А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для доказательства рассмотрим уравнение (21.53) на собственные значения, ко~орое после умножения слева на (г| приводит к равенству (г1А1г) = А(г!г). (21.57) Сопряженное с (21.57) соотношение имеет вид (с1Ап!г) = А" (г!г). (21.58) Для эрмитовых операторов А' = А и это соотношение имеет вид равенства (г1А ! г) = А" (г1г). (21.59) Вычитая почленно (21.59) из (21.57), находим 0 = (А — А*) (с!г). (21.60) 138 6 Основные понятия теории представлений Поскольку< о ! о) ~ О, из (21.60) следует, что А =А*, (2!.6!) т.е.
собственное значение А вещественно. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны, Обозначим эти различные собственные значения А, и А,, а собственные функции !А,), (А,). Тогда А!А,) = А,!А,), (г !.6! а) А!А,) =А,!А,), (21.6!6) Умножая (2!.6!а) на <А;/, а (21.6! 6)— на )А,), получаем <А, ! А ! А,) = А, <А, ! А,), (21.6га) <А,!А!А,> = А,<А,!А,). (г!.626) Сопряженное с (21,62б) соотношение с учетом эрмитовости т имеет вид <А,! А ! А,) = А,*<А,! А,). (2!.63) Вычитая почленно (21.63) из (21.62а), находим О = (А, — А, ) <А,1А,).
(2 !.64) Так как А, — А,* ~ О, то <А,!А,) =О, (21.65) что и требовалось доказать. Если собственное значение вырождено, то ему принадлежат несколько собственных функций, число которых равно числу одинаковых собственных значений (степени вырождения). Любая линейная комбинация этих собственных функций принадлежит тому же собственному значению, т.
е, число собственных функций бесконечно, но число линейно независимых функций равно степени вырождения. Поэтому можно сказать, что собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, образуют собственное подпространство, раз- мерность которого равна степени вырождения. В этом подпространстве исходя из некоторой системы линейно независимых векторов можно ортогонализацией построить ортонормированный базис подпространства. Векторы этого ортонормированного базиса ортогональны не только друг другу, но и всем собственным векторам, принадлежащим другим собственным значениям, как это следует из (21.65). Итак, каждый эрмитов оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. В базисе собственных ортонормированных векторов матрица эрмитова оператора диагональна, причем диагональными элементами матрицы являются вещественные собственные значения эрмитова оператора. Собственные значения унитарного оператора выражаются комплексными числами, равными по модулю единице, а его собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Для доказательства рассмотрим уравнения для различных собственных функций ! А,) и ! А,), принадлежащих различным собственным значениям А, и А, унитарного оператора т: А!А,) = А,!А,), (г 1.66а) А!А,) = А,!А,). (21.666) Сопряженным с (21.66б) является уравнение <А,1А = А, <А,!. (21.67) Умножая обе части (21.66а) слева на соответствующие части уравнения (21.67), получаем <А,!А+А!А,) = А,*А,<А,!А,). (2! 68) Отсюда с учетом (21.31) находим (! — А,*А,) <А,! А,> = О. (21,69) Тогда ! 21 Линейные канвчномврныа векторные пространства 139 (21. 70) (21. 71) А, А, = 1 (г' = г), ( А, г гАг ) = О, (г' та г), где с, = (г!с). (21.73) Подставив в (21,72) выражение о, из (21.73), находим ! >= Х !г><г! >=(Х !г><'!)! > (21.
74) Стоящее в (21.74) справа в круглых скобках выражение является оператором, который при действии на вектор !и) оставляет его без изменения, т.е. является единичным оператором 7: 2 !г) (г! = 1, (21.75) г Равенство (21.75) играет фундаментальную роль в теории линейных векторных пространств и называется условием гголиоигы оргионормироваггггоео базиса. Построение ортонормированного базиса. Исходя из любой системы и линейно независимых векторов !о,), !о,) !и„), можно построить ортонормированный базис следующим способом, Сначала построим и взаимно ортогональных векторов.
В качестве и утверждение доказано. Вырожденные собственные значения унитарных операторов анализируются аналогично вырожденным собственным значениям эрмитовых операторов, как зто рассмотрено выше. Условие полноты ортонормированного базиса. Разложение произвольного вектора ! о) по ортонормированному базису !г) имеет вид !с) =,Г ! г) с„ г первого вектора !1) возьмем вектор ! г): !1> = !,>. (21.7б) Непосредственной проверкой убеждаемся, что ортогональный к (21.76) вектор может бы гь представлен в виде !2) = !сг) ! 1) (1!сг)г(1!1) (21.77) поскольку (1!2) = (1!сг) (1!сг) = О. (21.78) Аналогично, третий ортогональный вектор !3> = !сз> — !1><1!сз>!<1!1>— — !2)(2!с )7(2!2).
(21.79) Непосредственно проверкой убеждаемся, что (1!3) = О, (2!3) = О. Таким образом, общее предо~веление гг-го ортогонального вектора выражается формулой !г!) = !с„) — >, !г>(г!гг)7(г!г>. (21.80) Вектор !)г) ортогонален всем предыдущим векторам !1), !2), !)г — 1). Ортонормированный базисный вектор получается посредством нормировки взаимно ортогональных векторов ! (г ): !е,) = !гг)г ~(гг!гг).
(21.81) Векторы ! е,) удовлетворяют условию ортонормированности (е,!е,) = 8, . (21.82) Связь между представлениями вектора в различных базисах. Представлением вектора !о) в ортонормированном базисе !е, ), !ег), ..., !е„) является совокупность проекций (е,!о), (е !о), ..., (е„!о) этого вектора па орты базиса. Записав вектор !о) в виде разложения по ортам другого базиса !)е;)) )с) = > 1е,')(е',(е), ! находим формулу, связывающую проекции вектора в различных базисах: (21.83а) (ет!о) = 2, (е„!е))(е';!о).
(21,83б) = ! Эта формула выражает связь между представлениями вектора в различных базисах. Видно, что она получается непосредственно в результате использования соотношения (21.75): (етог о) = (ет!1~ с) = = (е! ~(,Г 1е,') (е';!)! е) = — 1 = 2. ("1е!) (е! ~ о) (21. 84) ! Связь между представлениями оператора в различных базисах.
Оператор в базисе представляется матричными элементами. Связь между матричными элементами оператора в различных базисах легко находится в результате представления единичного оператора в виде (21.75): (е!!А)е ) = (е!)1А! !е ) = = ( е! ! (2„! е', ) ( е',. !) А (,> ~ е', ) ( е'; !) е ) = = 2' (е! ~ е)) (е ! А ! е,') (е) ! е ), (2!.85) Функции от операторов. Из определения линейного оператора А и операций сложения, умножения операторов и умножения оператора на скаляр, выражаемых формулами (21.20)— (21.23), следует, что функции 1(х) = 2 а„х" (21.86) =о 140 е Основные понятия теории представлений может быть сопоставлен оператор 1" (А) = 2 а„А". о=о (21.87) 1!(! — х) = 2 х", (21.89) о=о сходящийся лишь в области !х~ < 1, допускает определение оператора 1/(1 — А) лишь для весьма ограниченного класса операторов А. Производная от оператора по параметру. Если оператор А зависит от параметра а, т.е.
А = А(а), то производная по а дается формулой дА(а), ГА(а+ Ла) — А(а)1 — 1пп ~ ~. (21.90) с1а м-о Ла В базисном представлении матричные элементы оператора с(А(а)!!!(а выражаются производными по а от соответствующих матричных элементов оператора А, Важным для квантовой механики является оператор А(а) = ехр(аВ), (21.91) где хт-эрмитов оператор. Выбирая в Оператор7(А) !см. (21.87)3 называется функцией /(А) оператора А. Ясно, что это определение имее~ смысл лишь то!да, когда ряд (21.86) сходится по крайней мере для всех значений х, равных собственным значениям оператора А.
Если же область значений х, для которых ряд (21.8б) сходится, ограничена, то вопрос о выражении функции 1'(Аы) формулой (21.87) требует дополнительного исследования. Например, ряд е" = > х'/и! (21,88) ,=о позволяет найти оператор ехр А для весьма широкого класса операторов А, а ряд 1 21. Линейные конечномерные векторные пространстве а" В" = В,à — — =Ве" . П. (21.93) (и — ! )! Это доказательство справедливо также и для неэрмитова оператора В. Из (21.92) заключаем, что решением дифференциального уравнения для оператора А т)А(а)/т)а = ВА(а) (2!.94) является А (а) = )5 ехр Д) В!!3) д Я, (21.95) о где 0 = А (0), В (2!.95) предполагается независимость оператора д от а и существование экспоненциального оператора в правой части равенства, Пример 21,1.
В трехмерном пространстве состояний в базисе собственных векторов !1), !2), |3) оператор Й и операторы физических величин А и В имеют вид Й=йот 0 10,Аг а 100 200 В=Ь 00 ! 010 Система находится в состоянии ! Ч') = = а!1) + )3!2) + у)3), где !Ч) — нормированный кет-вектор. Проанализи- качестве базиса представления собственный базис оператора В, находим т)А(а))т)а = Вохр(аВ) = ВА(и) = А(а)В. (2! .92) Такую же формулу можно получить и непосредственно из представления оператора ехр (аВ) в виде ряда (21.88): ровать представленную этими данными ситуацию. Из условия нормировки !Ч') следует, что (Ч'!Ч') = |а! + !(3! + + )у!г = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
