А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 41
Текст из файла (страница 41)
с [/) = / ср) (22 55) Тогда (х ) Х [/ ) = ) (х / Х ( х' ) (х' [/ ) с1х' = = х/(х) = (х/ср) = ср(х) (22 56) Следовательно, ср(х) = х /"(х) и дейст.- вие оператора Х на вектор [/) сводится в х-представлении к умножению на х проекций /(х) этого вектора: х [/(х)) = /х/(х)), (22 5 с) где под ~х/(х)) понимается кет-вектор, проекции которого на базисные векторы |х) равны х/(х). Коммутатор операторов )с и 1с. Действиям операторов Х и К на кетвектор [/) соответствуют в х-пред- ставлении следующие операции над проекциями вектора Х /1) — х/(л), (22 58а) К/1) — — с с) /'(х) (22 58б) с/х Следовательно, с1 /(х) ХК [с') — сх —, с/х с/ Х/С [/) — — с — х/(х) с)х (22 59а) (22 59б) и поэтому [Х,К) ~~) — 1 — сх + сх + с// (х) с1с (х) с)х с/х à — хе'с " '"с/х = 2л 1 = с — Ь(/с — /с') = с8'(/с — /с'), с) с)/с (22.62) + с/(х) = с/(х) — ~ с1 ~ / ) (22 60) Поскольку [/") — произвольный кетвектор, нз (22.60) получаем [Х,К) = с/ (22 61) Это важное коммутационное соотношение между Х и К, которые являются основными операторами квантовой механики, Большинство других операторов квантовой механики выражается в виде функции от Х и У = = лК, где й-постоянная Планка.
Соотношение взаимности операторов Х и йх Матричные элементы операторов Х и К в своих собственных базисах даю~ся выражениями (22 54) и (22.52). Найдем матричный элемент оператора Х в собственном базисе оператора К: Г (/с/Х)/с') = — ! е ""хс" "с)х = 2л ! 150 б Основные понятия теории прелстввпвний где при переходе от первого интеграла ко второму произведена замена переменной интегрирования х - — х, или, другими словами, учтено, что 6((с' — й) = 6(/с — (н). Обозначим /'()с) проекции вектора (г"у в базисе оператора тк.
Из (22.62) следует, что проекции вектора Х()') в этом базисе равны тс(Г'(«)/с()с. Проекции вектора Х (у",у в собственном базисе )х на основании (22.52) выражаются в виде lсГ(/с). С учетом (22.5В) заключаем, что проекции векторов Х (/') и К Я в базисе оператора г( равны соответственно хг'(х) и — й(г'(х)/с(х, а в базисе оператора К вЂ” соответственно уб((й)!~И и й('(й). 23. Постулаты квантовой механики Иана~летел абстрактная формулировка квантавой механики Смысл аксиоматического представления физической теории. Физическая теория всегда возникает как результат наблюдений, опыта и экспериментальных исследований, приводящих к построению физической модели соответствующей области явлений.
Модель формулируется и описывается на математическом языке и называется теорией данной группы явлений, Все обширное содержание ~сории можно свести к небольшому числу основных положений, из которых посредством логических и математических операций можно получить все следствия теории. Совокупность этих основных положений принято называть аксиомами или постулатами теории.
Вся классическая механика Ньютона базируется на трех постулатах -законах Ньютона; вся классическая электро- динамика — на уравнениях Максвелла и т.д. Изложение теории исходя из ее постулатов является наиболее кратким и в большинстве случаев наиболее изящным. Оно широко используется в теоретической физике. Однако при этом предполагается, что физическая модель и соотношение используемых в модели понятий с физической реальностью имеют ясное и непротиворечивое толкование, а само аксиоматическое изложение теории не затушевывает ее экспериментального происхождения. Аксиоматическая формулировка физической теории — результат экспериментальных и теоретических исследований, а отнюдь не инструмент этих исследований. Тем не менее это важный фактор физических исследований, потому что в наиболее ясной и краткой форме представляет проблему соотношения физической теории и физической реальности.
В первых четырех главах этой книги были изложены экспериментальные факты, которые привели к возникновению квантовой механики, а также основные положения квантовой механики в наиболее привычном представлении — координатном. Это представление кажется некоторой модификацией моделей классической физики и выглядит наиболее «естественным» и «понятным». Однако именно благодаря этому оно наименее приемлемо для изложения существа квантовой механики и часто приводит к его искажению. Например, квантовая механика излагается как теория, основанная на дифференциальном уравнении Шредингера, а затем говорится об «операторном методе» квантовой механики. При таком подходе невозможно вообще понять суть квантовой механики, потому что при этом не учитывается различие физической природы динамических переменных классической и т) 23.
Постулаты квантовой механики 1в1 квантовой физики. Этим же обстоятельством обусловливаются некоторые «парадоксы» квантовой механики, которые по своей сути являются недоразумениями. Поэтому целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики в абстрактном представлении, когда все э~и ~руднос~и усграняются сами собой. Постулаты квантовой механики. Целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики для наиболее простого случая нерелятивистско~ о движения отдельной частицы в одном измерении. Обобщение этих положений на случай многих частиц и многих измерений будет обсуждено в конце параграфа. Постулаты квантовой механики могут быть сформулированы в виде следующих четырех положений. 1.
Состояние движения частицы предо~валяется вектором ~тг(т) ) в гильбертовом пространстве. 2. Независимые динамические переменные, соответствующие классическим координате х н импульсу р частицы, представляются эрмитовыми операторами Х и Р, матричные элементы которых в собственном базисе оператора Х равны (х)Х)х') = хб(х — х'), (23.!) (х ~ Р|х') = — ЙЬ'(х — х').
(23.2) Другие динамические переменные, соответствующие классическим функциям Р(х,р), представляются эрмитовыми операторами Р(Х, Р) = = Р(х -+ Х, р т Р). 3. В состоянии !Ч') измерение динамической переменной А дает с вероятностью Р(А) = ~( А ~Ч' )(' одно из собственных значений А оператора А. В результате этого измерения сис- тема переходит из состояния 1Чт) в состояние ! А ) . 4. Вектор состояния ~Ч'(г)) подчиняется уравнению Шредингера — — --~Ч'(т)) = Н~Ч'(т)), Бд ~Ж (23.3) где Н = Н(Х, Р) — оператор Гамильтона, получающийся из гамильтониана Н(х,р) соответствующей классической проблемы по правилу И(Х, Р) = и(.
— Х,р -+ Р). Смысл и содержание этих постулатов достаточно подробно были рассмотрены в х-представлении (см. гл. 4). Здесь необходимо сделать лишь несколько пояснительных замечаний. В постулате 2 далеко не всегда понятно, как построить оператор Р(Х,Р) = Р(х- Х,р-+ Р). Пусть, например, Р = хр = рх. Поэтому не ясно, будет ли Е(Х, Р) = ХР или Р(Х, Р) = РХ, хотя эти операторы различны (Х, Р Ф РХ).
Универсального правила преодоления этой трудности не существует. В рассматриваемом случае используется прием симметризации и принимается, что Р(Х,Р) = = (Х Р + РХ)~2. Однако уже для второй с~специ или выше х или р в произведении этот прием не может быль применен. Задача сводится к нахождению такого правила написания оператора, которое приводило бы к согласию выводов теории с результатами экспериментов. В постулате 3 в случае вырожденного собственного значения А для вычисления Р(А) надо принять во внимание полную проекцию состояния (Ч' ) на подпространство, принадлежащее вырожденному собственному значению.
Например, если собственное значение А вырождено двукратно (А = А, = Аа), то в простран- 152 б. Основные понятия теории представлений стве векторов, принадлежащих этому собственному значению, можно построить некоторый ортонормированный базис !А,! ) и 1А,2). Тогда н(А) =1(А,!1ч')! е ((А,2!ч')! .(234) В случае непрерывного спектра собственных значений оператора А величина ~ (А ~ Ч') ) г в постулате 3 дает не вероятность„ а плотность вероятности, поскольку собственные векторы ~ А) в этом случае нормированы не на 1, а на б-функцию.
Полная вероятность получить при измерении какое-либо значение А равна, конечно, единице; ( РР( ~)иг 4 ) ~ ( 11Чг ) ~ г 1 1 = ) (Ч'1А ) (А1Ч') с)А = (Ч'1Р~ Ч') = ! . (23.5) В частности, спектр собственных значений оператора координаты Х непрерывен. Волновая функция Ч'(х) = (х~ Ч') позволяет находить не вероятность нахождения частицы в точке х, а плотность вероятности ~Ч'(х)('; вероятность нахождения частицы в интервале г)х вблизи х равна ~Ч'(х)~'к)х. Однако вектор ~Ч') содержит информацию не только о местонахождении частицы, но и об ее импульсе.
Плотность вероятности для частицы иметь импульс р дается проекцией Ч'(р) = (р! Ч') вектора состояния ~Чг) на базисный вектор !р) оператора Р. Существуют динамические переменные, для которых нет классического аналога. В этом случае оператор динамических переменных должен быть построен так, чтобы давать результаты, согласующиеся с экспериментом. Обобщение постулатов на многие степени свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
