А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 44
Текст из файла (страница 44)
' (25.5) где учтено, что импульс р„свободной частицы связан с ее энергией соотношением )у„=,уг~тЕ, А и  — произвольные постоянные. Первое слагаемое в (25.5) описывает движение частицы в положительном направлении оси Х, а второе — в отрицательном. Чтобы в этом убедиться, надо вернуться к функции (25.3) и посмотреть (с учетом (25.5)3, в каком направлении перемещаются точки постоянной фазы у первого и второго слагаемых функции (25.3).
Например, условие постоянства фазы первого члена имеет вид Еу — рях = = сопя1. Дифференцируя это равенство по б убеждаемся, что фазовая скорость направлена вдоль положитель- ного направления оси Х. Аналогично анализируешься второе слагаемое функции (25.5), Рассматривая для определенности движение в положительном направлении, необходимо положить В = О. Тогда на основании (25.3) замечаем, что волновая функция свободной частицы имеет вид плоской волны: Чг (х, у) = Ас (25.6) Уравнение (25.4) имеет однозначное, конечное и непрерывное решение при любой энергии Е.
Это означает, что спектр энергий свободной частицы непрерывен. Очевидно, что скобки Пуассона (Й,р 3 в случае свободной частицы равны нулю: гй,д„) =О. (25. 7) Следовательно, импульс свободной частицы-интеграл движения, т.е. импульс свободной частицы равен постоянной величине. Кроме того, из равенства нулю коммутатора (25.7] следует, что энергия свободной частицы и ее импульс являются одновременно измеримыми величинами. Нормировка иа длину периодичности. Поскольку спектр собственных значений свободной частицы непрерывен, нормировка собственных функций на единицу невозможна, так как ) Ч'*Ч'дх = А2 ) дх = сс, и следует пользоваться условием нормировки на б-функцию.
Однако вместо этого часто пользуются способом нормировки на длину периодичности, ко~орый заключается в следующем. Предположим, что нас интересует движение частицы на участке длиной Е. В этом случае можно рассматривать не все бесконечное пространство, а лишь участок длины Е. Вне этого 5 25. Свободное движение частицы участка волновую функцию можно считать периодически повторяющейся, т. е.
можно наложить на волновую функцию следующее условие периодичности: Ч е(х + 1-) = 1 е (х) (25.9) Ясно, что после этого частица уже не может считаться полностью свободной, ее движение ограничено условием (25.9). Благодаря этому спектр энергии частицы перестает быть непрерывным. Однако, если длина Б выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного может быть сколь угодно малым. Спектр энергии может быть найден из условия (25.9), которое с учетом (25.6) принимает вид цтд 1 н«па (25.10) или си*о" = 1. (25,11] Следовательно, р„не может принимать произвольные значения, а может принимать лишь дискретный ряд значений р.„, определяемых на основании (25.11) равенством л„„= 2плл„Д., (25.12) где л„— целое число. Таким образом, введение условия периодичности (25.9) приводит к переходу от непре- рывного спектра к дискретному: Е = рт /(2т) = 2птй1тл«т)(т(.т). (25.13) В дискретном спектре необходимо воспользоваться условием ортонор- мированности (!7.23), которое в дан- ном случае имеет вид Ц2 сп Ч««Ч«1 ~2 !' е2«н — «1~1 — сд цт 5!П П(П вЂ” П ) ) А 1 (П = П ), п(л — л') ( О (л Ф л').
(25Л 4) 11 Отсюда следует, что А аl = 1, А = 1) /)., (25.15) и система ортонормированных функций записывается следующим образом: Ч«(х) — е1««««л à — 112 )„— 11 те«1„„ «« р„„= 2пйп„(й., (1„„= 2пл„!1.. (25.16) Воспользовавшись формулой (25.13) для собственных значений энергии, нетрудно убедиться, что если Лимеет макроскопические размеры, то дискретные уровни Е„ находятся очень близко друг к другу, почти сливаясь в непрерывный спектр. Благодаря этому при использовании вместо волновых функций непрерывного спектра волновых функций с нормировкой на длину периодичности мы допускаем не очень большую погрешность, но зато часто очень сильно упрощаем вычисления и интерпретацию полученных результатов. Не следует забывать, что все же эти результаты приближенные и спектр свободного движения в неограниченной области является непрерывным. Непрерывный спектр.
В случае непрерывного спектра волновое число Й„принимает непрерывный ряд значенйй, а волновая функция Ч'„(х) = А,еи"", (25.17) Условие нормировки на б-функцию имеет вид ) Ч'„*.(х) Ч'«(х) дх = = Ат !; ен« " 1 "дх = Б()1„— )т'„). (25.18) В теории интегралов Фурье доказь1вается равенство (2п) ' ) е1" "ьйх = б((1 — lт'). (25.19) -а 164 6. Простейшие случаи движения мнкрочастиц Сравнение (25.!8) с (25.19) показывает, что А, = 1/ /2л, и система функций непрерывного спектра, нормированных на б-функцию, приобретает вид Ч'„(х) = (2л) "зе'к"", /»„= р %. (25.20) Плотность заряда и плотность тока. Из (25.6) вытекает, что дЧг/дх = (гр„/д) Ч', дЧ'*,'дх = — (/р„/Б) Ч'е, поэтому (16.20) для плотности тока и заряда выражаются формулами /„= Ьк/д/(2яг)з (Ч'дЧте/дх — Ч'"дЧ'/дх) = =(Чр„/гп) Ч'*Ч' = (Чр 'гп) !А!з, Чгечз (25.2(а) (25.2!6) т.
е. 1„= рр /лг = рп„, (25.22) Ев В свободном пространстве энергия и импульс частицы обладают непрерывными' спектрами вначаний. Для удобства вычислений волновую функцию свободной частицы можно нормировать на длину периодичности. Однако при этом спектр энергии частицы становится дискретным, а волновая функция-приближенной. Если длина периодичности выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного может быть сделано достаточно малым. что находится в согласии с выражением для плотности тока, известным из классической электродинамики.
Для упрощения написания формул все вычисления в этом параграфе проводились применительно к одной координате. Аналогичные вычисления справедливы для двух других координат и волновую функцию свободной частицы а трех измерениях Ч'(г, !) можно представить как произведение Ч'(г, г) = Ч(х, г)Ч'(у, у)Ч'(г, г). (25.23) причем каждая из функций в правой части равенства определяется форму- лой вида (25.6). Волновая функция свободной частицы в трех измерениях Чт (г у) — Ае-Лю — и'ике (25.24а) где рг=р„х+ру+рд Е = рз/(2т) = (рз + рз + рз)/(2гл) (25.246) А = (2л) "з — нормировочная постоянная.
При нормировке на объем периодичности аналогично условию (25.15) находим нормировочную постоянную; А (яг / ( ) — зУ2 (25.25) где 1,„, Ь,, ь,— длины периодичности в направлении осей Х, У, Л соответственно. Волновая функция при этом равна Чз (( / / )-зю ц«„ге„тек„ (25.2ба) (е„— 2лттэ,'1.л /㻠— 2ллг/I г, (25.266) (е„= 2лл,/(,и где иы дл л,-целые независимые числа.
Для непрерывного спектра вместо формулы (25.20) находим волновую функцию: Ч'„(г) = (2л)-змсд' ()т = р/й). (25,27) Вместо (25.21) и (25.22) получаем: 1 = г/р!А!з/пг !у = Ч)А!з (25.28) ! = р р/гп = рт. (25.29) 2б. Частица в одномерной потенциальной яме Анализируются псноакые свойства дяииеняя частицы в одномерной бесконечно глубокой яме к яме «овечкой глубины и отмечается еушеетвовакке типично «яактопсгп калеки» прокикпомкпя частицы за границы пптеццпадьпой ямы конечной г.зубппы. Бесконечно глубокая яма. Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты х изображена на рис. 55.
26. Частица е одномерной потенциальной яме 165 На интервале (О, а) потенциальную энергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не може~ вый~и за пределы (О, а), или, как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция Ч' вне интервала (О, а) равна нулю.
Так как она непрерывна, то равна нулю в точках х = а, т = О. Таким образом, для Ч'(х) получаем следующие граничные условия: Ч'(О) = Ч'(а) = О. (26.1) Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет вид г)гчг(Дхг ! нгчг О нг 2ягЦКг (262) Общее решение этого уравнения хорошо известно: Ч'(х) = А яп(хх) + Всоа(нх). (26.3) Граничное условие Ч'(О) = О дает В=О, (26.4) а из граничного условия Ч' (а) = О следует, что на = ак, н„= ня!а (л = 1, 2, ...), (26,5) Это условие квантует движение частиц, На основании (26.5) и определения энергии через н в (26.2) получаем для уровней энергии выражение Е ДгнгД2щ) лгнгяг7(2яигг)(я ! 2 3 ) (26.6) Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равна нулю энергия лг г((2 „аг) (26.7) соответствующая основному состоянию движения частиц.
Волновая функция этого состояния 55 Потенциальная яма Ч' (х) = А а(ц(нх/а) ни в какой точке внутри ямы в нуль ие обращается. Это свойство волновой функции основного сосгояния имеет общий характер: волновая функция основного состояния пе имеег узлов, т. е. не обращается в нуль внут.ри рассматриваемой области, а может обращаться в нуль лишь на границах. Из (26.7) видно, что минимальная энергия с уменьшением линейных размеров ямы увеличивается, Физическая причина э~ого заключается в том, что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшаемся длина волны де Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де Бройля означает увеличение энергии частицы.
Таким образом, уточнение локализации частиц неизбежно сопровождается увеличением энергии частицы. Это одно из проявлений принципа неопределенности. Поскольку спектр дискретен, условие нормировки ) Ч'*Чгдх = Аг ) ипг (нх) г!х = Ага!2 = 1 для нормировочного множителя дает значение А = ~2!а Поэтому система собственных функций имеет вид 766 6. Простейшие случаи движения микрочастиц а 56 Потенциальная яма конечной глубины Ч'„(х) = Г2/а яп (ялх/а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
