А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В этом случае модифицируется лишь постулат 2, остальные остаются без изменения. Этот постулат может быть сформулирован так: % степеням свободы, относящимся к М декартовым координатам х,, х„ ...,хк классической системы, в квантовой теории соответствуют )х' взаимно коммутирующих операторов 3(,,Х,....,ля, Собственный координатный базис ~х,, х,,...,хи ) этих операторов нормируется условиями ( ы кг, ...,.кю1.кы.кг, ..., «ю) = 6(х, — х',)б(хг —:сг)... 6(«я — .хт) . (23.6) Связь векторов состояния ~Ч') с волновыми функциями Ч'(х,, х, ..., х„) в х-представлении и действйя операторов Х, и Р, в этом представлении выражаются формулами ( Чг) — (.х, кг,...
х,1Ч') = = Ч'(х,, хг, ..., хе), (23.7а) Х,1Ч') — («, х„..., хя!Х,(Ч') = = х, Ч'(х, к„..., х ) . (23.7б) Р,~Чг) (х, к„..., «„)РАЧг) = л д Ч («и хг..., «и) . (23.7в) ! дх,. Операторы динамических переменных образуются по правилу Р(Хн Р;) = Г(«; Хн р; — Р,). Формулировка этих правил справедлива лишь в декартовых координатах, потому что только в них справедливо в х-представлении простое описание действия операторов Х и Р по схеме Х, — х,, Р,. — — (л Рг7'к)х, Лишь после формулировки и записи уравнений в декартовых координатах для решения полученных дифференциальных уравнений можно переходить к любым другим координатам заменой переменных.
1 24. Различные првдставпвния квантовой динамики 24. Различные представления квантовой дннамнкп Описываются различные представления квантовой линамики. картины Шредингера, Гейзенберга и картина взаимодействия. Картина динамики Шредингера. Эволюция системы во времени описывается уравнением Шредингера (23.3), в котором операторы ())д(с(д Х и Р от времени явно не зависят. Оператор Й для консервативной системы также не зависит явно от времени. Но в принципе уравнение (23.3) справедливо и при явной зависимости Йот времени.
Вся эволюция системы описывается изменением вектора состояния ! Ч'(!) ) во времени, в то время как операторы динамических переменных от времени не зависят. Следовательно, вся квантовая динамика системы представлена изменением во времени вектора состояния. Такая картина квантовой динамики системы называется картиной Шредингера. Уравнением, описывающим квантовую динамику системы в этой картине, является уравнение Шредингера (23.3). Рассмотрим случай, когда оператор Й не зависит явно от времени. С учетом (21.92) видно, что решение уравнения (23.3) имеет вид 1Ч'(т)) = с ' ' ~Ч'(О)) = О(т)1Чг(0)), (24.1) где О(т) = ехр( — ~Йт(лт).
Если выражающий экспоненту ряд сходится, то (21.1) дает решение уравнения Шредингера, которое полезно для многих применений. Заметим, что в тех случаях, когда ряд не сходится, формула (24.!) может бьггь тем не менее использована для выработки приемов, с помощью которых может быть найдено приближенное решение. Оператор С вЂ” ~йгд (24.2а) удовлетворяет операторному уравне- нию й с) — — — С = ЙС г' с(т (24.2б) где (Ч'(т)! = т',Чз(0)1 О "(т), ~ Ч'(т)) = =- С(т)1Чз(0)), (24.5) Таким образом, нормировка вектора состояния сохраняется с течением времени, меняется лишь его «направление» в гильбертовом пространстве. Изменение вектора состояния со временем сводится к его «врац!ению» в гильбертовом пространстве. При явной зависимости Й от времени имеется искушение записать решение уравнения (23.3) аналогично (24.!) в виде 1чт(т)) =ехр — — )Й(г)м 1ч'(О)).
(24.6) ~о Формально (24.6) удовлетворяет уравнению (23.3), однако не представляет решения, так как экспоненциальный оператор не может быть опеределен степенным рядом. Это обусловле- и называется лропагапзоролт. Он осуществляет преобразование вектора состояния от одного момента времени к другому.
Поскольку оператор гг эрмитов, пропагатор С унитареп (см. (24. 2а)): О" (т)С(т) = 1. (24.3) Унитарность оператора О(г) обеспечивает сохранение нормы вектора состояния в процессе его изменения во времени: с',Чт(т) ~Чт(т)) = с',Ч'(0)1О (т) О(т)1Чт(0)) = = (Ч'(0)1Ч'(О)), (24.4) 164 о, Основные понятия теории представлений но некоммутативностью операторов Й(с), относящихся к разным моментам времени Н(тс)й(Сг) — Н(Сг)Н(с,) та 0 (С, Ф Сг)(247) Для нахождения оператора (с(с) в этом случае и представления с его помощью решения в виде ~ ч'(с) 2 = й (с) ~ ч'(о) 2 (24.8) разобьем интервал времени (О, с) на Х участков одинаковой длины Л (с = = ХЛ), причем Л выбирается очень малым, а М соответственно очень болыпим.
Решение уравнения Шредингера (23.3) для с = Л можно с точностью до величин первого порядка по Л представить в виде ~~(.)) = ~ ( )) "~ ). = С'сг ) Ч'2'г сй = ~ч (о)> — — й(онч (о)5 = сс сЛ вЂ” 1 — — Й(0) ) Чг (О) ). л С точностью до величин первого порядка по Л равенство (24.9) в экспоненциальной форме записывается в виде соотношения ~ Ч'(Л) ) = ехр — — ЛЙ(0) ! Ч'(0) ). л (24.10) Аналогично находим 1чг(2Л)) = ехр — — ЛЙ(Л) 1Ч'(Л) = Л = ехр — - ЛЙ(Л) ехр — — ЛЙ(0) ( Ч'(0)).
(24.11) Продолжая этот процесс, окончатель- но получаем гн-с |Ч'(с)) = ~ П ехр — — ЛЙ(тЛ) ) Ч'(0)) =о (24.12) Ввиду некоммугативности операторов Й для различных моментов времени нельзя в (24.12) произвести сложение показателей экспонент и при Л вЂ” О перейти к интегралу, получив формулу вида (24.б).
Необходимо дать такое определение оператора (с'(с), которое обеспечивало бы более позднее применение оператора Й(с,) по сравнению с оператором Й(с,), если с ) с,. Другими словами, оператор Й(с) должен стоять левее всех операторов, относящихся к предшествующим моментам времени. Такое определение дается с помощью процедуры упорядочения интеграла по времени, обозначаемой символом с, которая математически выражается в виде Й(с) = Т,'ехР ( — (Цл))Й(!') с)с'))с = о я — 1 П схр( — (ССл)й(тЛ)ЛЗ. (24.13) П ни=О Оператор (24,13) связывает векторы состояния (Ч'(О)) и ('Р(с)) формулой (24.8). Он унитарен, поскольку представляет собой произведение унитарных операторов.
Следовательно, и при явной зависимости гамильтониана Й от времени изменение вектора состояния 1гр(с)) во времени является «вращениеми в гильбертовом пространстве. В общем случае пропагатор (с(с~, с,), описывающий переход от вектора состЬяния ) Ч'(с,) ) к вектору состояния ~гр(сг)), имеет вид (см. (24.13)) гг Й(с,с,) = 7(ехр( — (ссл) (Й(г)с(с'з).
(24.14) Нетрудно доказать, что он удовлетворяет следующим условиям: Й(сг сг) Й(сг сг) Й(сг, сг), (24. 15) Й(с,,с,) = (2 '(с,,с,)=- Й(с,,с,). 1 24 Раапичнме представления квантовой динамики Картина динамики Гейзенберга. В картине Шредингера динамика системы представляется вращением вектора состояния в гильбертовом пространстве, базис пространства неподвижен и операторы динамических переменных пе зависят от времени в этом базисе. Можно по своему усмотрению привести базис во вращательное движение.
В результате вращение вектора состояния относительно базиса изменится, а операторы станут зависимыми от времени. Динамика системы при этом распределится соответствующим образом между динамикой операторов и динамикой вектора состояния. Такое распределение динамики можно произвести бесчисленными способами, выбирая различные «вращения» базиса. Один из крайних случаев, когда вся динамика переносится на вектор состояния, называется картиной Шредингера. Другой крайний случай, когда вся динамика переносится на операторы, называется картиной Гейзенберг.
В картине 1 ейзенберга вектор состояния постоянен. Промежуточные случаи называются промежуточными картинами динамики, Все зти картины динамики совершенно эквивалентны. Из промежуточных картин наиболее важной является представление взаимодействия, используемое в нестационарной теории возмущений (см. 5 48). Обозначая операторы и векторы в картине Шредингера индексами Ш, а в картине Гейзенберга-индексами Г, запишем уравнение Шредингера в виде й г) -- — !Ч (т)>=й !Ч' (т)> (2416) !г)~ Среднее значение динамической переменной, представляемой в кар~ине Шредингера независимым от времени оператором Ащ в состоянии )Ч'щ(!)), дается формулой (А(т)> =(Ч' (т)!А !Ч' (т)> = = (чщ(0) ! 17 (ВАщ(7(г) ! чщ(0)>, (24.17) где использована формула (24.8). Зависящий от времени оператор А,(т) = с" (т)АщГ7(т) (24.18) является оператором динамической переменной А в картине Гейзенберга. Не зависящий от времени вектор состояния ! Ч'(О) > может рассматриваться как вектор состояния в картине Гейзенберга !Чг> =!Ч (0)>.
(24.19) Само собой разумеется, вместо ! Ч'(О) > в качестве не зависящего от времени вектора состояния в картине Гейзенберга можно взять вектор ! Ч'щ(г ) >, но использовать при этом для вычисления А,(г) в (24.18) пропагатор (24. 14). Уравнение движения для операторов А,(г) в картине Гейзенберга получается непосредственно дифференцированием (24.18) по времени: йг)Аг)д! = А,Нг — ЙгАг = [А - Н ). (24 20) Это уравнение является уравнением движения в картине Гейзенберги.
Оно эквивалентно уравнению Шредингера, но в нерелятивистской квантовой механике применяется реже. Однако в релятивистской квантовой теории поля более предпочтительна во многих случаях картина динамики Гейзенберга. Картина взаимодействия. Рассмотрим наиболее важный случай промежуточной картины, когда оператор Гамильтона Йщ состоит из не зависящей от времени части Й)е' и зависящей от времени части Й)п(г): Йщ(т) = Й~" ,+ Й(0(0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
