А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть потенциальная энергия есть четная функция Е„(х) = Е„( — «). Заменяя в уравнении Шредингера х на — х, получаем дттр ( — х)/дхт + (2а/Ьт) х х (Š— Е„(х)) Ч'( — х) = О, т.е. функции Ч'(х) и Ч'( — х) удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и принадлежат одному и тому же уровню энергии. Если уровень энергии невырожден,то функции Ч'(х) и Ч'( — х) могут отличаться лишь постоянным множителем А: тР(х) = = АЧ'( — х). Заменяя в последнем выражении х на — х, имеем Ч'( — х) = = АЧ' (х) или Ч'(х) = А'Ч'(х).
Отсюда следуе~, что Аа = 1, А = +1. Итак, если потенциал есть чет.ная функция координаты, то все собственные функции либо четные, либо нечетные. При наличии вырождения собственные функции уравнения Шредингера не обязательно обладаю~ определенной четностью. Однако всегда можно найти такие линейные комбинации собственных функций, которые будут обладать определенной четностью. У гармонического осциллятора волновые функции Ч'„(х) (27.16) являются четными при четном п и нечетными при нечетном л.
Теория излучения. В ~ 11 излучение черного тела было рассмотрено полу- классическим способом. При этом оказалось невозможным в рамках квантового расчета определить коэффициенты Эйнштейна для вероятностей квантовых переходов. Лишь воспользовавшись принципом соответствия, т.е, путем замены классических величин квантово-механическими, удалось найти коэффициенты Эйнштейна.
В классической теории энергия излучения, отнесенная к единице времени, задается формулой дЕ„/д! = Щ(бява сз)Д (г)т (27 18) где г — ускорение излучающего заряда. В квантовой теории средняя энергия излучения может быть представлена в виде дЕм, д! = /У„„, А„„л та, где множитель Х„ж учитывает статистические свойства электронов, а А„„, †отнесенн к единице времени вероятность квантового перехода из состояния п в состояние и', при котором излучаешься квант с энергией Ь от.
Необходимо пояснить смысл множителя Х„„,. Очень важную роль в анализе явлений микромира имеет принцип Паули (см. ~ 54). В применении к электронам он гласит, что в 1 27. Линейный гармонический осциллятор 171 одном и том же кван~оном состоянии не может находи~ься более одного электрона. Иначе говоря, не может быть двух электронов, имеющих одинаковые наборы квантовых чисел.
Излучение, описываемое формулой (27.19), происходит в результате перехода из квантового состояния л в квантовое состояние и'. Если в состоянии и' уже имеется электрон, то такой переход невозможен и множи~ель Х„„, равен нулю. Этот множитель равен также нулю и в том случае, когда состояние л свободно, т.е. отсутствует электрон, который мог бы совершить переход Если же состояние л занято, а состояние л' свободно, то множитель Х„„, равен единице. рассмотрим переходы между двумя стационарными состояниями Ч'„и Ч'„, с энергиями Е, и Е„,.
Волновая функция системы является суперпозицией этих состояний: Ч' = С„е' "'" Ч' + С, е' "ыч' Ч'„.. и Чтобы воспользоваться принципом соответствия, необходимо в формуле (27.18) произвести усреднение как по координатам, так и по времени и полученный результат приравнять выражению (27.19). Производя усреднение радиуса-вектора г по координа- аа Минимальная енергия линейного осциллятора нв равна нулю, что накодится в согласии с требованиями соотношения неопределенности. В области волыним квантовых чисел движение квантоао-меманичвской системы с хорошей точностью может описываться фоРмулами классической меканики.
Вероятности пвреходое квантовой системы, в рееультатв которым происходит получение, характвриауются матричными елвментамн радиуса-ввктора. Определите понятие четкости собственных функций. Запишите правила отбора дпя осцилпятора. там, получаем (г) = )г Чти гч'д хдуд 2 = ! С'„!'+ ! Сы !2 + + Сь Си гиы сии + Сы С'„ги„е "", (2720) где г„ы = ) Ч'„ь г Ч'„. г(хапуг( 2, ш = (ń— Еы),%.
Из (27.20) следует, что Г)2 г'Г)Д)22 Стт(СЧ С Г Еич + + СЧ С„е ' ' г„.„), (27.21) гак как первые два члена не зависят от времени и при дифференцировании исчезают. Возведем (27.2!) в квадрат и полученное равенство усредним по времени, в результате чего члены, содержагцие экспоненциальные временные множители, обратятся в нуль и получится равенство (!ит(г)(т(22!2) 2шч1С !2 1С !2 !г (27.22) (угловые скобки (), обозначают усреднение по времени). Подставим (27.22) в (27.18).
Полученный результат на основании принципа соответствия следует приравнять выражению (27.19): Х А Ь ш = ~дт шч((3пао с')1 ! С„!2 х х ! С !2 !г !2 (27.23) В случае стационарных состояний величина !С„!2 есть вероятность нахождения электрона на уровне и. При излучении же происходит скачкообразный переход электрона из состояния и в состояние и', благодаря чему коэффициенты С„и С„, изменяются скачком. Вычислйть, чему при этом равно произведение ! С„!2 ! Сы )2, обычная квантовая механика не позволяет.
Чтобы получить формулу, согласующуюся с экспериментом, необходимо положить Хм, = )С !2 !С,!2 172 6 Простейшие случаи деиктеиия кзикрочастиц Следует еще раз отметить, что обосновать справедливость этого равенства квантовая механика не в состоянии.
Для коэффициента Аис получаешься выражение Аки = гч' вз/(3 я со с' й)) )т„„.!'. (27.24) Отсюда по формулам (11.31) и (11,35) имеем — л — яз сз,! /(и вз) — (яз чз/ (3 я ао и )! ! тки ! ' (27.25) Таким образом. вероятности пере- ходов квантовой системы, в резуль- тате которых происходит излучение, характеризуются матричными эле- ментами радиуса-вектора. Если матричный элемен~ радиу- са-вектора равен нулю, то данный переход запрещен. Переходы, при которых матричный элемент радиу- са-вектора отличен от нуля, называ- ются разрешенными. Правила, указы- вающие разрешенные и запрещенные переходы, называются правилами от- бора.
Правила отбора для осниллятора, Для нахождения правил отбора для осциллятора необходимо вычислить матричные элементы: х . = ! 'Р„*(х) х 'Ри(х) з(х, где функции Ч'„(х) задаются форму- лой (27.16). Подставляя в (27,26) Ч'е и Ч'„, и переходя к переменной инте- грирования с (см. (27.3)), получаем хки = (й/(а в)) х х С„С'„, ) е ' "с,Н„Ний "с,.
Принимая во внимание рекуррентное соотношение с Н„(9)=пН„, +",,Н„„, находим х„и = (Б/(а вН С„Си Гп !т е з Н„, х 0 хНидР,+(1/2) ) е з Н„тз Низ!Ц= = Я/(ав)З С„С„' х х (п2" '(п — 1)! ~'яб„з „, + + 2" (и + В! я Б„з з „.). Учитывая (27.! 7), имеем х„и = (й/(а в)З [ ~п/2 Б„з „, + +, (п+ !)/2 8„+з „,). (27.27) Из этого выражения следует, что матричный элемент отличен от нуля лишь для переходов, при которых квантовое число и изменяется на единицу. Это означает, что правило отбора для осциллятора имеет вид ззп= +!.
(27.28) Интенсивность излучения. Вероятность перехода характеризуется коэффициентом Эйнштейна: Аик = (чз в'/(Зясо с' й)! !х„„,)з. (2729) Поэтому интенсивность спектральной линии, излучаемой при рассматриваемом переходе, /„„, = йвА„„ ~,зва/(Зявосе)~) „!, (2730) Воспользовавшись выражением для матричного элемента х„ „ , (см. (27.27)З, формулу (27.30) йредставнм в виде У з/(6 з)зт к в п Выразив квантовое число и через энергию по формуле (27.!2), окончательно получим /„„, = ~дз вз/(6 к в и сз)1 (ń— Н ). (27.31) По классической теории, интенсив- 1 28 Движение в поле центральной силы.
Ротатор 173 ность излучения осцнллятора !„„= гт/~/(6 я во с )) ((Х) ) = где А — амплитуда колебаний осциллятора, которая связана с энергией Е осциллятора соотношением Е = г/ тлвугйг Следовательно, 1ьа = (д~ щ~/(бибо щ с )) Е (27 32) Сравнение (27.32) с (27.31) показывает, что в области больших квантовых чисел, когда нулевой энергией Ео можно пренебречь по сравнению с энергией Е„, квантовая формула (27.31) излучения осциллятора совпадает с классической формулой (27.32). Следует отметить, что это утверждение имеет общий характер: в области больших квантовых чисел движение квантово-механической системы с хорошей точностью может описываться формулами классической механики.
Пример 27.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле напряженности Е. К энергии осциллятора в отсутствие электрического поля добавляется потенциальная энергия-ь/Е х заряда в однородном электрическом поле. В результате оператор Гамильтона имеет вид Й =/тг/(2щ) + щ вуг хг/2 — дух, В уравнении Шредингера ь(' Ч' 2щ — + — ~-(Š— ща х'/2 + д8х) Ч' = О т(хг Ь перейдем к новой переменной = х — т/Е/(щ оу ) и получим — г+ — у(е+ т/ иг /(2щсо )— дгЧ' 2щ г т(т1 Л вЂ” щ то' т(г/21 Ч' = О Это уравнение совпадает с уравнением для осциллятора в отсутствие электрического поля, но с измененным на ь/г Ег/(2 щ озг) выражением собственной энергии.
Следовательно, собственные значения энергии равны е щ(л+ 1/2) йг па/(2щ щг) (л = О, 1, 2,...) и волновые функции имеют такой же вид, как и для линейного осциллятора в отсутствие электрического поля. Однако при графическом изображении они сдвигаются вдоль оси Х на т/ д'/(щ от~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
