А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 47
Текст из файла (страница 47)
28. Двпжепве в поле центральной силы. Ротвтор Обсуждаются оператор момента импульса, его собстаенные значения и принадлежащие им собственные фуняпии. Собственные значения и собствециые функции. Стационарные состояния частицы, движущейся в центрально- симметричном поле, описываются уравнением Шредингера, записанным в виде Чг Чь + (2щ/яг) (Е Е (т)) Чь О (28 1) Потенциальная энергия Еп(т) в этом случае есть функция расстояния частицы до центра сил.
Если от декартовых координат перейти к сферическим, то уравнение (28.1) разделяе~ся. Как известно, оператор Лапласа 1/г в сферических координатах имеет вид (28.2) 174 6 Простейшие случаи движения микрочвстиц где 1 д с' д'с 1 д' Рв, = —, — ~в!пв — /+ —, —,. (28.3) в(пе де х деl в(п'0 дср' Подставляя (28.2) в уравнение Шре- дингера и полагая ч (; е, р) = В(.) у(в, р), (28.4) получаем ! с1 с' с)Я'с 2 — — ')г — ) + — г~ 1 Š— Е, (г)] = Вд,(с д«) д' г ~(си у у Так как левая и правая части этого равенства зависят от различных независимых переменных, то эти части по отдельности должны быть равными одной и той же постоянной, которую мы обозначим ).. Таким образом, для радикальной функции )с и сферической функции У(0, ср) получаем уравнения — — — + — сŠ— Е„(~))— (28.5) 1 д сг дУ'с ! дгУ вЂ” ~в)п Š— ~ + —,— —, + ).
у = О. вспе де( де) яп'0 дср' (28.6) В уравнение (28.5) входит потенциальная энергия Ел(г), Поэтому вид радикальных функций и собственные значения энергии определяются конкретным видом поля, в котором движе~ся частица. Уравнение (28.6) для всех сферически-симметричных полей одинаково и допускает дальнейшее разделение переменных. Полагая у(е, р) = Р(в,) Ф( р) (28.7) и обозначая постоянную разделения )с~, для функций Р и Ф находим следующие уравнения: с(т Ф(с( срт + !сг Ф = 0 (28.8) — в(п 0 — + ). — —,— Р = О.
(28.9) Общее решение уравнения (28.8) имеет вид Ф(ср) = А е'""+ Ве '"". Из требования однозначности решения вытекает, что )с должно быть любым положительным или отрицательным целым числом. Поэтому все собственные функции уравнения (28.8) могут быть представлены формулой Ф (ср) =(2я) ит е' '(сп =О, +1, +2,...). (28.10) Перейдя в уравнении (28.9) к независимой переменной д = соя О, можно это уравнение записать в виде ~2) + ) Р 0 (28.11) Функция Р(соя О) должна бы гь непрерывной и конечной при всех углах О.
Чтобы удовлетворить этому условию, параметр )с должен быть равен ). = (((+ 1), где 1-неотрицательное целое число. Решение уравнения (28.11) при этом может быть представлено как 1 Ри (! чти) д (Ячт Вс (28 !2) где Рс — присоединенные функции Леэссандра. Отметим, что при заданном! число пс может принимать лишь 21+ 1 различных значений: пс = — 1, — ! + 1,., ч ! — 1, !. (28.13) Условие нормировки для функции Ч' 1 Чс Чс с)хс(ус(в = 1 4 28 Движение в поле центральной силы Ротатор 178 сводится к двум уравнениям: ) Аяяггс)г=1, е гя ООО) У" Удр=! (28 15) е о Запишем собственные функции уравнения (28 6) следующим образом У'," (О, р) = Ст с'"' Р('(с О) Воспользовавшись интегралами 2я ) еои '" с) ср = 2 сс 5 о 2 (!+ сл) с Р'," (х) Р'," (х) д х = 8„, 2!+ ! (! — лс)с находим 2 ! + ! (! — лс) с ссг 4к (7+ сл)с Итак, Г 2 ! + ! (! — лс) с1 с сг 4 к (l + лс) с~ н Р7 ( О) (28!6) Момент импульса.
Выражение для оператора момента импульса частицы задается формулами (18 12) Найдем правила коммутации для проекций этого опера~ора Вычислим ком- мутатор т. с / ('ля~с ~ д дг д2 =~) ~ -'" — -" дх д дх дгг дг дг 2 — г — — + гх — — гу — — + дудх дуда дхдг дг ' д +г г + ху — — х —— дхд) дгг ду хг = — у — х (23 13) Таким образом, любая из проекций импульса и квадрат момента импульса могут иметь одновременно определенное значение В сферической системе координат 8сс с7 д с Х., = — — ~есл ср —, + сс3 О сое ср — ), с ОО д, Бс' д д с 1.,=-~ .
р — -сс3О р — ), дО д срс) Е„= — —, Б д с дср' тс е,я (28 19) где оператор т ег и определяется равенством (28 3) На основании уравнения (28 6) с ). =!((+ 1) и (28 10) следует, что (28 17а) Циклической перестановкой индексов х, у, г легко найти остальные два коммутационных соотношения Е„Х., — Х,я Хт = с л Х.„, (28 17б) /-, г.„— Х,„Т„= с Б г . (28 !7в) Из некоммутативности между собой операторов проекций импульса следует, что различные проекции импульса не могут одновременно иметь определенные значения Легко показать, что операторы Г,„, Е,, Е, коммутируют с оператором квадрата момента импульса В = = гт,г + сег + стг, т е ܄Р— Е~ 7.„= О, ܄Š— Е Й,.=О, Х.,Ес — П Х.,=О 176 6.
Простейшие случаи деижения чикрочастии собственныс значения операторов ь' и Е, равны соответственно Еа И(1+ 1) (1 О, 1, 2,...), (28.20а) Ь,=дв (в=О, +1, +2,..., к/). (28.206) Последние формулы дают квантовые значения модуля момента импульса и проекции момента импульса частицы на ось У. Напомним, что, коль скоро проекция Е, имеет определенное значение, две другие проекции Ь„и / определенных значений иметь не могут.
В качестве направления оси Л может быть выбрано любое направление. Следует отметить, что все выводы о моменте импульса движения и его проекциях имеют соверщенно общий характер и не зависят от того, в каком конкретном поле движутся част ицы. Эти выводы выражают квантово-механические свойства момента как физической величины.
Закон сохранения. Оператор кинетической энергии Е = р~/(2в) = — [дг/2в)) Чт = 2в га дг~, дг) 2в га с учетом (28.20) может быть записан в виде Е = Е + Е'/(2вг'), й' 1 д/', д'( где Е„, = — — —, — ~г' — оператор 2 " д Л ~.) кинетической энергии радиального движения. Таким образом, гамильтониан при движении частицы в центрально-симметричном поле Е„(г) может быть представлен следующим образом: )о Е + ге/(2вгт) 1 Е (г) Принимая во внимание, что опеРатоРы Е„, Х, Еи ~а зависЯт только от угловых переменных и, следовательно, коммутируют с функциями и операторами, зависящими только от г, а также учитывая, что (.„, Е,, Ь, коммутируют с Еа, видим, что все операторы Е„, Х„, Й„Р коммутнруют с гамильтонйаном.
Это означает, что все эти операторы являются интегралами движения в центрально-симметричном поле. Аналогичное положение наблюдается и в классической механике. Принимая во внимание правила коммутации между различными проекциями момента, заключаем, что при движении в центрально-симметричном поле одновременно имеют определенные значения энергия, квадрат полного момента импульса и проекция момента импульса на какое-либо направление. Четность. Рассуждения, проведенные в 8 2б о четности функции в одном измерении, могут быть непосредственно обобщены на случай трех измерений. Если произвести отражение координат относительно начала, т.е. заменить х на — х, у на — у, г на — г, то гамильтониан не изменится (Ч~ при таком преобразовании, очевидно, не изменяется). Следовательно, собственные функции, принадлежащие невырожденным собственным значениям, должны обладать определенной четностью, а из собственных функций, принадлежащих вырожденным собственным значениям, всегда можно составить ~акис комбинации, которые обладают определенной четностью.
Напомним еще раз, что выражение «волновая функция обладает определенной четностью» означает, что если в волновой функции координаты х, у, г одновременно заменить на — х, -у, — г, то арифметическое значение функции не изменится, а ее знак либо не изменится, либо изменится на обратный. В первом случае 1 28. движение в поле центральной силы. Ротатор функция четная, во втором — нечетная. Для нахождения четности волновых функций, описывающих движение в центрально-симметричном поле, заметим, что отражение координат относительно начала, т.е. замена х-+ — х, у- — у, ."-+ — г, в сферической системе координат сводится к замене 0 на и — 0 и чг на гр + я при неизменном г.
Следовательно, четность в (28.4) совпадае~ с четностью У(0, р). Множитель е' " имеет четность т, так как е1 '"" "' = ( — 1)'"е' ", а четность функции РГ, согласно (28.12), совпадает с четностью числа ! — т. Это очевидно, если учесть, что множитель (1 — г,~) " является четной функцией относительно изменения знака у ~ = соз0, а четность производной определяется числом 2! — (! + т) = = ! — т. Четность произведения двух функций зависит от четности сомножителей. Поскольку четносгь одного из сомножителей совпадает с четностью числа т, а четность другого сомножителя совпадае~ с четностью числа ! — т, четность их произведения совпадает с четностью числа гн+ (! — т) = !. Это означает, что четность сферической функции у)" зависит только от четности квантового числа !. Следовательно, и четность полной волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, совпадает с четностью квантового числа ! Число ! определяет модуль момента импульса: Ц1 = 81 ГД(/ + !) Однако для удобства говорят, что момент импульса равен ! = О, 1, 2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
