А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 48
Текст из файла (страница 48)
иь Квантовое число ! называют орбитальным квантовым числом, а кван'товое число т — магиитггым. Поэтому четность волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметричном, поле совпадает с четностью орбитального квантового числа, или, короче, с четностью момен~а импульса частицы. Собственные функции и собственные значения ротаторя. Простейшим движением частицы в центрально- симметричном поле является ее движение на неизменном расстоянии от центра (жесткий диполь). Такая система называется ротитором. Задача о ротаторе имеет применение при исследовании спектров молекул.
Поскольку для ротатора г = соль!, не ограничивая обгцностн, можно положить Е„(г) = О. Уравнение Шредингера для ротатора имеет вид Чьз „Ч' + (2гна~/Бг) ЕЧ' = О, (28.21) где а — радиус ротатора. На основании сказанного (см. 8 27) заключаем, что собственные значения энергии ротатора равны Е, = (й~!(2гла ))!(!+ 1) = Яг!(2Г))!(!+!) (28.22) где ! = та'-момент инерции ротатора. Собственными функциями являются функции УГ (О, гр), определяемые выражением (28.16). Пусть ! = О. Тогда т = О и Ус с= 1! ~4п. В случае ! = 1 имеется три собственных функции с т = — 1, т = О, т = +1.
При ! = 2 кра~нос~ь вырождения равна пяти. В табл. 1 даны формулы для простейших функций. Поскольку ) У, ~ не зависит от угла гр, распределение плотности вероятности местоположения частицы является аксиально-симметричным. Это распределение графически можно изобразить на плоскости У, Х, откла- 58 ! у',"!с Ссстоквнс 1", У8 = 1/ /4к У)=[3/(4кЦ "г .0 У! = — [3/(8лЦ "' яп 0 е" 1=0, гп=О !У8!г=1/(4к) ! Угс' ! г = [3/(4лЦ соа' 8 ! У! !' = [3/(8кЦИп'0 1= 1, т=б 1=1, т=+! 1=1, т= — ! 1=2, т=-О 1=2,т=2 1=2, т= ! 1=2, т= — 1 1=2, т= — 2 УГ ' = [388кйог яп 8е '" ! У['!' = [3/(8лЦ яп' 8 ! У, !' = [!5/(32кЦяп 0 178 8.
Простейшие случаи движении микрочастиц распределения плотности электронного облака дывая )Р7) по радиусу-вектору в направлении угла В. На рис. 58 изображено распределение плотное~и вероятности для ! = О, 1. В табл. 1 даны выражения для ряда функций У'," и соответствгуюших пло ! ностей вероятности ~У!! . У8 = [584лЦ "г ВЗ/2) сока 0 — 1/2) Угг = [15/(32кЦ '~' япг О ест Уг = — [15/(8кЦ ог яп 0 сок О.е"' 1'г ' = [15/(8лЦ "' яп 0 сок 8 е 'с Угг = [15832лЦггг нп Ос гт Правила отбора.
Для вычисления матричного злемента от х = а сон О = = аг„где Р, = соай, примем во внима- ние рекуррентное соотношение ~Р'," = [(1 — т + 1)/(21 + !Ц Р,",, + -!. [(1+ т)/(2! + )И Р,, (28.23) Тогда = ) (Уг/)'ау",'с)й = = а(С,. )*С, )с Р'," Д) Р,"Д)ехр х х ( — пи'ср + 1т<р) с)й = = а(С,. )"С, ([(1' — ги'+ 1)/(2/+ 1Ц х х ~Р,"!, г Р'," ехр( — ии'ср + анр) с)й + + [(1'+ ги')/(21'+ )Ц) Р, [ г Р","ехр( — /т'ср + + /тср)с)й), где С, — нормировочные козффициен- ты, которые нет необходимое~и вы- писывагь.
При ги' = иг, !' + 1 = ! пер- вый интеграл отличается от нуля, а второй равен нулю, а при иг' = иг, !' — 1 = ! первый интеграл равен нулю, а второй отличен от нуля. Таким образом, получаем следующие пра- вила отбора: ггт = О, Л/ = +1. (28.24) Однако зги правила отбора не яв- ляются полными, так как необходимо сщс рассмотреть координаты х и у. Введем для удобства величину т) = х + гу = а яп0 е"'. Таблица 1 ! У) ! г = [5/(4лЦ [(3/2) соаг 0 — 1/2) 1У)!' = Г!5/(32 Ц '0 ! У '!г = [!5г(8лЦяп Осок 0 ! У,' ! ' = [ ! 5/(якЦ яп' 0 соаг 0 1 29. прохождение микрочастиц через потенциальный барьер з79 Рассмотрим матричный элемент = а)з!вбегя(У,",')ь У',"с)П. (28.25) Воспользовавшись рекуррентным со- отношением (1 — 1') Р)" = (21 + 1) '(Р)"Л вЂ” 17 ), находим, что (28.25) отлично от нуля при з5лт = х1, Л1 = +1.
Таким образом, правило отбора для ротатора з)т = О, + 1; Ы = + 1. (28.26) Пользуясь этими правилами отбора, находим для частот, излучаемых при переходах, формулы Е,— Е,ь, озыяг = Б Б ~1(1+ 1) — (1 — 1)1 Ы 1(1 + 1) — (1 ф !)(1 + 2) 8 ( 1(1 =1- Ц, (28.27) .1 (-(1+!) (1 =1+ 1).
Отрицательный знак частоты показы- вает, что при соответствующем пере- ходе происходит не излучение, а по- глощение кванта этой частоты. Классифцкация состоянцй по мо- менту импульса. Состояния движения электрона с различными моментами импульса имеют специальные назва- аа Радиельнме функции и собственные значения энергии лри движении в центрально-симметричном пола определяются конкрвтнмм видом полн. Зависимость волновой функции от углов для всех сфаричвски-симметричнмк полей одинакова и описывается сферическими функциями. Е Сформулируйте есе правила коммутации момента импульса и его проекций. Чем определяется четность сферической функции? Сформулируйте правила отбора яля ротатора. Как классифицируются состояния по моменту импульсау 13 ния. Если квантовое орбитальное число 1 равно нулю, то говорят, что электрон находится в б-состоянии, при 1=! -в р-состоянии и т.д. Таблица 2 Орбитальное число 1 О ! 2 3 4 Состояние При рассмотрении движения электронов говорят об з-электронах, р-электронах, с(-электронах и т.
д. Это означает, что имеются в виду электроны, орбитальные квантовые числа которых равны О, 1, 2 и т.д. Говоря о р-состоянии, г)-состоянии и т.д., имеют в виду состояния движения, в которых орбитальное квантовое число равно 1, 3 и т.д. 29. Прохождение мнкрочаствц через потенциальный барьер Рассматриваются прсксжяеялс ьтикрсчастнв через пстснниатьннй барьер и соответствующие физичсскяс яьясяия. Определение потенциального барьера. Потенциальным барьером называется область пространства, где потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях пространства. Рассмотрим для примера наипростейший случай одномерно~о движения с потенциальным барьером прямоугольной формы (рис 59).
В областях 1 ( — со<х<О) и П! (а<х<со) потенциальную энергию частицы, не ограничивая общности, можно считать равной нулю. Область П (О «х < а), где потенциальная энергия часгицы равна Е„„ является потенциальным барьером. Если частица, имеющая энергию Е, движется в области 1 в положи- 180 6. Простейшие случаи движения микрочастиц 59 Прямоугольный потенциальный барьер ~ельном направлении оси Х, т.е. по направлению к потенциальному барьеру, то, по классической теории, при Е ( Е„ частица не сможет преодолеть потенциального барьера, поскольку ее энергия недостаточна для этого.
В резуль~ате частица отразится от потенциального барьера, изменив направление своего движения на обратное. В случае Е > Ев„ частица наверняка преодолеет потенциальный барьер и попадет в область П1, где будет продолжать двигаться с прежней энергией в положительном направлении оси Х. Однако квантовая механика приводит к заключению, что в случае Е < Е„„существует определенная вероятность проникновения частицы через потенциальный барьер из области 1 в область 1П, а для Е > Е„„суц1ествует определенная вероятность отражения частицы от потенциального барьера. Явление проникновения частицы через потенциальный барьер называют туннельным эффектом. Он имее~ большое значение в некоторых физических процессах.
Коэффициент прохождения и коэффициент отражения. Явление прохождения через потенциальный барьер и отражения от него характеризуется с помощью коэффициента прохождения Р потенциального барьера и коэффициента отражения В. Эти коэффициенты определяются как отношение плотное~и потока отраженных и прошедших частиц к плотности потока падающих частиц. Очевидно, что О+ В= 1.
(29.1) Прямоугольный потенциальный барьер. Рассмотрим для определенности случай Е ( Е„ и найдем коэффициенты 0 и )т. Уравнение Шредингера в различных областях имеет следующий вид: (1) Чт-+ ьг.гЧт О йг 2 Е)кг (,г (11) Ч' — (т~ ~Ч'г = О lг~~ = (2т(йг)(Е,е — Е)>О, (1Ц) Чт" +)ггЧт О йг 2глЕ)йг (29.2) где штрихами обозначены производ- ные по х. В области 1 имеются как падаю- щая, так и отраженная волны: 'Р, = А,ег"* + В,е (29.3) а в области 1П-только прошедшая волна, движущаяся в положительном направлении оси Х: Ч'г = Азеа'" '. (29 А) В области П обгцее решение имеет, очевидно, вид 'Р = А е ~г" + В егг".
(29.5) Плотность по~оков падающих, отра- женных и прошедших частиц равна соответственно (д)г(лт) ),( ~г 1 (В/г(т))В ~г 1„„,„= (В)г/и) 1Аг)', По определению, 0 = 11 Цу 1= )Аг1~1)Аг)~, (296) В = УмаИ/ .к) = ~Вг!'1)Аг!'. (29.7) Из условий непрерывности волно- вой функции и ее производной в точ- ках х = О, х = а находим следующие соотношения между коэффициентами: А, +В,=Аг+В, (29 8а) (29.86) 5 29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
