А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пространство имеет размерность и, если в нем не существует больше чем и линейно независимых векторов. Если в п-мерном пространстве имеются некоторые и линейно независимых векторов»,, »,, »„, то любой другой вектор» может быть выражен через эти линейно независимые векторы, потому что совокупность векторов 1», »,, »,, ..., »„), по определению, линейно за- 4 21 Линейные конечномерные векторные пространства 131 висима, т.е.
выполняется ранено~во ач+ 2 ач,=О, = 1 (21.4) из которого следует, что —,Г (а,/а)ч,. (2! 5) ~-1 Нетрудно доказать, что коэффициенты разложения ч по векторам ч, в (21.5) елинственны, В самом деле, если имеется другое представление и ч= 2 (39„ (2 !.б) 1 то, вычитая (2!.б) цочленно из (21.5), получаем 1) ( г, ~ г,) > 0 (О только при ч, = О), (2!.9а) 2) (г,~ г ) = (г (г,)*, (219б) 3) (г, )ао„+ рг„) = = а(г,1г,) + (3(г,!г,). (219в! В формулах (21.9) для обозначения скалярного произведения вместо круглых использованы угловые скобки, а вместо точки-вертикальная черта.
Это позволит в последующем перей- 9 О =,Г ( — а,7а — 13,) ч,. (21.7) 9 Отсюда ввиду линейной независимости ч, следует, что — а,!а — 13, = О, (21.8) т. е. (3, = — а,/а. Единственность представления (21.5) доказана. Совокупность векторов ч, называется базисом пространства, а коэффициенты (3,— проекциями вектора ч в этом базисе. Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов ч, и ч,, обозначаемое ( о,!г,), является числом, удовлетворяющим следующим требованиям: ти к обозначениям Дирака для векторов, которые наиболее удобны для квантовой механики. В (21.9б) звездочкой обозначено комплексное сопряжение. Кроме того, надо обратить внимание, что в (21.9) буквы г, и г„ набраны светлым шрифтом, а не полужирным, т. е. векторный характер ч, и ч, обозначен угловыми скобками, а не полужирным шрифтом. Равенство (21.9в) показывает, что скалярное произведение линейно относительно второго вектора в произ- веденин.
Однако относительно первого вектора оно антилинейно: (аг, + (3г,1г„) = а*(г, ~ ге> + 13*(г,~ г9). (2 !.9г) Это соотношение получается из (21.9в) с учетом (21.9б) следующим образом: (аг, + !3г 1гк> = (гт~аг, + рг >в = = (а(г„1г,) + (3(г„~ г,>)* = = а'(г,~тч) -ь 13" (г,1г„). Модулем или нормой вектора называется число )г~ = (г)о). Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Совокупность векторов (е„е,, ..., е„) называется ортонормированной, если лля всех векторов этой совокупности соблюдаются условия (е,1е,) = бе, (21 10) где бо-символ Кронекера. Скалярное произведение удовлетворяет важному неравенству 1( ',1,) !' <1г,1'~:, 1', (21. ! 1) называемому неравенством Шварца. В обычном трехмерном пространстве оно очевидно, потому что косинус угла между векторами по модулю 132 о Основные понятия теории представлений равен или меньше единицы. Для доказательства в общем случае рассмотрим вектор ч = ч, — ч,(р;!о)Л о,!т.
(2!.!2а) Соотношение (21.9а) для него принимает вид <р 0 <р !О>ЛР 12!Р о<о !р>Ло !т>— = (о, ! г,) — (о, 1 г,) (гЛ г,Я р,!'— — (;!о>*(',1:,)Л ',!'+ + <;1,>*<,1:,><р,~р,Ир,!' = ~о !т ~(р !р )!т!!р ~г >!) (2! !2б) где в последнем равенстве использована формула (2!.96).
Из (21.12б) следует (2!.11), что и требовалось доказать. В трехмерном обычном пространстве известно неравенство треугольника: длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. В общем случае многомерных векторов неравенство треугольника записывается в виде !о, + р,~ < !г !+ !р,!. (21.13) Для доказательства этого неравенства заметим, что !о,+р,~'=(р,+ г !г,+г) = = !о,!'+ 1;!' -о (,1;) + (г,!г,) = =!р,('+ !о )т+ 2Ке(о !о ), (21.14) где (р,1о,) + (г,~г,) = (о,!о,) + (о,!о,)" = = 2Ке(г,)о,). Поскольку для любого комплексного числа о справедливо неравенство Век < ~ с !, соотношение (21.14) принимает вид ~о, + о !т < !и!т + !р!т+ 2)(р!р)!. (2!.!5) Отсюда с учетом (21.1!) следует не- равенство (г, + р,)' < !о !'+ ~о,!' ч 2!о !!о,1= = 0 ',~+! ',~)' (2 !.1б) эквивалентное (21.13). Сопряженные векторы.
В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контравариан~ного и ковариантного векторов и соответствуюших проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются поразному, Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или ковариантцым), по~ому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории — анализ ив вариантов преобразований.
Обычно контравариантные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е„— ковариантный вектор, е'-контравариантный вектор. Эти векторы принадлежа г различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантиым и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. Лишь после введения метрики пространства можно скалярное произведение выразигь либо только через ковариантные„либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между ковариантными и контравариантными векторами.
В квантовой механике вектор состояния характеризуегся обычно не одним, а несколькими параметрами или символами. Выносить эти параметры и символы в индекс вектора не всегда удобно или даже возможно, Поэтому Дирак предложил специаль- е 21 Пинейные коненномерные векторные пространства 133 нос обозначение для векторов, которое учитывает требования к удобству написания векторов и операций с ними в квантовой механике. Вектор обозначается символом ) ), внутри которого в строке выписываются параметры или символы, относящиеся к вектору.
Если, например, вектор харакзеризуется парой чисел п,т, то он записывается как ~1п,пт); если символом Ох, то в виде 1® ), если буквой р„ то ~р) и тд. Пространство векторов ~п,) квантовой механики является комплексным. Вместо того чтобы говорить о контравариантных и ковариантпых векторах, говорят о векторах и сопряженных векторах. Каждому вектору ! р,) сопоставляется сопряженный ему вектор ~ р,) ".
Совокупность векторов 1р,)' составляет линейное векторное пространство наряду с линейным векторным пространством, образуемым совокупностью векторов 1о, ) . Складывать векторы этих различных пространств нельзя. Все операции над векторами должны проводиться в пределах каждого из пространств. Эти пространства связаны между собой определением скалярного произведения, которое и порождает метрику пространства.
Сопряженный вектор записывается как (о,~ = ~г,)+. Скалярное произведение вектора ~р,) на 1р,) записывают в форме ~ р,)' 1р,) = (р, ~ 1р„) = = ( р, ! гз). Знаки ~ ~, стоящие между р, и ю,, играют лишь роль указателя, разделяющего перемножаемые векторы, и поэтому заменены одной вертикальной чертой. Это делает запись скалярного произведения компактной и удобной. Левая угловая скобка*' с чертой относится к вектору ((, а правая — к ы Скобка Ьгаеке1 (аггел.) вектору )). Это дало основание Дираку назвать вектор (! бра-вектором, а вектор ~ ) -кет-вектором. Пою ому часто линейное пространство кет-векторов называю~ кет-пространством, а бра-векторов- бра-пространством.
Операторы. Операция сложения векторов и умножения векторов на скаляры характеризует свойства векторного пространства. Операции над векторами описываются операторами, которые обозначаю~ буквами или к другими символами со значками над ними, например .4, .1., г, и т.д. Оператор А определяет правило, по которому вектору ~ Ч') пространства кет-векторов сопоставляется вектор ~тр) того же векторного пространства, т.е.
по заданному вектору ~ Ч') определяется вектор ~ тр). Это сопоставление записываю~ в виде равенства 1р) = А1Ч) 121. 17) и говорят, что оператор гг действует вправо на вектор 1Чт), в результате чего получаем вектор 1тр). Оператору А, действуюшему в кет-пространстве, соответствует сопряженный оператор А+, действующий в пространстве бра-векторов, по такому правилу: если оператор А, действуя вправо на вектор ~Ч'), дает ~тр), то оператор А , действуя влево на вектор (тр~, лает (тр ~: ( тр ! = ( Чт ! А ". 121.!8) Отметим, что оператор А ' действует только на векторы (Чг(, а оператор А — только на векторы ~ Ч').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
