А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найдем связь между постоянной распада ). и коэффициентом прохождения Р. Двигаясь в ядре, а-частица сталкивается со стенками потенциального барьера. Вероятность проникнуть через потенциальный барьер при одном столкновении равна Р. В еди- ницу времени, очевидно, число столкновений равно и = о/(2г), где о — скорость а-частиц в ядре, г — радиус ядра. Если общее число атомов есть М, то число атомов с)Х, испытавших а-распад в результате проникновений а-частиц через потенциальные барьеры в течение времени с)П равно дХ = — ЖлР Ж. Тогда ) = с0/(2г) = [с0 Г(2гЯехр( — Г), (29.)3) где 2 Г ! = — ~ от [Е„(г) — Е) т)г. л "о Величина г, находится из условия Е„(г,) = 2йе /г, = Е, т, е.
г, = 2Хе'уЕ. Учитывая, что г «го при вычислении интеграла величину г можно заменить нулем, тогда ткет~в (=Бг тл'~а1 ~,гт"Ктл — н е Полагая (27ст,'Е) з1п~ х = г, находим д 1 = [(8тЕ)иУл")(47е'(Е) ) сое~хдт = о = [л(8т)и~)6)?е ) уЕ (29.!4) В резуль~ате вылета из ядра а-частицы заряд в ядре уменьшается на два элементарных заряда, а число частиц в ядре уменьшается на два протона и два нейтрона, которые входят в сос~ав а-частицы и улетают вместе с ней. В результате а-распада образуется новое ядро, которое, в свою очередь, может быть радиоактивным. Совокупность ядер, обра- 6 29. Прохождение микрпчастиц через потенциальный барьер 196 т, е. (29.15) 1п ).
= и 4 ЬЛЕ, Задачи Потенциальная энергия Е, частиды равна 0 при х<0 и Е„при х>0. Частица движется слева направо с полной энергией Е > Ек м Найти коэффициент отражения и коэффициент прохождения через потенциальный порог. Для электрона в одномерной потенциальной яме шириной 0,2 нм найти минимальную энергию Е, (на первом энергетическом уровне), разность энергий Е, — Е,, а также длину волны фотона с энергией Е, — Е,. В первом приближении маятник можно рассматривать как осциллятор. Определить энергию нулевых колебаний маятника длиной ! м, находяшегося в гравитационном поле Земли. Какая доля электронов с энергией ! эВ пройдет через потенциальный барьер высотой 8 эВ и толшиной 0,5 и 0,3 нм? Можно считать, что захваченная ядром и-частица находится в потенциальной яме.
Считая, что радиус ядра ранен 1,4 1О " м, а высота потенциального барьера на поверхности ядра составляет 4 МэВ, определить отнесенную к ! с вероятность выхода и-частицы из ядра при ее энергии ! и 2 МэВ. Найти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которого 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. йг~ гг г ~ Р и = --- —, 1- - —, + — (х' -1- у') 2м йтг йг' 2 Поток электронов с энергией ! эВ движется к потенциальному прямоугольному барьеру высотой 1О эВ и бесконечной ширины. На каком расстоянии от поверхности потенциального барьера плотносзь потока пыла электронов уменьшится в е раз по сравнению с плотностью потока на поверхности! зующихся друг из друга в результате а-распада, образует семейство ядер. Пусть Ео †энерг вылета а-час- тицы из ядра, являющегося родона- чальником семейства, и Е = Е, + + ЛŠ— энергия вылета а-частицы из какого-либо ядра семейства, Как по- казывает эксперимент, энергия а-час- тиц у различных ядер семейства из- меняется мало по сравнению с энер- гией а-частиц.
Это означает, что ЛЕ «Ео и, следовательно, Е " =(Ео+ ЛЕ) Еао (1 ЛЕ/(2Ео)) . Из (29.13) с учетом (29.14) следует, что 1п ). = 1п 'гсР/(2г)) — 2и,,г/2т Хег/(й х/Ес ) + + иь/2глУегЛЕ/(Е Езд) где а = (п гсР/(2гЦ— — 2ич 2глУег/(Е Е,) еа сопя!, Ь = и /2глХег/(БЕоз'г) сопки Формула (29.15) выражает установленный экспериментально закон Гейгера — Нэттоли о линейной зависимости логарифма постоянной распада от разницы в энергиях вылета а-частиц.
Эта формула хорошо объясняет сильное различие постоянных распада у различных радиоактивных ядер семейства: хотя величины и, Ь, ЛЕ от ядра к ядру изменяются не очень сильно, величина ),, стоящая под знаком логарифма, изменяется значительно. Количественные измерения показывают, что объяснение а-распада с помощью туннельного эффекта хорошо согласуется с экспериментом. 188 б.
Простейшие случаи движения микрочастиц 6.8. Найти вероятность того, что электрон в основном состоянии линейного осциллятора находится в прслелах области его движения по классической теории. 6.9. Чему равна вероятность нахождения электрона вне классических границ его движения для линейного осциллятора в нервом возбужденном состоянии? 6ЛО.
Волновая функция, описывающая состояние движения частицы в потенциальной яме (см. рис. 55), имеет вид Ч' = Ах(а — х). Найти разложение Ф по собственным функциям частицы в потенциальной яме. 6Л1. Чему равна средняя энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функцией Ч' в задаче б.!О? 6.12. Считая) что положительный заряд хе распределен равномерно в объеме ядра радиуса 5.
1О ' и, найти энергию связи отрипательного точечного заряда 9 = — е, помещенного в центр ялра. Вычислить по соотношению неопределенностей импульс и энергию электрона, заключенного в объеме ядра. Может ли электрон находиться в ядре? Ответы 6.1. ((! ч'1 — Е о?Е)У(1 ! ъ'1 Е о/Е)' э' (4чУ! Е о/Е)/(! '~,~ ! Е о)Е) . 6.2. 0,939 МэВ: 2,82 МэВ; 0,44 !О ' нм. 6.3. !О 'о Дж. 6.4. 2,2 10" о; 4,3.10 ". бий 0,0423; О,!24. 6.6. йы(п и- пт Ч- 1); п, = О, 1,2, ..; п = 0,1,2,...; <о = (Рупб'". 6.7.
0,325 нм. 6.8. 08427. 69. 0,11!6. 6!О. (8Аа /лз)(о!п(ях/а) 4(!727)а(п(Зях/а~+ (1/125) х х а!п(5ях/а) 4 ...). 6.11. 1,0!ЗЕ,. 6.12.-4 Мэй; 4 1О о кг м/с; 80 МэВ; нет. зо з1 32 33 Стационарные состояния атома водорода и спектр излучения Учет конечности массы ядра Водородоподобные атомы и системы Атомы щелочных металлов Дублетная структура спектров щелочных металлов и спин электрона АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ Атом водорода- простейшая реальная атомная система, для которой были получены точные решения уравнений квантовой механики. Блестящее совпадение теории с результатами экспериментов стало первым решающим подтверждением справедливости квантово-механического подхода к изучению явлений микромира. а88 7.
Атом водорода и водородоподобиыв атомы 30. Станионариыс состояния атома водорода и свсктр излучения рвссматриваюыя свайства собственных функний, энертезический спектр атома вплпрппа и распрелеление электрпннпй плптнссзи в различных састпяниях, а также спектр излучения. Собственные значения и собственные функции. Атом водорода является простейшим атомом. Он состоит из протона и электрона, между которыми действует сила электрического притяжения ГЕ„(г) = — е Я4ла г)).
Масса протона во много раз больше массы электрона, поэтому приближенно протон можно считать покояуцимся. Энергия такой системы нз двух частиц определяется посредством решения уравнения для радиальной части волновой функции (см. 4 28): + —, Е+ — — — А = О. (30.!) Для общности в последнем уравнении заряд ядра примем равным Ле. Решая (30.1) прн Х > 1, найдем энергетические уровни положительного иона, у которого сохранился лишь один электрон.
Для краткости положим А = — 2пзЕ(й г, 2В = 2тнХс г/(4лапйг) (30.2) и введем новую независимую переменную р = 2,,~Ау. (30.3) Уравнение (30.1) примет при этом вид 2 В" + -В'+ (((+ !)1 + — -+ — — — —, ~ В = 0 (30.4) 4 ~АР р' и учитывая, что тс тр тс 7(7 !)рт (30.9) получаем из (30.8) для определения 7 уравнение 7(7 — !) + 27 — ((!+ !) = О. (30.!О) Переписав уравнение (30.10) в виде 7'+7 — (((+ П =О, (30.! !) находим его решения: !г — Ху '4т! +! 0 !г з- (! + тг) = ) (30.12) Решение (30.12) с 7 = — 1 — 1 необходимо отбросить, потому что оно не является конечным в начале координат, как это видно из (30.8). Таким образом, при р — 0 Я- р'.
(30.13) (штрнхами обозначены производные по р). Найлем асимптотическое поведение Я при р- со. В этом случае членами, пропорциональными 1г'р н 1!рг в уравнении (30.4), можно пренебречь, в результате чего уравнение принимает вид Я" — Ят'4 як О. (30.5) Слеловательно, при р — со В-е ". (30.6) Решение с положительной экспоненгой отбрасывается из-за требования конечности волновой функции. При р 4 0 главными членами уравнения являются члены с максимальной степенью р в знаменателе. Поэтому при р — 0 В" + 2Яур — !((+ !)К(рг = 0 (307) Считая, что при р — 0 решение Я ведет себя как Я р', (30.8) 1 30. стационарные состояния атома водорода н спектр излучения Полагая В = е ""р'а, (30.14) получаем вместо (30.5) для функции р уравнение рс» + [2(Е+ 1) — р|с' + е (В! ?гА — ! — 1)р = О. (30.15) Исследование асимптотического поведения Я при р -+ оэ и р - 0 показывает, что функция и на бесконечности должна расти медленнее, чем ехр(р?с2), а в нуле должна быть постоянной или равной нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
