А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

(24.21) Уравнение Шредингера для вектора 166 5. Основные понятия теории предстввлений состояния !Ч>ш(1)) имеет вид л т( — — — ! Ч' (т) ) = (Я)„> -Е Н)„>(т)1 ! Ч'ш(т) ). (24.22) Перейдем к промежуточной кар- тине, в которой вращение базиса ге- нерируется оператором (>')й>(т), удов- летворяющим уравнению (7~о> уо>(ло> (24,23) 1 Если бы в (22.21) было г)тш>(1) = О, то с помощью опеРатоРа (>'>шо> можно было бы полностью снять вращение с век- тора состояния и перейти к картине Гейзенберга.

Олнако при тт>ш»(г) ~ 0 оператор (>'шо> снимает с вектора со- стояния ! Ч>(~) ) лишь часть вращения. Остальная часть вращения генериру- ется гамильтонианом Л>ш»(1), Очевид- но, что ! Ч'ш(>) ) = (>Й(> то) ! Ч>в(>) ) (24 24) гле ! Ч'в(!) ) — вектор состояния во вра- щающемся базисе. Отметим, что в (24.24) все величины относятся к мо- ментУ вРемени б а момент вРемени то характеризуе~ начало отсчета време- ни, поскольку (>(й>(б го) = 1.

Индекс «в» указывает, что этот вектор ха- рактеризует состояние в картине взаимодействия. Из (22.24) следует, что !Ч'вР)) = 1>(й> (> то)!Ч'ш(т)) (24.25) и поэтому ! Ч'в(то)) = ! Ч'в>(~о)), т.е. при 1= 1 кет-вектор состояния в картине взаимодействия совпадает с кет-вектором в картине Шредингера. Это означает, что в этот момент осуществляется переход во вращающийся базис. Уравнение для ! Ч' (1) ) может быть найдено дифференцированием (24.25) по времени: 6> т( ! )в(т)) = в -- !ч (т)) — тй)й" — !чш()) = с>)й Йй ! 4 >в>>) ~ + Цй». (2э)о> „42>о)! Ч> = (>(й" 4й>'!Ч'ш) = (7(о>+ тэ»>(3(о>(2(й> т ! Ч> г)(о>+44»>()(о>!Ч> (т)) (24.26) Принимая во внимание, что тот>>(т) ~«о>т тэ>>>т>(о> — гамильтониан ЙЯ> во вращающемся базисе, окончательно запишем уравнение (24.26) в виде 6Д ! Ч>в(т) ) Йвв (>) ! Ч>в(т) ) (24.28) >4> (24.27) Следовательно, эволюция вектора состояния в картине взаимодействия определяется гамильтонианом Н)>», Зависимость операторов динамических переменных от времени во вращающемся базисе опеределяется оператором 0)й> в соответствии с (24.! 8) формулой 4в(') =- Г>ш" 4ш (нш'* (24.29) а уравнение движения для операторов в картине взаимодействия дается формулой (24.20) в виде лд — — —.4в — — (Ав)чв — 44в 4в) = [ 4в Нв1.

>' т)> (24.30) Физические результаты теории в картине взаимодействия и в картине Шредингера, конечно, одни и те же, как это следует из соотношений (А !Ч' (т)) = (Ав(т)!Ч' (>)), (24.31) Ав(т) ! Ав(т) ) = СЙ" Ащ()й>(>)й>" ! Ащ) = = Цй" Аш ! Аш) =,4 ! Ав(т) ) (24 32) 1 24 Различные представления квантовой динамики 167 (Ч (г)) = ,'> !Е)(Е!Ч'(г)) = Яа (г))Е), Е Б (24.34) где а.(г) = (Е!гр(г)). Применяя слева к обейм частям равенства (24.34) опе. д ратор (Š— — Й, получаем дт (гдд/дт — Й))Ч'(г)) = 0 = Гйс)ев(г) — Еав(г) ! Е), (24.35) с(т Отсюда из-за полноты и ортоиормированности базиса ! Е) получаем уравнения для каждого значения Е Ь с)ак — — — = Еав(г), с(г (24.36) решения которых ав(!) = ав(О)е (24.37) Следовательно [см. (24.34)3, !Ч(г)) = 2 !Е)(Е!'Р(О))е .

(2438) Сравнивая (24.38) с определением пропагатора (24.8), получаем которые доказываются с помощью (24.24) и (2429). Стационарные состояния. Пропагатор (7(!) в картине Шредингера иаиболее естественно выразить в эиергетическом представлении. В качестве ортоиормироваииого базиса в этом случае беру~ел собственные векторы !Е) ие зависящего от времени оператора Гамильтона Й, прииадлежащие собственным значениям энергии Е. Векторы !Е) удовлетворяют ие зависящему от времени уравнению Шреди игера: Й)Е) = Е!Е). (24.33) Вектор состояния (гр(г)) по формуле (2! .

74) может быть представлен в виде сг(г) = ,'г ! Е) (Е ! е (24.39) Для непрерывиого спектра собствеииых значений Е сумма в (24.39) замеияется интегралом. Состояние, описываемое зависящими от времени векторами ! Е(т) ) = ! Е) е называется стационарным. Такое иазваиие обусловлено тем, что в этом состоянии вероятность э. (А) получить в измерении динамической перемениой, представляемой оператором А, зиачепие А не зависит от времени: У(АА) = !(А!Е(г)) !г = !(А !Е)е е"!г = ! (А ! Е) ! ' = ат (А, О) . (24.4 !) Таким образом, понятие стационарного состояния не озпачает его независимости от времеви, а отражает лишь независимость от времени результатов измерения динамических переменных. Пример.

24.1. Рассмотрим линейиый осциллятор в представлении чисел заполнения состояний (лииейиый осциллятор в х-представлеиии см. э' 27). Гамильтоииаи лииейиого осциллятора Й рг((2т) + )эяг(2 (24.42) при переходе к операторам Р = Р/ ./тлсг, Х = Я Ъ/Яи) (24.43) принимает вид Й = (Бог!2)(Х г + Р'). (24.44) Коммутатор операторов Х и Р равен /)) ж р) = „',— (х.л = р, р) = . лте,/тяте (24.45) Для дальнейших вычислений це- 168 6 Основные понятия теории представлений лесообразно перейти к оператору а = (Х + ГРУ~,/2 (24.46 а) и сопряженному с ним оператору а' = (х — гР)7 /2, (24.466) которые не являются эрмитовыми.

Из (24.46) следует, что ай+ =(Хт+ рт;[Х В))72 = = '!2(Х'+ Р'+ 1), В й = (Хт+ Р + ![Х Рз)/2 = / (Хг + Рт 1) (2447б) и поэтому Х~ + Р~ = аа + й" а = 2а+а + 1, (24.48а) [а й "1 = 1. (24.48б) С учетом (24.48 а) можно предста вить гамильтониан (24.43) в виде Й = йио(В+В + '/ ) = йив(й + '/а), (24.49) где оператор )т'=й й (24.50) является эрмитовым. Обозначим )л) собственный вектор оператора Я, принадлежащий собственному значению и. Собственный вектор 1л) предполагается нормированным (п1и) = 1. Докажем, что собственные значения оператора Я неотрицательпы. Из соотношений (п1)т')п) = (п1а"а!п) = ((п)й+)(а1л)) = = !(й!п))1~ > О, )т')л) = л)и), (л1)т'(и) = = л(п(л) = л (24.5 !) следует неравенство и ) О, которое требовалось доказать. Кет-вектор а+~и) является собственным вектором оператора 7т', принадлежащим собственному значению и+ 1, как это следует из соотношений Я(а 1и)) = й'ВВ~1п) = й~(й а+ 1))л) = = й~(Х+ 1)(л) =(л+ !)йт )л), (24.51) если принять во внимание, что кетвектор а')п) не равен нулю.

Справедливость последнего утверждения обосновывается вычислением квадрата модуля этого вектора: 1а"1и)1~ = ((и)й)(й'1л)) = (и1аа')л) = = (л1Й'й + 11л) = (л1)т' + 11п) = = (п+ 1)(и1и) = и+ 1 ) 1, (24.52) поскольку п ) 1. Аналогично показывается, что кет-вектор а ~ и) при л Ж 0 является собственным вектором Ю, принадлежащим собственному значению и — 1, а при и = 0 и только при и =0 он является нулевым вектором, т.

е. а!О) = 0: Я(а)п)) = (В~В) Й1п) = (аа — 1)й / и) = = (аа й — й)(и) = й(а'а — 1))и) = = й()т' — 1) ! п) = а(п — 1)1л) = = (и — 1) й1и). (24.53) Так как л ) О, то а~ 0) = О. Из (24.51) и (24.53) заключаем, что действие операторов а и а' на собственные векторы оператора )т' дает другие собственные векторы оператора У, за исключением действия оператора а на вектор !0).

Действуя повторно операторами а+ и а на вектор )п), можно получить последовательность собственных векторов оператора М, принадлежащих собственным значениям и, и+ 1, и+ 2, и+ 3, ... и и — 1, п — 2, л — 3, ... Во втором случае процесс ограничен условием не- отрицательности собственного значения, однако нулевое собственное значение оператора )т' не исключается.

Кет-вектор с нулевым собственным значением обозначается )0) и для него а ~ 0) = О, где справа стоит нулевой вектор. Повторное применение оператора а+ к вектору ~ 0) дает последовательность собственных векторов оператора )т7, принадлежащих собствен- 6 24. Различные представления квантовой динамики 169 0 0 0 0 О 1 0 0 0 0 0 /2 0 0 0 оозоо 0 0 0 '40 ным значениям этого оператора, составляюгцим последовательность целых положительных чисел л = О, 1, 2, ...

Это означает, что собственные значения энергии гамильтониана (24.49) ~тв (п + /2)' (24,54) Поскольку вектор а+ )л) пропорционален нормированному собственному вектору ) и + 1), можно выбрать фазу нормированного вектора (и) так, чтобы было 0 1 0 0 0 0 00 /2 0 0 0 ооо /зо о 00 0 О /4 0 00 0 0 0 /5 (24.59) ! )и+ 1) = а'!л).

/л+ 1 (24.55) х (й+)'/л — 2) = ... = — (й')"!0). (24.56) /л' Базисные векторы ) л) ортонормированы. Из (24.55) находим матричные элементы оператора а'. (л')й+)п) = /л+ 1(л'!а+1) = =,4+ !8„,„„. (24.57) Так как а = (а+)ч, то матричные эле- менты оператора а (л'(й!л) = /пбк „ (24.58) !Чт(1)) = Ес„е в"+'а'"'(и). (24.62) Матрицы операторов й+ и й имеют вид Отсюда 1 „1 ! и) = — а+ )л — 1) = х 'п /п(п — 1) Из (24.46) получаем операторы Х= (й++а)/ /Д Р = 1(й' — й)/,Д (24.60) матричные представления которых следуют из (24.59): О 1 0 0 1 0 /2 0 Х= — 0 /2 0 /3 ,/2оо,/зо 0 — 1 0 0 1 0 — /2 0 0 /2 0 —,,/3 ..

(24.61) О 0 /3 0 Вектор произвольного состояния ~ Ч'(1)) может быть представлен в виде 160 5. Основные понятия теории представлений Задачи 5,1. Вычислить коммутатор (сир', .ФЗ 5.2. Вычислить функцию е'"Р' 'Ч' (х). 5.3. В момент Г = 0 вектор состояния гармонического осциллятора задан соотношением )Ч' (0)) = Е с„~л). Найти вектор состояния !Ч' 11) ) системы в момент времени г и вычислить (х), (р). 5.4. Вычислить в состоянии )я) линейного осциллятора (х), (р), ((Лх) ) и ((Лр) ). 55. Известно, что А — ВА = 1. Найти А — В~А = 7 Ответы 51. аехр(уар1л), 52, Ч'(х+ а). 53. Ес„ехр! — 1(и+ "/ )юг~)п);,/йи(0ЕЯп+1)(2 х х (с„с"„ьгеьы+ с'„с„~, е '"'); 1 'шйюЕ '(л+!)~2(с„с"„ь,е' ' — с*„с„+,е ' ').

54. О; О; (и+ '~з)йш()); (и+ ",,)тйек 55. 2В. 25 27 движение в поле центральной силы. Ротдтор н гн Свободное движение частицы Частица в одномерной потенциальной яме Линейный гармонический осциллятор Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИ КРО ЧАСТИ Ц Х арактер энергетического спектра частицы определяется в первую очередь областью движения-для конечной области он дискретен, для бесконечной— непрерывен. Спектры других динамических переменных также зависят от области изменения переменных.

Потенциальный барьер для микрочастиц не составляет непреодолимого препятствия. 162 6. Простейшие случаи движаиия микрочастиц 25. Свободвое лввжеице частицы Обсуждается свободное движение час1ипы в неа1раниченном пространстве и возможность его прибз1иженного предс1авления посредством нормирования волновых функний на длину периодичности Волновые функции. В случае свободного движения внешние силы отсутствуют. Ограничимся рассмотрением движения в одном измерении. Оператор Гамильтона Й и уравнение Шредингера можно записать следующим образом: В12 дз Й= — — — „ 2лг дх" (25.1) Гг дЧ' дз д'Ч' (25.2) 1 дт 2лг дх' Положив 'Р(х, т)=е ' оЯЧ'о(х), (25.3) получим для Ч' (х) уравнение г) Чо + — ЕЧ'о — — О, (25.4) с)хз В22 решение которого Ч' (х) = Асг.™ + Ве- Я.

Характеристики

Список файлов книги