А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Значение ао совпадает с радиусом Бора (14.18) атома водорода. Такое точное совпадение результатов является случайным и не содержит в себе какого-либо более глубокого смысла, поскольку в исходных предпосылках речь шла лишь о порядках величин. 19. Изменение динамических переменных вв времени Описываем» переход от представления квантовой динамики посредством изменяющейся во времени волновой функции к представлению с помо!цвю завис!шщх от времени операторов линамихсских переменных.
Дифференцирование операторов по времени, скобки Пуассона. С влечением времени средние значения динамических переменных, вообще говоря, изменяются. Дифференцируя обе части равенства (А) = ) ЧзеА Ч'с(Р по времени, получаем $ 19. Изменение динамических переменных во времени 123 Г дА ГдЧ'* — (Л) = 2! Ч вЂ” Ч б ( + ~ АЧ б) 4- дл дс дс дЧг Ч'*А — г) К дс (19.2) Принимая во б дч' — — — = ЙЧг, дс внимание, что б дЧ'* — — = ЙеЧг* = ЙЧг'", сч (19.3) перепишем (19.2) в виде с( Г сА — (А ) = ~ Ч'* — Чг с( 1'+ — ~ (ЙЧг е)(А Чг) г) !'— с(с дс Б~ — Ч'" А ЙЧгби (19.4) Пользуясь эрмитовостью оператора Й, второй интеграл в правой части равенства можно преобразовать: ) (ЙЧг'"! Л Чгс) (г = ) (АЧг)ЙЧг*г( !'= =)Ч*ЙЛЧВК Окончательно (Л) =3!Ч*! — +-(ЙЛ вЂ” АЙ! Чби с(1 сн Б (19.6) где коммутатор (Й, А) = — (Й, А) = — (ЙА — АЙ) (19.8) в Гг называется, по аналогии с классичес Таким образом, производная от среднего значения динамической переменной представлена как среднее значение от некоторого оператора.
Естественно этот последний оператор принять за определение производной от оператора динамической переменной. Обозначая производную от оператора А символом г)А/с(б на основании (19,6) можно написать с(Л сгА — = — +(Й, А1, с(! дс кой механикой, кванонгвыми скобками Пуассона. Эта аналогия проис~екает из следующих обстоятельств. В классической механике полная производная по времени динамической переменной А, являющейся функцией координат, импульсов и времени, дается формулой Воспользовавшись уравнениями Га- мильтона с1х. сН с1р дН бс ср, с1с дхг где П-функция Гамильтона (! 8.8), получаем равенство с(А дА з, 'гсдН сЛ дА дН'! с(! д! ~(чдрг дх,.
ор, дх,) 84 = — +(Н, Лз, дс (19.11) в котором величина ГдН сЛ дЛ дН'1 (Н, Л) = ~~ —,— — — — ) (19.12) ~ др, дх,. дрг дх,. называется скобками Пуассона. Аналогия между (19.7) и (19.11) позволила назвать оператор (19.8) кваняювыми скобками Пуассона. Если оператор А или величина А явно от времени не зависят, то формулы (!9.7) и (19.!1) принимают вид с(А — =~Й,А~, (19.13) с(А — =~ и. г].
г(с (19.14) Квантовые уравнения Гамильтона. Аналогия между квантовыми и классическими формулами идет. еше дальше. Классическое уравнение (19.14) определяет изменение произвольной с1 — -(А) =О, с(с (19.19) с1А — = О. с)с (19.18) дх,д, — = [и, .е) = — '. От вс (19.23) 124 4 Основные положения квантовой механики динамической величины со временем и является уравнением для этой динамической переменной.
В частное~и, она содержит в себе уравнения движения. Взяв в качестве А в этом уравнении величину х, находим с).х дН д.х д.х дН дН вЂ” = [Н, х| = —. — — — — = — —. (19.15) с(с ср дх др д.х др Аналогично выбрав в качестве А величину р, получим с)р дН др др дН сН вЂ” = [Н, р) = — — — — — — = — —. с(с др сх др дх дх (19.16) Таким образом, уравнение (19.14) содержит в себе уравнения движения в фархсе Гажияьтнона.
Уравнение (!9.13) является квантовым уравнением для оператора А, которым изображается некоторая динамическая переменная, т. е. это уравнение определяет закон изменения соответствуюсцей динамической переменной. Взяв в качестве динамических переменных оператор координаты и импульса частицы, получим следуюсцие квантовые уравнения движения в форме Гамильтона: с1х др„ — =[й,х1,— "=[й,р( с)с с1т В правых частях этих уравнений стоят квантовые скобки Пуассона, определяемые равенством (!9.8). Интегралы движения. Пусть оператор А некоторой динамической переменной не зависит явно от времени и коммузирует с гамильтонианом, Тогда на основании (19.7) имеем В этом случае (А) с течением вре- мени не изменяется, так как из (19.18) следует, что т.е.
среднее значение этой переменной постоянно, Постоянной остается также и вероятность найти при измерении динамической переменной А то или иное числовое значение А„. Чтобы это показать, заметим, что вероятность ,'Р„= ! а„!т = ! ) сч (г) сг (г, с) с) И т, (! 9 20) где и — собственная функция оператора А, принадлежащая собственному значению А„; Ч' — волновая функция стационарного состояния, в котором производится измерение А. Независимость а"„от времени становится очевидной, если в явном виде выписать аргументы а„ = ) и„'"(г, с) Ч'(г, с) с)У = е "е" ) Ч'(г)и"'(г)с)В (19.2! ) где Ч'(г, г) = ехр( — (Ег(й)'р(г).
Ясно, что (а„1~ не зависит от времени, что и требовалось доказать. Теоремы Эренфеста. Вычислим квантовые скобки Пуассона [Й, х), [Й, ))Д. Так как оператор координаты х коммутирует с оператором потенциальной энергии Е„(г), входящей в оператор Гамильтона, и, кроме того, он коммутирует со всеми составляющими оператора импульса, за исключением составляющей р„, то [й, х) = -(ЙХ вЂ” хй) = — - — (Р~х — Ярт).
Б 2нс)1 (19.22) Но р~Я=р„ф„х) = р„(хр, + Ьй) =(д х)р„+ + (д~с)р„= (хр + ссу()р„+ (дфр„= 2р~ + + (26д)р„. Следовательно, [Й, х| = = р„,'ит. Учитывая (19.7), находим 1 19. Изменение динамических переменных во времени Анало1 ичные равенства получаются и для других составляющих оператора координаты и импульса. Производную от оператора координаты естественно отождествить с оператором скорости.
Равенство (19.23) показывает, что в квантовой механике между оператором скорости и оператором импульса существует такое же соотношение, какое в классической механике между скоростью и импульсом. Вычислим теперь квантовую скобку Пуассона !Й, рД. Так как оператор р„коммутирует с оператором кинетической энергии, то д (Й, рД = -(Е„6„— р„Е„! = — — Е„. (!9.24) Аналогичные равенства получаются и для других составляющих импульса. Но оператор — дЕ,)дх является оператором проекции силы на ось хт д — — Е„= Ры дх ( ! 9.25) Поэтому второе уравнение Рамиль- тона (19.17) можно записать в виде за Квантовая динамика может быть представлена либо посредстом не зависящих от времени операторов динамичеаких переменных и зависящей от времени волновой функции, либо посредством зависящих от времени операторов динамических пвременных и не зависящей от времени волновой функции.
Возможны также представления, при которых зависимость от времени распределена определанным способом мекщу операторами и волновой функцией. В квантовой механике средние значения координаты и импульса частицы, а также силы, действующей на нее, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики.
З Запишите квантовые уравнения Гамильтона для операторов координат и импульсов. В чем состоит аналогия между классическими и квантовыми уравнениями Гамильтона? (19.26) т. е, оператор производной от импульса равен оператору силы. На основании формулы (19.6) с учетом (19,23) и (19.24) получаем д 1 — (в) = — <Р.>: 111 гл д дЕ„ Д1 д. — <р.> = — < — з> = <Е„>, (19.28) или в развернутом виде — 3! Ч'ь.тЧ'си= — ~ Ч'ьр„Чтг((У, (!9,29) г)1" — ~ Ч'*Рхч' 1! = — ~ Ч'* — Чтг)И (!9.30) д1 ' дх Таким образом, гтроизводная по времени от средней координаты (х) равна среднему импульсу.
деленному на массу частицы, а производная от среднего импульса (ф„) равна средней силе ( — дЕ„(дх). Следовательно, в квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующие на нее, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, т.е.
при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике. Эти утверждения, записанные в виде уравнений (!9.29), (1930), называются теоремами Эренфегта. Если обе части уравнения (!9 29) продифференцировать по времени, а производную по времени от (р„) в правой части результирующего уравнения исключи гь с помощью (19.30), то получается квантовый аналог 6 = с)г(с) г = ((()1)(Йг — гй) = (1]гп) (р — сгА), В д р„А„— А„)5, = — — А„ с у с'с) Вс дд — дд = —.6, г сп сс) й пд,— дд = — В, г ж пг "' г г' сс) Вг пс' Задачи 4А.
4.2. Найти коммутатор операторов х(Л/Лх) н ж предполагая. что А н В некоммутируюп(не эрмнтовы операторы, указатгч какие нз операторов а) АВ, б) А — ВА, в) АВ 6 ВА, г) АВА, д) А" (л — целое положительное число) эрмнтовы. Вычнслнть коммутатор (р", хЗ Найти распределение импульсов часгнцы в бесконечно глубокой погенцнальной яме (см.
рнс. 55), волновая функция которой а х-представленнн задана формулой (26.9). Для час гнцы в бесконечно глубокой потенциальной яме, рассмотренной в задаче 4.4, найти (р), ((Лр) ), ((Лх]г). Определить волновую функцню волнового пакета Ч'(х) = А ) ехр [ — а(й — )сс)~) ехр(с)сх) Л)с, где А -нормнровочная постоянная, а н )се — вещественные числа (а ) 0). Найти ((Лх)г) н ((Лр) ) для этого волнового пакета. 4.3. 4.4. 4.5.
4.6. Ответы 41. х. 42. в, г, д. 43. — свпр" '. 44. ~а()4кй))(с (ы ) +(-1)"'фи,)1~, где ) (и) = = з(п и/и, и, = (яйв Ч- ар)/(26). 4.5. 0; лгя Ь!и~; (и'112) Н вЂ” бсс(я'и )З 4.6. Ч'(х) = (2ка) свекр[Цех — хгсс(4а)); ((Лх)') = а; Ф(р) =[2ц!(кйг))нчеяр[ — а(р— )г)ягзэ ((,1,)г) Я((4п) 126 4. Основные положения квантовой механики уравнения движения Ньютона; с(г ВЕ. пс — (х) = ( — — ') = (г„). (19,31) с(гг дх Это уравнение показывает, что средняя координата частицы и средняя сила в квантовой механике находятся в таком же соотношении, в каком координата частицы и сила находятся в классической механике, т. е, связаны уравнением движения Ньютона. Пример 19.1. Гамильтониан заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, [1((2ю)ээ (р 9 Л)г где А -оператор вектор-потенциала магнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор скорости частицы ф в магнитном поле и правила коммутации различных компонент оператора скорости между собой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
