А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Принцип суперпозиции состояний в кван~оной механике требует, чтобы в качестве операторов использовались только линейные операторы. Оператор А называется линейны.ч, ес- 134 5 Основные понятия теории представлений ли он для любой пары векторов ~ ~р> и ~Ч'> и любых комплексных чисел а и (3 удовлетворяет условию А (а ~ ч > + (1 1 ч' >) = а ( ~ ~ ч >) + (1 (А1ч' >). (21. 19) Суммой операторов А и В назы- вается оператор А + В = С, который для любого вектора ~Ч'> удовлетво- ряет требованию с ~ ч' > = А ~ ч' > + в ~ ч' > = (А + в) ~ ч' >. (21.20) Произведением операторов А и В на- зывается оператор АВ = 13, который при всех векторах ~Ч'> обеспечивает выполнение соотношения 01Ч'> = А(В1Ч'>) = АВ1Ф>. (21.21) Если АВ = ВА, то операторы А и В коммутируют друг с другом, если же АВ Ф ВА, то не коммутируют.
Произведением числа а и операто- ра А называется оператор В =аА, удовлетворяющий для любого векто- ра 1Ч'> равенству В1Ч'> = а(А !Ч'>) = аА1Ч'). (2!.22) Умножая (21.17) слева на (с,1 и (21.18) справа на ~с), получаем ра- венства <11 р> = <1!Ач >, (21.23) <ч ~1> = <Ч1А'(1>, (21.24) из которых с учетом (21.9б) следует, что ('Р ~ 1'1с > = (с ~А ~ Ч'>*, (21.25) где звездочка означает комплексное сопряжение.
Равенство (21.25) выражает основное свойство сопряженных операторов. С помощью этого соотношения с учетом линейное~и операторов и свойств скалярного произведения векторов, выражаемых равенствами (21.9), нетрудно доказать следующие правила сопряжения произведений и сумм операторов: (А + В) = А Ч В, (АЛ) = В~А", (аА)' = а*А', (А')' = А, (21.2б) Оператор А называется самосопряженным или эрмитовым, если для него А = А.
Равенство (21.25) в этом случае (Ч'|А|с> = (91А1Ч'> (21.27) выражает основное свойство эрмитова оператора. Единичным ! называется такой оператор, который любой вектор ~ Ч'> ос~валяет без изменения: 1Ч > = у~ ч >. (21.28) Нулевым 0 называется оператор, переводящий любой вектор ~ Ч' > в нулевой вектор 1нуль>: ~пуль> = О~Ч'). (21.29) Обратным к А называется оператор А ', удовлетворяющий равенствам АА '=А 'А=Е (21.30) Заметим, что не любой оператор имеет обратный. Унитарным называется оператор А, удовлетворяющий условиям АА' = А'А = 1.
(21.31) Отсюда следуе~, что для унитарного оператора между собой совпадают его обратный и сопряженный. Нетрудно показать также, что произведение двух унитарных операторов является унитарным и что скалярное произведение не изменяется при одинаковом унитарном преобразовании входящих в него векторов. Представление векторов и операторов в ортоиормироваииом базисе.Формулой (21.б) любой вектор может быть представлен в виде разложения по любой совокупности линейно независимых векторов.
Из этой совокупности посредством ортогонализа- В 21 Линейные конечноыерные векторные пространства 13Б ции (см. (2!.76) — (21.82)) можно построить совокупность п ортонормированных векторов, которые обозначим !с) (с'= 1, 2, ..., п). Они удовлетворяют условиям ортонормированности (21.10), которые в обозначениях Дирака имеют вид (г'1/> = бо (21.32) Разложение (21.6) произвольного вектора )о) по ортонормированному базису из векторов !с) записываем также очень компактно: 1»)= Е е! ), (21.33) ! где г,-проекции вектора ~ о) на орты )с) базиса. Умножая (21.33) слева на (7'! и принимая во внимание (21.32), получаем ч (71») = 2, есО!с') = 2»,о„= гг (21.34) Формула (2!.34) позволяег находить коэффициенты г, в разложении (21.33).
СовокУпность чисел (о„ог, ..., с),г полностью определяет вектор !Р) в заданном базисе из векторов (1), 12), ..., !л), Эта совокупность называется представлением вектора ~ о) в батоге иг вектора» ! с). Все операции с векторами могут быть выражены посредством операций над совокупное гью его проекций. Кет-вектор ! Р) в представлении заданного базиса принято записывать в виде столбца его проекций: гт " 'т ~е), сг (21.35) е„ Операторы в задашюм базисе представляются в виде матриц.
Записав векторы ! Ч') и ~ ср) в (2! .17) в виде разложения (21.33) !ср) ='г ср,!1>, !Ч') =,"г Чг,1г), (21.36) где ср, = (т ( ср), Ч', = (с ! Ч') — проекции векторов !ср) и !Ч') на орты Я, (с'). получаем ) ср,1г) = А',ГЧг,!!) = )'Ч',А1с). (21.37) В (2! 36) и (21,37) суммирование по с и7' распространяется на все орты базиса и пределы суммирования в явном виде не указываются. Аналогично будем поступать и в дальнейшем, когда это не может привести к недоразумению.
Умножая (21.37) слева на ()с ~ и учитывая, что ()с Я = 8ко (к!с') = бг„находим р„= г ()с1А ! > Ч', =,'г Аьч'„(2!.38) где А, = ((с~А)г> (21.39) — матричные элементы оператора А. Выразив векторы ~Ч') и !ср) в виде (21.35), запишем (21.17) как матричное равенство 'Рг Асс '!гг срг Агг Агг '" Аг, Чг ср„А„, А г " А„„ Ч'„ (21.4О) в котором правило умножения задается формулой (21,38).
Таким образом, в ортонормиро ванном базисе операторы представляются квадратными матрицами, а действие оператора на вектор сводится к умножению матрицы на столбцы из проекций вектора. Все действия над операторами могут быть выражены в виде действий над матрицами. В часгности, сложение операторов сводится к сложению соответствующих элементов их матриц; умножение операторов — к 136 6 Основные понятия теории представлений умножению матриц; умножение числа на оператор -к умножению числа на все элемент ы представляющей его ма грицы. Выражения сопряженных векторов и матриц могут быть найдены аналогично.
Разложение сопряженного к )г) вектора (г! записывается аиалотично (2!.33): <г! = Х Ц,<11, 1 (2! .41) где с„— проекции вектора (с! на орты (1'! сопряженного базиса. Умножая равенство (21.41) справа на Я, нахолим < !2)=9, Отсюда на основании (21.17б) следует, что (г!/)е = г~ = (2! г) = г,, гле г, определено в (21.34). Тогда [см.
(21.41)1 (г! = 2 г~ (1!. (21.43) (г!г) = ,'Гг,"г,, (21,44) Поэтому сопряженный вектор запи шем в виде строки чисел (г! — (,, г, ..., г„). (2!.45) что позволяет образовать скалярное произведение по правилу умножения строк и столбцов матрицы. Поэтому в базисном представлении векторов операция сопряжения сволится к замене столбца на строку и комплексному сопряжению элемен1ов строки: Поэтому сопряженный вектор (г! в заданном базисе выражается совокупностью чисел,г,, г,, ..., г„,, комплексно сопряженных с совокупностью чисел ,'г,, 1,,..., г„).
Скалярное произведение с е, (г1' г2 ''' г )' (21.461 Скалярное произведение векторов !г) = ) г,!1), !ьн) ='2 и,!1) (21.46а) с учетом (21.43) равно (и !г) =2 и, гг (21.466) Выражая в (21.! 8) бра-векторы (Ч'! и (тр! в виде (21.43), получаем соотношение ~92~(2! =,2 Ч', (1! А+, умножение которого справа на !(1) приводит к равенсгву (21.47) 921 = 2 ' Ч2~ (1 ! А ~ ! 12). (21.48) По формуле (21.25) имеем А„', = (1!А !12) = ()т!А!1) = А,*„, (21,49) где А„совпадает с (21.39). Следовательно (см. (21.48)3, (р, р2,р") =(Ч2* Ч2 Ч*) х 1 2 22 А,А,". Аеа А*1„А2„" А„*„ (21.51) Значит, матрица, представляющая сопряженный оператор А+, получается из матрицы оператора А транспонированием строк и столбцов и комплексным сопряжением элементов мат- 1р„= 2 'Р, А,. ! В матричном виде это равенство записывается так: 1 21 Линейные конечномерные векторные пространства рицы: '411 '!12 "' 41» '!21 '422 "' '42 А Аг "'А (21.52) А*п А*п " А„"„ 1 2 Это правило выражает основное свойство (2!.25) сопряженных операторов в матричном виде.
Свойство (21.27) эрмитовости оператора выражается равенствами А„= А1, Единичный оператор представляется матрицей с отличными от нуля диагональными элементами, равными единице. Собственные векторы и собственные значения оператора. Собственным вектором оператора 4 называется такой вектор ~г), действие оператора на который сводится к умножению вектора на число, называемое собственным значение.и операгпора, Уравнение на собственные значения и собственные векторы имеет вид А!е) = А1г). (21.53) В уравнении (21.53) собственное значение оператора А обозначено той же буквой А, что и оператор. но без символа .
В базисном представлении это уравнение имеет вид (2!.40): А„А,2" Аы г, Ю, '!21 4гг "' '42 гг Ап1 Апг ''' '4п~ гп (21.54) где Аи — — (1!А!7), гп = (11г). Матричное уравнение эквивалентно системе и линейных уравнений для определения и неизвестных величин ь1, которые удобно представить в виде ) (Ао — боА)ей=О б=1,2,..., ). (21. 55) Чтобы эта система уравнений имела нетривиальные решения, детерминант ее определителя должен быть равным нулю: А„— А А„" Ап Аг, Агг — А " Аг = О. (2!.56) "!.1 Апг ." Апп Уравнение (21.56) являе гся алгебраическим уравнением и-й степени и имеет и корней. Эти корни называются собственными значениями оператора А.
Среди корней могут быть и одинаковые. В этом случае говорят о вырожденных собственных значениях. Для каждого невырожденного собсгвенного значения решение системы уравнений (21.55) дает соотве~с~вуюшую собственную функцию. Если все и собственных значений невырожденные, то имеется и различных собственных функций. Важное свойство эрмитовых операторов состоит в том, что их собственные значения вещественны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
