А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(26.9) Одномерная яма конечной глубины. Предполагается (рис. 56), что при х < 0 потенциальная энергия обращается в бесконечность. Значит, частица не може~ проникнуть в область х < 0 и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. Поэтому достаточно пай~и волновую функцию в областях 1 и П при х > О, заметив, что в точке х = 0 из-за непрерывности волновая функция обращается в нуль.
Уравнение Шредингера в областях 1 (0<х<а) и П (а<х<со) имеет вид (!) Ч",' + иг Ч' = О, иг = 2тЕ~Ег (П) Чг + (2'"16 )(Е Еяо)Чг = О (26!0) Случай Е> Е, . Уравнение Шредингера в области П (П)Ч 7+гтгЧ г = О, ~т — -(2ж% )(Š— Е„о) О, (26.! 1) Если по закону сакранвния энергии частица может двигатьая литць а ограниченной области пространства, то спектр ев энергии дискратен, при неограниченной области движения непрерывен.
В потенциальной ямв конечной глубины имветая лицгь конечное число собстваннык значений энергии. Если глубина ямы алишком мала. то может случиться, что ни одного собственного значения энергии нв существует. Сформулируйте условия иа границах бесконечно глубокой ямы и ямы конечной глубины. Чем обуславливается различие между кими? Может ли частица проникнуть е некоторую область пространства с нарушением закона сохранения энергии? а в области 1 оно имеет вид (26.10; 1), Решения для различных областей можно записать следующим образом: (1)Ч', = А, яп(и,х) + В, соз(и,х), (26. 12) (П)Ч', = Агяпсиг(х — аЦ+ + Вг СОВ ьиг (х а)г Из условия Ч',(0) = 0 следует, что В, = О, а условия непрерывности функ- ции и ее производной Ч', (а) = Ч'7(а), Ч', (а) = Ч'г(а) (26.13) дают для коэффициентов Аг и Вг следующие выражения; А, =(и, А,)иг)сов(ига), В, = А, яп(и,а).
(26. 14) Эти условия могут быть всегда удовлетворены. Поэтому в случае Е > Е„ спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не лока- лизована в конечной области прост.- ранства, ее движение инфинитно. Случай Е < Е„. Уравнение Шре- дингера в области П имеет вид (П) Чпг )г Ч7= 0 )гг = (2т/йг)(Е о Е) > О. (26.15) В области 1 уравнение остается без изменения. Решения для областей 1 и П представляются функциями (1) Ч', = А, яп(л,х), (26.16) (П) Ч', = С,е ""+ (?ге'*. Так как волновая функция везде должна быть конечной, а еек при х- со неограниченно возрастает, то 1)г в формуле (26.16; П) необходимо принять равным нулю.
Условия сшивания (26.13) в рассматриваемом случае: А, з(п(ига) = С ехр( — )га), (26. 17) А,и, соз(л а) = — )гС ехр( — )га). Разделив почленно второе уравнение 27. Линейный гармонический оециллятор ЗВ7 на первое, получим условие квантования энергии: и, скн(х,а) = — Й. (26.18) Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования: а(л(х,а) = [1 + суна х а)! = ~1 + ()с/хз)~~ =(1 + (Ео — Е)/Е1 'з = (Е~Е )'з. Но Е = йх,),,У2т и, следовательно, уравнение (26.18) принимает вид ыпу = (д(мУ2нктзЕ„о)у (у = х,а).
(26.19) Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 57. В качестве решений берутся не все пересечения прямой = = (Еу(,~2глозЕ„о) с синусоидой ." = ыпу, а лишь те, которые согласуются со знаком в уравнении (26.18), т. е. точки пересечения в честных че~вертях. Этим значениям у„, которых имеется конечное число, соответствуют энергии Е = лзрз)(2лтаз), (26.20) Таким образом, в потенциальной яме с конечной глубиной имеется конечное число собст.- венных значений энергии. Если глубина Е„ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует, т.
е. стационарного движения частицы в конечной области нет. В классической механике при Е < Е„„частица не может проникнуть в область х > а. В квантовой же механике все иначе. Волновая функция при х > а, согласно (26.16; И), имее.г вид Ч',(.т) = Сзе "". (26.21) г уруг(а'т2тЕмт! х -уфаитеко) К вычислению корней уравнения (26.!9) Эта функция быстро убывает при удалении от ~очки х = а в сторону возрастающих значений х, но не равна пулю при х =- а. Это означает, что имеется некоторая вероятность того, что частица с энергией Е с Е, все же проникнет в область х > и. Этот эффек~ обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер. 27.
Линеяный гармоянчеекий осииллнтор Рассматривается кваатовая теория движения линейного гармонического осдиалятора и с оомошью оринципа соответствия выводится формула изчучегыя Линейный осциллятор. Потенциальная энергия многих физических систем имеет в некоторых точках пространства минимум. Разлагая в окрестности минимума потенциальную энергию в ряд, имеем Е,(т) = ('(з))(дзЕ„Удхз)о ха ! + (з!з()(дзЕ )дхз)охз + где х — отклонение от положения равновесия, и принимаем без ограничения общности, что Еи(0) = О. Если частица совершает малые колебания около положения равновесия, то в ряде можно ограничиться только первым членом. Частицу, совершающую гармонические колебания, будем называть гармоническим осу)илллтором.
168 б. Простейшие случаи движения микрочвстиц Гармонические осцилляторы играют большую роль при исследовании малых колебаний сне~ем около положения равновесия, в частности колебаний атомов в кристаллах, молекулах и т.д. Оператор Гамильтона для осциллятора в квантовой теории имеет вид )7 дг/(2и2) + лиег ег/2 (27.1) где (д'Е„/дх'), = и2ег', а уравнение Шредингера записывается следующим образом: с)гч» '»(хг ч (2лт/Яг) (Š— ииегкг/2)»У = 0 (27.2) Для дальнейших вычислений удобно перейти к безразмерной переменной ' ишг/!пт.
(27.3) Обозначая прон шолпыс по - штрихами, имеем Чм + (Л вЂ” Р,') Ч' = О, (27.4) где Л = 2Е/(Бш). (27.5) Для определения асимптотического поведения Ч' на бесконечности заметим, что при сг » Л в уравнении (27.4) можно пренебречь Х по сравнению с сг и записать его в виде Отсюда следует, что я ьвг вг Решение со знаком плюс в экспоненте надо отбросить, поскольку оно не удовлетворяет требованию конечности.
Волновую функцию Ч' будем искать в виде Ч» = вЧ'„ = ге »'/2. (27.6) Чтобы функция Ч' оставалась конеч- ной, с не должно расти на бесконечности быстрее, чем ехр (д 2/2). Для функции р получаем следующее уравнение: с" — 2Цв' + (Л вЂ” 1) и = О. (27. 7) Представим функцию р в виде ряда с(х) = ае+ а,ь+ ать + ... +а»ь'+ .... (27.8) Подставляя (27.8) в (27.7), имеем ~ /с( — 2)ад» ' — 2! 2 !»а,!» ' + »=г »= » + (Л вЂ” 1) 2 а ч» = О. »=с Сумма бесконечного степенного ряда тождественно равна нулю только в том случае, когда коэффициенты при всех степенях независимой переменной равны нулю. Приравнивая нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях, получаем следующие рекуррентные соотношения для определения коэффициентов а„: а» 2(/» + 2)(!» + 1) — 2!»а» + (Л вЂ” 1) а» = О.
(27.9) Отсюда а = а (2/с — Л + 1)/г(/с + 2)(!с + 1Ц. (27.10) При )с- со получаем а„,!а, = 2/!. Это означает, что представляемая бесконечным рядом (27.8) функция растет как ехр(дг). Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разложение ехр(сг) в ряд: 22 1 + ~2 + к»/21 + кьб/З1 + + !»/(Л/2)1 + +гч»»г/(Л/2+1)1+ 1+~2+ +!) чк» „ + "»+гч +"" Мы имеем /2», 2//2» = ()с/2)!/()»/2 + 1)! = !с/2, й 27 Линейный гармонический осцилллтор 169 что и доказывает высказанное выше утверждение. Ряд (27.8) должен обрываться. Оборвем ряд на члене с номером и, т.е. будем счи~ать, что а„Ф О, а„= О.
Из (27.!0) находим )с = )г„= 2п + 1, (27.11) тогда энергия осциллятора Е„= Бе(л + 1/2) (л = О, 1, 2, ...). (27.12) Нулевая энергия. При п = 0 из формулы (27.12) получается, что минимальная энергия осциллятора равна Ео = /г ггге. То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, обусловлено специфическими квантовыми свойствами системы и связано с соотношением неопределенное~и. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы н ее импульс и координата имели бы одновременно определенные значения, что противоречит требованиям соотношения неопределенности.
То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, можно доказать экспериментально. Для этого надо исследовать изменение рассеяния света кристаллами при изменении температуры. Рассеяние света обусловливаешься колебаниями атомов. С уменьшением температуры амплитуда колебаний атомов уменьшается, стремясь, согласно классической механике, к нулю, в результате чего должно исчезнуть рассеяние света. В квантовой механике при понижении температуры средняя амплитуда колебаний должна стремиться не к нулю, а к некоторому пределу, обусловленному наличием нулевой энергии колебаний. Поэтому и рассеяние света при понижении температуры должно стремиться к некоторому пределу.
Именно та- кой ход интенсивное~и рассеяния на- блюдается в экспериментах. Волновые функции. Из рекуррент- ных соотношений (27.10) следует, что четность полинома (27.8) совпадает с четностью числа п, Поэтому полипом имеет вид е„(х) = о„'с," + о„гг,'" + ... + + ае (л четное), (27.! 3) агс (л нечетное).
Положим а„= 2" и определим осталь- ные коэффйциенты по рекуррентным формулам (27.10), в которых Х = 2п + 1. Для коэффициентов а„имеем ог/) — 1 — 2/г) = о„(2л — 2/с) = = — „г(й+ 2)(й+ !), или а„г = — акл(л — 1)/(2 2) = — 2"п(л — 1)/11', о„4 — — — а„г(п — 2) (л — 3)/(2.4) = = 2" ал(л — 1)(л — 2)(л — 3)/21 н т.л. Полипом (27.13), в котором а„= 2", а Х = 2п + 1, называется полипомом Эрмипга и обозначается Н„(г): Н„© = (2~)" — (2Р)" 'л(л — 1)/! ! + + (2~)" кл(л — 1)(л — 2)(л — 3)/2! — ....
(27.14) Легко убедиться непосредственным дифференцированием„что полипом Эрмита (27.14) можно представить в виде Н„К) = ( — 1)"ет'д"е т'/д»". (27.15) Таким образом, волновая функция Ч'„, принадлежащая собственному значению Е„(см. (27.12)], выражается формулой гг (х) = Се тгггН © Р, = х ~лгег/л. (27.16) Нормировочные коэффициенты С„ находятся из условия Чгг 1 Сг 'й/ / г -ггНг(ь) ~ь 170 6 Простейшие случаи движения микрочастиц Так как Н„(г) = ( — 1)"еа д"е а /дс", то интеграл в правой части выражения можно представить в более удобной форме: ) е ~ Н~(ч)дГ = = ( — 1)" ) Н„(с) д"е ~ /дР," дс, = = (вта/л )"'С„'.
Учитывая, что д"Н„/дс" = 2"и!, ) е ' дс = я, для нормировочного множителя получаем выражение С„= Овса/Б)пи(2"л! ~ 1т) пт, (27.17) Чет ность собственных функций, Уравнение Шредингера в одном измерении имеет вид д~Ч'(х)/дх' Ч (2тл/Ь~)(Š— Е„(«)) Ч'(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
