А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 32
Текст из файла (страница 32)
момента импульса, потенциальной энергии Что такое гамильтоннан н оператор полной энергии частицыг Что можно сказать об операторе функции динамических переменныхь А = ) х'Ч" ьРдх=((сгх)'), (1832б) гьсРР* дЧ'ьг В = — х ) — Ч' + Ч'* — ) дх = д.к дх с1 — ) х — (Ч"Ч')дх = — хРэсР) „+ с1х + ) Ч'*Ч'дх = 1, РРз,),Р (' )г ьР '=) ) -х О = (р'>)Ф' = <(др) >Л'. (18.32г) (18.32в) Для дальнейших расчетов удобно выбрать такую систему координат, в которой средняя величина координаты частицы и ее средний импульс равны нулю: (х) = О, (р) = О.
В этой системе координат ((Лх)2) =(хг) = ~ Ч'*(х)хгЧ'(х)дх, (1829) ((сЗр)2) = (рг) = ( Чьз(х) агчь(х)дх = -х г = -Лг ) Ч"(х),' дх. (18.30) г хг Соотношение неопределенностей ш ° ь гсы ь*г и,„~ ((Лр)'>. Для нахождения этой связи рассмотрим интеграл сРР(х) 2 1(г) = ) — — + ~хЧ'(х) дх, (18.31) дх являющийся гюложительно-определенной функцией вещественной переменной с,.
Он равен 1(„) = А (2 — В, Ч. С, (18.32а) где 1 18. Представпение динамических переменных посредством спереторсе 117 Условие положительности величины 7(() на основании теоремы о корнях квадратного уравнения имеет вид 4АС> В (18.33) Отсюда, заменив А, В, С их выражениями из (18.32б)- (18.32г) и извлекая из обеих частей неранено~на корень квадратный, получим соотношение неопределенностей ,) <(Лх)г ),~ ((Лр)') > )г/2, которое показывает, что импульс и координата частицы не могут одновременно иметь определенные значения и минимально возможное произведение дисперсий координат и импульсов ограничивается постоянной Планка.
Величины, г ((Лх)') и ((Л)г)г > не могут быть одновременно равными нулю. Соотношение неопределенностей являешься математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так н волновых свойств. Соотношение неопределенностей между произвольными физическими величинами. Соотношение неопределенностей (18.34) может бы гь обобщено на произвольные физические величины, Пусть имеются две физические величины 1. и М, операторы которых г'.и М. Методом, который был использован при получении соотношения неопределенностей (18.34), может быть получено также и соотношение неопределенностей для величин Еи М, если только известен коммутатор этих операторов; [(-, й) = гК, (! 8.35) где К вЂ” эрмитов оператор.
Это соотношение имеет вид Я~„) )г ) '((ЛМ)г > > (18.36) гле ((ЛК) ) и ((ЛМ) ) -средние квадратичные отклонения рассматриваемых физических величин: <(л )'> = Π— (~»'>, ((ЛМ) ) = ((М вЂ” (М)) ), (18.37) а ~(К) ( — модуль среднего значения К. Введем обозначения ЛТ.= Х.— <)), ли = и — <и> (18з8) и аналогично (18.31) рассмотрим интеграл 1ф = ) ((;Л(.- глМ) Ч'!г4 к (18.39) который является положительно- определенной функцией ". Используя свойство самосопряженности опера~оров Лг. и ЛМ и определение среднего, имеем )(у) = ИЛŠ— глй)ч'(тл(.т + 1лй*)чг" т)1 = = )ЧУ*КЛЕ+ глй)(,"д).
— 1Лй)ч'т))г= )~рт (хг(л) )г гг[Л( Лттт г+ + (Лм)г) чт= гг<(Л).)г>— ;,<[ле лй)>+ <(ли) >, п84о) Принимая во внимание, ч го [Лг., ЛМ1 = [г., М) = гК, и пользуясь условием (18.33) неотрицательности (18.40), находим: 7 ((Л(.)') гг((ЛМ)') > — ! (К) (, (18.41) 2 что и требовалось получить. Обычно для упрощения соотношение (18.41) записывают в виде 1 л(.лм > — ~ <к> [ 2 (18.42) При этом необходимо учесть, что ЛЕ, и ЛМ в (18.42) — корни квадратные из дисперсий.
Таким образом, соотношение неопределенностей, которое сущее~пуст между физическими величинами, полностью определяется правилом 118 4 Основные положения квантовой механики коммутации этих физических величин. Отсюда, в частности, следует, что если операторы двух физических величин коммутируют, то эти физические величины могут иметь одновременно определенные значения, так как произведение их дисперсий равно нулю [см. (18.17)). Рассмотрим некоторые применения общей формулы (! 8.42) к конкретным случаям. Прежде всего получим с ее помощью соотношение неопределенности для координаты и импульса, найденных в (18.34) непосредственным вычислением. Соотношение коммутации для оператора импульса и координаты дается формулой (18.25).
Сравнивая эту формулу с (18.35), видим, что надо принять Е = р„М = х, ГК = Г~~'Ь (18.43) Принимая во внимание, что ( (К) ! = = 6, можно общее соо.гношение (18.41) с учетом (18.43) записать в виде ~((Лр )~) ((Лх)~) > — й, (!8 44) 2 что совпадает с (18.34). В соответствии с (18.42) это соотношение обычно записывают более просто: ! Лр, тхх > — Гт. ( ! 8.45) 2 Соотношение неопределенности для проекции момента импульса иа ось Х В цилиндрической системе координат движение частицы вокруг оси Л характеризуешься величиной азимутального угла Чт и проекцией момента импульса частицы на ось У. Оператор проекции момента импульса на ось У дается формулой (18.!2). Нетрудно с помощью формул преобразования координат найти вид этого оператора в цилиндрической системе координат: 6 д Х..
=- —. / д~р (18.46) Перестановочное соотношение для тр и Ь, находится аналогично (18.25): й К- Ч) =7 (18.47) Следовательно, в формуле (18,35) надо положить Е = Е,, й = ~р, гК = 8~8 (!8.48) .тогда (см. (18.42)) 1 л~..дч >-д (18.49) 2 ! имеет вид 6 1Е, т3= —— т (!8,50) и, следовательно, соответствующее соотнотпение неопределенности 1 АЕМ >- 6. 2 (18.5!) Этой формулой описывается связь неопределенности углового положения частицы с неопределенностью проекции ее углового момента на направление, перпендикулярное плоскости, в которой отсчитывается угол тр. Соотношение (18.49) означает, что если угол Чт для частицы задан, то проекция момента импульса частицы на ось Л становится совершенно неопределенной.
И, наоборот, если движение частицы характеризуется проекцией ее момента импульса на ось У. то нельзя говорить ни о каком определенном положении частицы по азимутальному углу. Соотношение неопределенности для энергии. Коммутатор для оператора Бд энергии частицы Е = — — —.' и времени ! д! 18. Представление динамических переменнык посредством операторов Хотя но виду соотношение (18.51) аналогично соотношениям (18.49) и (18.45), его смысл совершенно иной. Это обусловлено двумя обстоятельствами. 1.
Величиной, которая измеряется в эксперименте, является не полная энергия какого-то состояния, а разность энергий при переходе системы из одного состояния в другое. 2. Время непрерывно течет. поэтому нет той «средней точки», относительно которой можно было бы рассматривать Л) как разброс какихто моментов времени. Нетрудно видеть, ч~о з1и два обстоятельства связаны друг с другом.
Вследствие этого интерпретировать (!8.5!) аналогично интерпретации формул (18.49) и (18.45) невозможно. Ясно, что из-за отсутствия «неподвижной средней точки» Лт в (18.51) может иметь только смысл прололжитель ности. С другой стороны, переходя от разброса энергии ЛЕ к разбросу разности энергии двух состояний Л(Š— Е '), пало удвоить правую часть неравенства, поскольку знаки изменения !зЕ и ЬЕ ' могут быть произвольными. Поэтому «см. (1 8.5 1)) Л(Š— Е ') Лт > А. (18.52) В этом соотношении под Лг следует понимать отрезок времени, в течение которого реализуется переход системы из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е '. Заметим, что это не есть продолжительность самого перехода из одно~о состояния в другое, а продолжительность того отрезка времени, на котором это событие происходит. Под Л(Š— Е ') понимается разброс выделяющейся при переходе энергии.
Проще всего это иллюстрируется на примере из- лучения атомов. При переходе электрона в атоме из одно~о состояния в другое излучается квант света. Однако известно, что спектральные линии излучения имеют определенную естественную ширину. Это означает, что излученные кванты не имеют строго определенных энергий, что соответствует разбросу в значениях разности энергий при переходе атома из одного квантового состояния в другое.
Этот разброс в формуле (18.52) представляется величиной )з(Š— Е '). Таким образом, по естественной ширине линий излучения можно определить !з(Š— Е'), а затем с помощью формулы (18.52) вычислить время жизни атома в возбужденном состоянии относительно этого перехода: Лт = т х Л)Л(Š— Е '). (18.53) Отсюда можно определить вероятность того, что система в единицу времени перейдет из одного состояния в другое. Эта вероятность равна обратному значению времени жизни системы относительно рассматриваемого перехода: .У = )/т - Ь(Š— Е '))'6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
