((с+ 1)!— — (с(2( + 1 + (с))с!(2! + ! + (с)! = = (2( 4 (с + 1))с! 2(( + (с + 1). Поэтому !)(ы = 2АП4Цп — ! — !)!(и + () )и1 причем А = 2тЕ„(йз = е((а„сс)2, ав = 4кавй((те') — радиус первой боровской орбиты в атоме водорода.
Окончательно волновые функции водородоподобного атома могут быть записаны в виде Чс„с = (сы(г)У",'(О, ср), (30.39а) где (2! 4 1(! — т)! 1; (О,ср) = ! — е' 'Р,"'(соз0), Ч 4к ((+ т)! (кми ! 4 2-212 а1)2121+ 11 (а) «иа т(()и — С вЂ” П!Ся+ ))1 (30.39б) р = 2е.т((иао), ав — — 4иеой~/(те ) (и = 1, 2, 3, ...; ! = О, 1, 2, ..., и — 1; т = — (, — (-~ 1, ..., ( — 1, (). (30.39в) Уровни энергии Е„вырождены. Уровню с номером и принадлежит число состояний 1= — 1 =1 ,) ) !=п с=в Правило отбора для вс Нетрудно заметить, что гм.
= )(!ыгЯ„чс)хс)ус)г тс 0 (30.41) при любых соотношениях между и и и'. Это означает, что правило отбора для главного квантового числа имеет внд Ли-любое число. (30.42) Распределение плотности в электронном облаке. В сферических координатах местоположение электрона в атоме характеризуется величинами г, О, ср. В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона, а смысл имеет лишь вероятность местонахождения электрона в той или иной области пространства.
Для наглядности можно говорить об электронном облаке как о распределенном в пространстве вокруг ядра. Плотность распределения электронного облака в каждой точке пропорционально плотности вероятности для электрона находиться в этой точке. Физический смысл распределения плотности в электронном облаке заключается в следующем. Если имеется очень большое число совершенно одинаковых атомов и если в каждом из этих атомов произведено измерение местоположения электрона, то число случаев, когда электрон окажется в том или ином элементе объема, пропорционально вероятности нахожления электрона в этом элементе объема. Таким путем можно в принципе проверить предсказания теории и получить физическую интерпретацию распределения плотности в электронном облаке. Плотность вероятности местоположения частицы дается квадратом модуля волновой функции.
В рассматриваемом случае волновая функция имеет вид (30.35). Элемент объема в сферических координатах 192 7. Атом водорода и аодородоподобные атомы 5аа збаа 35аа 20аа 63 Распределение плотности электронного облака дла круговых орбит 5ае Юаа !5аа 70аа 64 Распределение плотности злектронного облака дла эллиптических орбит равен дхг(уоя = гзяпйдОг)грс)я Следовательно, вероятность того, что координаты электрона заключены между (г,г + с)г), (0,0+ с)0) и (гр, гр + + игр), равна Ч„*м(г,Е, Р~Ч„,„(г,Е,Ч>)гзв1п040 Ь, 1г.
(30.43) Прежде всего исследуем распределение электронной плотности в радиальном направлении. Для этого воспользуемся для Ч' ее выражением по (30.39) и произведем усреднение по углам О и гр. В результате останется лишь зависимость от г, описываемая функцией Яы. Формула (30.43) показывает, что распределение плотности в радиальном направлении характе- ризуется функцией Р„,(г) = д~~г~. (30.44) Рассмотрим наиболее существенные особенности этого распределения. При и = О, 1= и — 1 орбиты являются круговыми. Чтобы в этом убедиться, заметим, что модуль момента импульса равен (Е! = (г х р! = = изогяп(г,т).
При фиксированном модуле скорости о, или, что то же самое, при фиксированной энергии, момент импульса имеет максимальное значение, когда яп(г,т) = 1, что осуществляется при круговой орбите. Максимальное значение момента импульса при и = сопя в квантовой теории достигается при ! = и — 1 (при фиксированном и). Следовательно, состояния с 1 = и — 1 соответствуют движениям по круговым орбитам классической теории. Для этих состояний яд" ы = 1 = сопзц яы = =сонме" р" 'и Р(г) = сонате' 'р'".
(30,45) Вид функции Р (г) представлен на рис. б3. Из условия ОР(ср = 0 находим радиус„при котором достигается максимум плотности г„= пза 17, (30.46) совпадающий с боровским радиусом соответствующей орбиты. При й Ф 0 орбиты эллиптические. Полипом Лагерра )с-й степени имее~ й корней. Поэтому функция Р(г) )с раз обращается в нуль (рис. б4). Схема уровней эяергпп водородного атома и спектр излучения.
Поскольку формулы (30.24а) и (14.19) не отличаются, схема уровней атома водорода, полученная по формуле (30.24а), совпадает со схемой уровней по теории Бора (см. 0 14). Частоты 5 31. Учет конечности мессы ядра излучения и различные серии спектра атома водорода описываются формулами, полученными в теории Бора. Поэтому повторять их нет необходимости, и мы лишь отметим различие в интерпретации формул. Теория Бора не могла объяснить, почему значение л = 0 в формуле (!4.19) должно быть отброшено.
В формуле же 130.24а) значение и = 0 исключается, поскольку л =!+ Й+ 1, а 1 и й могут принимать только нулевые или положительные значения. Второе различие заключается в интерпретации характера движения и квантовых переходов. В теории Бора счигается, что электрон движется по орбите вокруг ядра по законам классической механики. Отличие от классической электродинамики состояло в том, что электрон не излучает при ускоренном движении. Вне классической механики оставался также вопрос о выборе орбиты (правило квантования Бора). Излучение в теории Бора объяснялось законом сохранения энергии при переходе электрона с одной орбиты на другую.
В квантовой механике интерпретация движения электрона другая. Прежде всего нельзя говорить о движении электрона по какой-то траектории, т.е. нельзя представить координаты электрона как функции времени. Это связано с общими особенностями вероятностного описания движения микрочастиц в квантовой механике. Поэтому вместо представления о движении электрона по определенной орбите употребляется представление о состоянии движения электрона, описываемого той или иной волновой функцией, т.е. говорят, что электрон находится в том или ином состоянии. Состояние движения электрона не всегда имеет даже какой-то приближенный классический аналог.
Напри- о ~ч мер, при / = 0 орбитальный момент импульса электрона равен нулю. В классической интерпретации зто соответствует движению электрона вдоль радиуса, т.е. электрон при своем движении должен пересекать область, занятую ядром. Такое движение в классической механике невозможно. В квантовой же механике состояние с нулевым орбитальным моментом импульса существует-это у-состояние электрона. Распределение электронного облака в этом состоянии сферически-симметрично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
