А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Собственные значения энергии равны Е, = йто, Е = Лат, Е, = 2йоэ. Вероятность при измеренйи энергии получить результаты Ггто или 2Ггьэ равны ! а!г + ! )3!г или ! у!г, В результате измерений система переходит в стационарные состояния (а)1) + !3!2))((а!г + !)3(г) пг или !3). Собственными векторами оперртора А служат векторы (!1) + !2))/.„~'2, (!1) — !2))(' ~2,/3), а соотвегствующие собственные значения равны а, — и, 2а. Вероятности получения при измерении физической величины А в состоянии !Ч') значений а, — а, 2а равны !а + )3! г/2, !а — )3! г/2 !у!г В результате измерения А система переходит в стационарные состояния (!1)+!2))2 — пг (!1) !2))2-пг ! 3). Величина А может быть измерена одновременно с В.
Собственными векторами оператора В являются векторы !1), ((2) + !3))2 "г, (!2) — !3))2 а соответствующие собственные значения равны 2Ь, Ь, -Ь. Вероятности получения при измерении физической величины В в состоянии ~Ч') значений 2Ь, Ь, — Ь равны !а!, !!3+ у!г/2 !)3 — у!')2. В результате измерения В система переходит в собственные состояния оператора В, зависимость от времени которых представляется в виде е ' '! 1), (е '"'!2) + е '""13))у '2, (е '"'!2) — е г' '13))Г /2. Одновременное измерение энергии и В невозможно, за исключением случая, когда а = 1. )3 = у = О.
Если кет-вектор ! Ч') представляет состояние системы в момент времени 142 с. Основные понятия теории представлений т = О, то в момент 1~ О состояние системы описывается кет-вектором 1Ч'(1)1) = е' 'сиа11) + е 'н')312) + + е '"'у~3). Средние значения различных величин А и В задаются формулами (А) = (ав(3+ )3ва+ 21у1')а, ( В ) (2 ( и (з + ))в у е — !ее «+,у «)3еин«) (у из которых следует, что д(А) с1(В) =О, — и'-О. с)т 22. Линейные бесконечномерные векторные прост)«анетна Изтвзиются основные понятия и резулывты теории бесяонечномерны«веяторныя прострвиств. Бескоиечиомериый вектор.
Из определения размерности векторного пространства заключаем, что в нем число линейно независимых векторов бесконечно, Следовательно, ортонормированный базис состоит из бесконечного числа ортов и в базисном представлении вектор описывается бесконечным числом проекций.
Теория линейного конечномерного векторного пространства, рассмотренная в 5 21, справедлива при любых конечных размерностях, в том числе и сколь угодно больших. Это означае~, что теория бесконечномерных линейных векторных пространств может быть построена исходя из теории конечномерного векторного пространства при стремлении числа измерений к бесконечности, т.е. обобщением результатов ~ 21 на случай бесконечного числа измерений. Из-за отсутствия наглядного образа бесконечномерного абстрактного вектора целесообразно при обобщении теории конечномерного вектора исходить из базисного представления, в котором вектор характеризуется совокупностью чисел, взятых в определенной последовательности.
Число членов последовательности равно размерности пространства. В этом представлении обобщение теории конечномерных линейных векторных пространств на бесконечномерный случай сравнительно просто. Рассмотрим функцию Д(х), заданную на интервале (а, 6). Разобьем этот интервал на отрезки, ограниченные точками х, = а, хз, хз, ..., х„= 6, причем ~очки записаны в йорядке возрастания х. Совокупность чисел (Ях,), 1(х,), 1'(хз), ..., )'(х„)1 будем рассматривать как базисное прел- ставление кет-вектора (см.
(21.35)] Яхз) Л- з) (22,1) (х„) Соответствующий бра-вектор [см. (21.45)1 (и, Я вЂ” ()в (х«), Ув (хз), ..., Ув(хв)) . (22.2) Совокупность и чисел, равных значениям функции у(х) в тех же точках х,, х,, ..., х„, является базисным представлением вектора 1и, у ). Аналогично можно говорить и о других векторах, которые образуются значениями других функций в точках х,, х,,..., х„, Этим путем осуществляется построение всех возможных векторов линейного векторного и-мерного пространства.
Совокупность значений (У'(х,), )(х,), ..., 1'(х„)) описывает приближенно поведение функции)(х) на интервале (а, Ь). Увеличение числа точек разбиения интервала (а, Ь) и соответствующее уменьшение интервала между точками приводят в пределе при п — со к базисному представлению вектора, число проекций которого бесконечно, т. е.
к бесконеч- 1 22. Линейные бесконечномерные векторные пространства 143 номерному вектору. Следовательно, функцию Ях) можно рассматривать как базисное представление бесконечномерного кет-вектора ( со,7) = ®: ~7) -.)(х), (Л- ).(х). (22.3) Здесь число 1'(х) — проекция вектора ))') на орт1х), т.е. Дх) = (х) /), (22.4) где (х/ =1х)+. Формулы (22.3) и (22.4) являются в сущности ли!пь обобщением обозначений и понятий на случай бесконечномерных векторов. Однако их смысл в случае бесконечномерных векторных пространств необходимо уточнить.
Скалярное произведение. В конечномерном случае скалярное произведение векторов .'(т ) д(х,) ~п. /)-, 1п, д) —, (22.5) «( 2) д(хт) /(.х„) д (х„) в соответствии с (21.46б) выражается формулой (и, д~п, Г) = 2 д'(х))(х). (226а) !=! Она имеет определенный смысл и может быть использована при любом сколь угодно большом значении п, но не имеет смысла при л — + со и, следовательно, нуждается в видоизменении при обобщении на бесконечномерное линейное пространство.
Это видоизменение очевидно: при переходе от дискретных значений х, к непрерывно изменяющейся величине х сумма в (22.6а) переходит в интеграл, т. е. скалярное произведение бесконечномерных векторов 1д ) и 17'), базисные представления которых задаются функциями д(х) и 7'(х), выражается формулой ( д 1Г) = ) де (хнах) с1 х . (22,6б) Условие полноты и нормировка базисных векторов. Условие (21.75) полноты базисных векторов ~ х ) с учетом непрерывности .к имеет тот же вид, но с заменой суммы на интеграл: ь ) ! х') (х'1дх' = Х. (22.7) Умножим обе стороны равенства (22.7) слева на (х! и справа на !)): ~(х)х) (л«®т)х' = (х)1) /) = (х®, (22.8) На основании (22.4) равенство (22.8) принимает вид ь ) (х1х')Дх')с1х' =Ях).
(22.9) Отсюда следует, что (х(х') = О при х ~ х', а в бесконечно малой е-окрест- ности точки х = х' функция (х~ х') отлична от нуля, причем (х1х')7(х)т)х' =Дх) ) (х1х')т)х', (22.10) где использована теорема о среднем. Следовательно, «ь (х!х') т)х' = 1 (22.11) при бесконечно малом е.
Это означает, что при х' = х функция (х1х') обращается в бесконечность, но так, что интеграл от нее по области, включающей точку х, равен единице. Функция Ь(х — х') = (х ~ х'), обладаютцая такими свойствами, как 8(х — х') = О (х' т- х), ) 8(х — х') дх' = ! (и < л < Ц, 144 5. Основные понятия теории представлений т)6(х — х') ) 6'(х — .т')Дх') 6»' = ) Д(х') т)х' = д» д т) = — (6 (х — х')Х(т') <1х' =- — — Дх) . (22.16) а»' т1х Это вычисление можно осушествить также, произведя в подынтегральном выражении замену: т) 6' (х — х') = 6(х — х') —., т)х' причем оператор т)!т)х' действует на все функции пол интегралом, которые сопровождают б' (х — х'), Вычисление интегралов при наличии в полынтегральном выражении производных от б-функции более высокого порядка удобно производить с помошью замены д" 6 (т — х') т)" — = 6(х — х') —.
т(х т)х'" (22.! 8) Можно представить 6-функцию в виде предела от функции, которая является 6-функцией Дирака. С ее помотцью условие ортонормированности базисных функций (л ) при непрерывно изменяющейся переменной х имеет внд (х(х') = 6(х — х'). (22.!3) Свойства 6-функции Дирака. Она является четной функцией своего аргумента. Это следует из (22.13): 6(» — х) = (л! т') = (х'! т)* = бе(т' — л) = = 6(.т' — х), (22.14) поскольку 6-функция вещественна. При наличии под интегралом производной от 6-функции по первой переменной в ее аргументе д 6'(х — х') =- — — 6(х — х') = — — 6(х —.т') т)» д.т' (22.15) вычисление производи гся следующим образом: отлична от нуля лишь в сколь угодно малой области вблизи точки х, однако принимает в этой области такие значения, что интеграл по области равен единице.
Например, функция 1 Г (х — х')л 1 (' (х лл) ехр~ ~ (22!9) о о ~к от симметрична относительно точки х и является четной функцией своего аргумента. При любом о (х — х')Йх' = 1. о (22.20) Очевидно, что (О (х' Ф х), !!ш.);(. -»3=3, -о оо (.л' = х). Следовательно (22.2!) 1пп )' (х — л') = 6(х — х'), о (22.22) и ! 1 и ((т) = )' ~ — ~ еи'" "з(й Дх')дх',(22.24) 2я —,с Такого рода представлений 6- функции в виде прелела других функ- ций существует бесконечное множест- во. Можно ее выразить также в виде производной по х' от функции, кото- рая везде постоянна, за исключением точки х' = л, где она испытывает раз- рыв непрерывности с изменением зна- чения на 1. Другие полезные представления 6-функции могут быть получены из теории рялов и интегралов Фурье, Например, известные из теории ин- тегралов Фурье соотношения 1 ((Й) = —, ( е 'т" )(х')т)»', ~2я -'.
1 Дх) = — — ) )'(Цсв" тУс, (22.23б) ~2я— записанные в виде равенства Е 22. Линейные бесконенномерные векторные пространства показывают, что — ~ е1"'* "'тй = 6(х — х'). (22.25) 2я ~ Бескоиечиомериые операторы. Их свойства целесообразно рассмотреть на примерах конкретных бесконечно- мерных операторов, которые играют главную роль в кван~оной механике. Бесконечномерный оператор определяется в полной аналогии с конечпомерным как правило, по которому бесконечномерному вектору )сР) сопоставляется бесконечномерный вектор )тр) ~ем. (21.18)~1 1р> = А1Ч ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
