А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 35
Текст из файла (страница 35)
По определению оператора скорости как производной от оператора радиуса-вектора частицы, пользуясь правилами дифференцирования операторов, находим и два других аналогичных соотношения, получающихся в результате циклической перестановки индексов. Учитывая, что В = го(А, находим: 2О 21 22 23 24 Что такое представлениет Линейные конечномерные векторные пространства Линейные бесконечномерные векторные пространства Постулаты квантовой механики Различные представления квантовой динамики ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ П РЕДСТАВЛ Е Н И Й кз абстрактной Формулировке квантовой механики наиболее четко и ясно выявляется ее принципиально отличный от классической механики подход к описанию движения частиц. 128 о Основные понятии теории представлений 20.
Что такое представление? и» примерах представления функций в «иде рядов н интеералов р»т«ясняется с«яысл понятия япредставлениев Различные представления функций. Функция и может быть с помощью формулы (17.2!) разложена по полной системе собственных функций некоторого оператора А. Совокупность коэффициентов разложения а„полностью определяет функцию й. Поэтому вместо и можно пользоваться совокупностью коэффициентов а„, которая описывает функцию и, но в другом представлении; в данном случае в том, где оператор А диагонален, или в А-представлении. Смысл выражения «оператор диагонален» будет сейчас пояснен. Матричные элементы операторов.
Не только функции, но и операторы можно задавать в различных представлениях. Пусть имеется некоторый оператор В: и=Во. (20.1) Зададим функции и и р в А-представлении, т. е. в виде коэффициентов разложения по полной системе собственных функций и„оператора )1: и = Ха„и„, (20.2) с = ХЬ„и„. (20.3) Подставив эти выражения в (20.1), умножив полученное равенство на и„' и проинтегрировав, получим иа = ХВа„Ь„, (20.4) где В„„=- ) и(Ви„ц)У.
(20.5) Из (20,4) следует, что совокупность чисел Вьи которую можно записать в виде матрицы, связывает волновые функции и и р в А-представлении. Сами числа В„„называются матричными элементами оператора В. Если вычисляются матричные элементы оператора А в А-представлении, т. е. в качестве собственных функций выбираются собственные фукнкции оператора А, то Аи„= )и„'Аи„И'= Х„)иаи„сПI= = Х„ба„(Аи« = ).„и„). (20.6) О~личными от нуля являются лишь матричные элементы с х = и, являюгциеся диагональными элементами матрицы (А„„). Это означает, что матрица оператора в его собственном представлении диагональна. Теперь ясен смысл выражения «в том представлении, где оператор А диагонален», Координатное представление.
Стационарное состояние квантового об-ьекта (электрона и т, д.) во всем предшествующем изложении описывалось волновой функцией Ч' = Ч'(х,у,с), которую удобно обозначать Ч'(х), понимая под х всю совокупность пространственных переменных. Эту функцию можно представить в виде разложения по некоторой ортонормированной полной сис~еме собственных функций и„в виде Ч'(х) = Ха„и„(х), (20.7) где авив !си„(х)Ч»(х)еЬ (20.8) -числа. Совокупность всех (а„) определяется волновой функцией Ч', если известно Ч', и полностью определяет Ч', если извес~на эта совокупность. Функции и„являются собственными функциями некоторого линейного оператора А и удовлетворяют уравнениям Аи„= А„и„, (20.9) где А -собственные значения оператора А.
Поэтому совокупность (а„)— волновая функция стационарного состояния Ч' в том представлении, в 1 20. Что такое прелстаапение? 12Э котором оператор А диагонален, или в А-представлении. Взяв в качестве оператора А гамильтониан Й, получим собственные функции Ч'„ уравнения Шредингера ЙЧ'„= Е„'Р„. (20.10) где Е„ -собственные значения энергии. Разложение волновой функции Ч' по собственным функциям Ч'„имеет вид (20.11) Ч' = Х??„Ч'„, Ь„= )Ч'„'Чтт(.т, (20.12) Совокупность (?т„) описывает функцию Ч' в Е-представлении, нли в энергетическом представлении„или в представлении, в котором гамильтониан Й диагонален. Энергетическое представление час~о используется в квантовой механике при рассмотрении различных вопросов.
Широко используется также импульсное представление, нли р-представление, в котором в качестве собственных функций и„используются сооственные функции оператора импульса (18.7). Операторы в этих представлениях описываются матрицами вида (20.5). Об этих матрицах говорят как об операторах в соответствуюгцем представлении (Е-представлении, р-представлении и т. д.), О~сюда ясно, что все изложенное выше о квантовой механике с помощью волновой функции Ч'?'х?', операторов координаты х = х, операторов импульса ?З„ = = ?'Ь??1д/гэх и т.
д. может быть сформулировано без использования координат. Другими словами, волновая функция трбхй оператор координаты х = х, оператор импульса т)„= = ?'о?Од/ох и т. д. сами являются представлением более абст рактных величин, лежащих в основе квантовой механики. Это конкретное представ- т пт ление называется координатным или х.-представлением. Для решения лтногих задач оно наиболее целесообразно и просто. Однако для решения других задач предпочтительнее пользоваться каким-либо другим представлением, например импульсным, или р-представлением. Примеры такого рода буду~ встречаться и в этой книге.
Важно отметить„что задача при згом может быть сформулирована и решена непосредственно, например в р-представленин, минуя координатное представление. Выбор того или иного представления диктуется особенностями задачи. Исследование общих вопросов теории обычно проводят без конкретного представления, г.
е. в абстрактном представлении квантовой механики. В (? 16 †основные положения квантовой механики были сформулированы в х-представлении. Переход к изложению квантовой механики в абстрактном представлении аналогичен, например, переходу в классической механике или электродинамике от координатного изложения теории к бескоординатному. Для этого используется понятие вектора и все операции выражаются в виде операций непосредственно с векторами. Надобность в координатной системе при этом отпадает. Основным понятием квантовой механики, с помощью которого описывается состояние, является вектор, называемый вектором ~ огтояиия.
Однако в отличие от классической механики вектор состояния даже для одной частицы является бесконечно- мерным. Совокупность всех таких векторов составляе~ пространство, в котором оперирует квантовая механика. Для удовлетворения принципа суперпозиции состояний квантовой механики это пространство должно 130 р.
Основные лонвтип теории представлений быть линейным. Обобшение свойств трехмерных векторов на многомерные векторы конечного числа измерений проводится без всяких осложнений. Переход к бесконечномерным векторам требует некоторых уточнений. Поэтому сначала будет изложена теория конечно мерных векторных пространств (см. 5 2!), а затем (см. ч 22) даны уточнения теории для перехода к бесконечномерным векторным пространствам. 21. Линейные консчномераые векторные пространства Изз1агаютсв осповвые покатив и результаты теории коиечвоыериых векторных пространств. Линейное векторное пространство. Пинейным векторным пространством называется совокупность векторов 1»1, »„»„...), для которых определены: 1) операция сложения, удовлетворяющая требованиям; а) сумма любых двух векторов принадлежит тому же пространству; б) коммутативности », + », = », + »,.; в) ассоциативности »,.
-1- (», +»„) = (»1 +»у) +»,; (21.1б) г) сууцествования нулевого элемента О, для которого при любом»1 справедливо равенство »,. + О = »,; (21.!в) д) суШествования для каждого элемента»1 такого единственного элемента ( — »1), что »,.+( — »)=О; (21.1 г) 2) операиия умножения векторов на скаляры у~а, р, ...), удовлетворяющая требованиям: а) замкнутости (т.
е. произведение любого вектора на скаляр принадлежит тому же пространству); б) распределительности умножения (а + )1)»1 = а»; + О»„ (21.2а) а рй +»,) = а», + а»,.; (21.2б) в) сочетательности умножения а(11»,) = (а)3)»,. (21.2в) Совокупность чисел !а, )), ...) называется полем, на котором определено рассматриваемое векторное пространство. Если скаляры — вещественные числа, то векторное пространство вешественно, а если комплексные— комплексное.
Все эти определения являются прямым обобшением правил оперирования с трехмерными векторами обычного пространства. Линейно независимые векторы. Совокупность векторов (»„»„..., »„) называется линейно независимой, если между ними не существует линейного соотношения вида ,Г аг»1 = О, (21.3) ;=1 за исключением тривиального случая, когда все а, = О. Если между векторами возможно равенство (21,3), то любой из векторов», при аз Ф О может быть выражен через остальные. Разномерность линейного пространства и его базис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
