А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(22.26) В базисном представлении действие оператора сводится к преобразованию проекций вектора !Ч' ) в проекции вектора ~1р ), т.е. к преобразованию функции Ч'(х) в функцию 92 (х), Рассмотрим оператор О, действия которого в базисном представлении сводятся к преобразованию функции Ч' (х) в ее производную тр (.х) = тРР/т(х. Для соответствующих векторов равенство (22.26) принимает вид ~ т) Ч'/с(х ) = 0 ~ Ч' ) .
(22.27) Так же как и в случае конечного числа измерений, бесконечномерные операторы в базисном представлении описываются матричными элементами, образующими бесконечномерные матрицы. Умножая обе части уравнения (22.27) слева на <х(, получаем йч'!Дх = < Х101Ч' >, (22.28) где учтено соотношение (22.4). Принимая во внимание (22.7), перепишем (22.28) в виде тРР/т) х = ) ( х10 ) х' > ( л" ) тР > т) х' = = ) ( х10)х' > Ч'(х ) т1х'. (22.29) 10 219 Сравнивая (22.29) с (22.16), находим выражение для матричного элемента оператора 0 в ортонормированном базисе векторов ~ х ): <,~0У>=0„„,=6(х — )= д = 6(л — х') —, с(х' (22.30) д = — Ч'(х), т)х (22.32) можно показать, что действие оператора д в х-представлении сводится к взятию производной дЧ'/дх без всякого интегрирования по переменной х', т.е.
просто как оператор дифференцирования. Именно такая процедура обычно применяется ппи вычислении действия оператора О. Однако при этом необходимо помнить где использовано равенство (22.15). Заметим, что в 0„= 6'(х — х') предусмотрено интегрирование по второму индексу х', а действие оператора сводится к взятию производной по первому индексу х. Формула (22.29), представленная в виде 1РР/дх = 1р(х) = ) 0„„.1Р(х)т)х', (2231) аналогична (21.38) и отличается от нее только тем, что величины Й и т в (21.38) принимают дискретные значения, а величины х и х' в (22.31) непрерывны. Бесконечномерный оператор 0в ы является бесконечномерной матрицей, аналогичной матрице в равенстве (21.40), и его применение к вектору в базисном представлении сводится к интегрированию по второй переменной х'.
Однако записать 0„„, в виде матрицы затруднительно, а представить его действие в виде результата интегрирования слишком громоздко. Учитывая, что 6 6 ) 6(х — х) — Ч'(л') дх' = — Ч'(л')1 146 5. Основные понятия теории представлений условный характер такой процедуры, потому что в базисном представлении оператор сл, как и все другие линейные операторы, описывается магри цей. Оператор )) не является эрмитовым оператором, потому что )л»„, = Ь" (х — х') = 5'(х — х') = = — 6'(х' — х) = — ))„„, (22.33) в то время как для эрмитова оператора должно было бы выполняться равенство лс!„*„. = ))„,„. (22.34) Чтобы сделать оператор д эрмитовым, необходимо умножить его на чисто мнимое число, которое принято выбирать в виде — с = — / — 1. Получающийся в результате этого оператор К= — Ю (22.35) удовлетворяет условию эрмитовости (2! .25): К»„, = ( — 1сз„и)» = Ю»х = — 1)Зх = К„,„.
* (22.36) Однако для бесконечномерных операторов выполнение равенства (22.3б) является лишь необходимым условием эрмитовости, но не достаточным. Чтобы в этом убедиться, возьмем два вектора !ср) и )сР), представления которых в базисе векторов 1х) даются функциями ср(х) и Ч'(х) на интервале (а, Ь). Эрмитов оператор К должен удовлетворять соотношению (ср1К1Ч') = (ср()ссР) = (КсР1ср)» = = (Ч'1)л+)ср)' = (Ч'1К1ср)'. (2237) Вычислим левую и правую части (22.37) в базисном х-представлении: ( р1К1сР) = = Ц (ср1х) (х1К)х ) (х')сР) с)хс)л' = ьь = ) ) ср'(х)К„„,Ч'(х')с)хс)х' = дЧ'(х') = — 11) р*(х)о(х — х') с) с)х' сРР (х) = — 1) ср» (х) с)х, с)х ьь (Ч )К) р)» ЩсР (х)К ср( )~ с)х)» йр»(х) = 11 Ч' (х) — с) х = с)х ь сРР (х) = с»Р(х) ср*(л) 1,' — ! ! ср»(х) — дх, (22.39) с)х где произведено интегрирование по частям.
Видно, что (ср(К1Ч ) — (Р)К1<р)» = (22.38) = 1сР( х)ср»(х)1 (22.40) Следовательно, условие эрмитовости (22.37) для оператора К не выполняется, т.е. удовлетворение условию (22.34) еще недостаточно, чтобы оператор К был эрмитовым. Еще необходимо, чтобы правая часть в (22.40) была равна нулю: 1сР(х)ср»(х)! = О, (22.4! ) т.е. оператор К, определенный равенствами (22.36), является эрмитовым лишь в том случае, когда проекции образующих его векторов в базисном представлении удовлетворяют условиям (22.41).
Эти условия соблюдаются лишь при функциях, обращающихся в нуль на границах интервала (а,Ь), а также при периодических функциях, у которых период в целое число раз меньше длины инервала Ь вЂ” а, т.е. равен (Ь вЂ” а)/и, и = = 1, 2, ..., благодаря чему на границах интервала (а, Ь) они имеют одно и то же значение. ~ 22 Линейные оесконечномерные векторные пространства 147 !ап е"*е '"" = Ю к т т. = 1пп — ~ ек" " '* дх = О т. и а (!т ~ lт'), (22.421 т.е.
оператор К действительно эрмитов в пространстве соответствующих векторов Собственные значения и собственные векторы. Проблема нахождения собственных значений и собственных векторов в бесконечномерном век- ьт Если интервал (а„Ь) бесконечен, т.е. а = — со, Ь = оэ, то требования к функциям для удовлетворения условия (22.41) необходимо уточнить. Если при х- — оэ и х-+ со функции стремятся к нулю, то соблюдение условий (22.41) очевидно.
Однако представляется вероятным, что имеется и другой класс функций, которые в определенном смысле удовлетворяют условию (22.41), хотя и не стремятся к нулю при х + со. Возьмем в качестве примера функции евы при всевозможных вещественных значениях параметра )т. Они являются осциллирующими функциями при х-+ -+ + оэ и не стремятся к определенному пределу. Не стремится к определенному пределу и произведение е"'е '"" при )с та Й', хотя при й = )н предельные значения равны 1 и условие (22.41) соблюдается. При (с ~ ~ )н предельное значение произведения функций при х — оэ определяется как среднее значение по бесконечному интервалу, начинающемуся со сколь угодно большого значения х, и если при этом значении произведение стремится к нулю, то в соответствующем векторном пространстве оператор К эрмитов.
для функций еак это условие имеет вид торном пространстве значительно усложняется. Во-первых, уравнение (21.56) для определения собственных значений может быть в принципе записано и решено для сколь угодно большой степени п. В результате можно получить п собственных значений и соответствующее число собственных векторов. Однако эти собственные векторы заведомо не могут составить полную систему линейно независимых векторов для образования базиса векторного пространства, поскольку пространство бесконечно- мерно.
Во-вторых, наличие совокупности бесконечного числа ортонормированных векторов в бесконечномерном линейном векторном пространстве не гарантирует полноту образованного из векторов этой совокупности базиса, потому что при вычитании из этой совокупности конечного числа векторов в ней по-прежнему остается их бесконечное число. Рассмотрим решение этой проблемы на примере оператора К. Уравнение (21.53) для определения собственных функций и собственных значений имеет вид К(й) = )т(к), (22.43) где й-собственное значение, ~)с )— собственный вектор оператора )(, принадлежащий собственному значению )з Будем решать это уравнение в базисном представлении. Удобно перейти к х-представлению. Умножим обе части (22.43) на (х! слева: (х!К!к) = lт(х!й).
(22.44) Преобразуя левую часть этого уравнения аналогично (22.29), находим (х(К!й) = (х!К!х')(х'!Й)дх'= Й = — ~ — (х!)т), (22.45) Йх 148 о Основные понятия теории предотевпений где К = — с0. Обозначая (х!)с > = = Ч'„(х), получаем вместо (22.44) уравнение для определения собственныя значений и собственных функций; с) — 1 — Ч' (х) = )сЧ'„(т). с)х (22.46) Его решение Ч'„(х) = Аеи", (22.47) где А -произвольная постоянная, )спроизвольный вещественный параметр, который является собственным значением оператора в Ы/с)х, входящего в (22.46).
Функция Ч',(х) для области — оо < х с со может быть принята в качестве собственной функции, принадлежащей собственному значению )с, Она удовлетворяет условию (22.42). Формально функция (22.47) удовлетворяет уравнению (22.46) не только при действительных, но и при комплексных значениях )с. Однако при комплексных значениях (с условие (22.42) не удовлетворяется и, следовательно, К не эрмитов оператор.
Пространство функций, которые могут быть нормированы либо на единицу, либо на Ь-функцию Дирака, называется физическим гильберлтовым пространством. В математике гильбертовым пространством функции называется векторное пространство, которое содержит только собственные векторы, нормируемые на единицу. Однако в квантовой механике чрезвычайно большая роль принадлежит несобственным векторам, которые не могут быть нормированы на единицу, а нормируются на б-функцию Дирака. Это приводит к необходимости соответствующего расширения понятия гильбертова пространства. Принимается, что теорема о полноте базиса, образованного собственными векторами эрмитова оператора, 1 е и*((х)с)х.
(22.50) с'2л l Разложение функции ()'> по базису векторов 1х> имеет вид ((х) = <х11'> = <х1К > <)с1(> сй = ! — ее"7 ()с ) с))с. Гэ 1„л (22.51) справедлива также для физического гильбертова пространства, в названии которого для сокращения слово «физическое» обычно опускается. Значение постоянной А в (22.47) находится из условия нормировки Ч',(х) на б-функцию и поэтому принимается равным 1с'«т2л (см, (22.25)): С ()с 1 )с' > = ()с 1 х> (х 1 )с'> с(х = — е '" с '" с(х = 8()с — (с'), (22.48) 2л,1 где (х~)с > = Ч',(х) и учтено равенство (22.25). Таким образом, проекции вектора ~ й> в базисе векторов 1х > задаются функциями Ч'„(х): ~ lс > — (1/ сс2л)ес"".
(22.49) Поскольку К вЂ” эрмитов оператор, совокупность векторов !)с > образует полный базис, по которому можно разложить произвольную функцию 17'>, принадлежащую гильбертову пространству: )()с) = <( (1 > = <) ~ х> <х(У>)х = 4 22 Линейные бесконечномерные векторные пространства 1Ю Сравнение этих формул с (22.23) показывает, что преобразование Фурье дает переход от представления вектора в одном полном базисе |л) к его представлению в другом полном базисе | /с) . Оба эти базиса одинаково пригодны для представления векторов, принадлежащих гильбертову пространству Базис из векторов //с) генерируется эрмитовым оператором К, матричные элементы которого в этом базисе равны (/с/К ~/с') = = /с'(/с)/с') = /с'8(/с — /с') (22 52) Обозначим Х -оператор, которым генерируется базис из векторов /х) Собственные векторы ! х), по определению оператора Х, удовлетворяют уравнению Х) т) = т) т), (22 53) и, следовательно, матричные элементы оператора Х в этом базисе равны (х'/Х/х) = х8(х' — х) (22 54) Результат действия оператора Х на вектор [/') обозначим ~ср).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
