А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(18.54) Соотношение неопределенности для энергии особенно ясно показывает, что существование соотношений неопределенности для величин в квантовой механике обусловливается не какими-то особенностями измерения, а внутренними особенностями самих квантовых систем. Интерпретация соотношения неопределенностей. Соотношение неопределенностей — это математическое выражение наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств.
Поэтому оно является обьективной закономерностью, отражающей обьективные свойства частиц, и 120 4. Основные положения квантовой механики не обусловливается теми или иными особенностями измерения соответствующих величин в конкретном эксперименте. В процессе своего исторического развития человечество выработало понятия о закономерностях движения корпускул и о закономерностях волнового движения. Эти понятия были выработаны для макроскопических явлений. Они используются и при описании микроскопических явлений. Но они не адекватны реальным свойствам микрочастиц, которые не ведут себя ни как корпускулы, ни как волны. Соотношение неопределенности и отражает ту степень погрешности, которая допускается, когда эта сложная сущность частиц игнорируется, и поведение частиц описывается с помощью понятий и величин, свойственных чисто корпускулярной или волновой картине.
Для понимания явлений микромира мы не обладаем другими понятиями, кроме понятий, свойственных чисто корпускулярной и чисто волновой картине. Поэтому весь анализ явлений микромира мы вынуждены вести в рамках этих понятий, которые неадекватно, односторонне и неполно отражают свойства объектов микромира. Если эти понятия абсолютизировать и не учитывать их односторонность и неполноту, то при анализе явлений микромира возникают многочисленные противоречия. Их наличие и служит объективным доказательством недостаточности понятий макроскопического опыта для теории движения микрочастиц. Эти противоречия устраняются, если учесть соотношение неопределенностей. Значит, понятия макроскопического опыта можно применять к анализу явлений микромира лишь учитывая соотношение неопределенностей.
При познании зако- номерностей микромира оно такой же важный элемент, как и сами понятия, которыми при этом пользуются. Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего важность соотношения неопределенностей для анализа явлений микромира, движение электрона в основном состоянии атома водорода.
В теории Бора точечный электрон движется по орбитам, которые квантованы. Однако его движение по квантованной орбите ничем не отличается от механического перемещения частицы вдоль траектории в классической механике. В рамках квантовой механики нельзя говорить о движении электрона по траектории, но можно говорить о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Это обстоятельство также связано с принципом неопределенности: если электрон зафиксирован в какой-то точке пространства в какой-то момент времени, то его импульс, а следовательно, и скорость становятся полностью неопределенными и понятие траектории теряет смысл.
Распределение вероятностей координат электрона в атоме водорода рассмотрено в ~ 30. Здесь достаточно заметить, что имеются вероятности пребывания электрона достаточно далеко от ядра и достаточно близко, Наиболее вероятным расстоянием в основном состоянии является расстояние до первой боровской орбиты в теории Бора. Это заключение в принципе может быть подтверждено экспериментально.
В настоящее время проведено достаточно много измерений распределения плотности электронного облака в атомах и эти измерения находятся в хорошем согласии с предсказаниями квантовой механики. Как показывает опыт, у всех атомов водорода в основном состоянии 18. Представление динамических переменных посредством операторов энергия ионизации одна и та же. Это означае~, что полная энергия электрона в основном состоянии постоянна. Полная энергия слагается из двух частей: положительной кинетической энергии и отрицательной потенциальной энергии. Полная энергия электрона в основном состоянии атома водорода равна примерно — 13.6 эВ. Предположим, что мы не принимаем во внимание соотношения неопределенности и хотим понять распределение вероятностей электрона в рамках корпускулярной картины. Тогда мы сразу же приходим к противоречию.
В самом деле, рассмоы рим достаточно далекую от ядра точку, в которой электрон с определенной вероятностью может находиться. Потенциальная энергия, которую имеет электрон в этой точке, известна )Е„= — е ока г)). При достаточно большом расстоянии она может быть больше — 13,6 эВ, например равна — 12.5 эВ. Тогда, для того чтобы полная энергия была равна — 13,6 эВ, как это дается экспериментом, необходимо считать кинетическую энергию электрона в этой точке отрицательной, что бессмысленно. Таким образом, неосмотрительное применение корпускулярных понятий к анализу экспериментальных фактов сразу же привело к противоречию. Однако рассуждение, приведшее к противоречию.
недопустимо из-за наличия соотношения неопределенности, поскольку поня~не о положении электрона непригодно для описания движения электрона в атоме. Математически это выражается в том, что. зафиксировав координату электрона, мы неправомочны в дальнейших рассуждениях ~ оворить об импульсе, а следовательно, и о кинетическои энергии как об определенной величине. Поэтому нельзя считать, что электрон в атоме одновременно имеет некоторые импульс и координаты.
Следует заметить, что речь идет именно о том, что электрон не имеет определенных значений импульса и координаты, а не о том, что их нельзя одновременно измерить. Принцип неопределенности позволяет оценить, с какой точностью можно приближенно описать движение электрона в рамках картины движения точечной частицы по какой-то траектории с определенной скоростью, т.е, не о том, с какой точностью справедливы квантовые понятия. а о том, с какой точностью справедливы классические понятия.
Нетрудно видеть, что в случае атома представление о движении электрона по некоторой траектории вообще ни в каком приближении невозможно. Это связано с тем, что если в качестве неопределенности импульса взять его максимально возможное значение, то для неопределенности координат получаются значения, имеющие порядок размеров атома. В других случаях с достаточной точностью можно говорить о движении электрона по траектории. Например, если заряженная частица пролетает в среде с перенасыщенным паром, то она оставляет за собой след.
В этом случае приемлемо представление о движении частицы вдоль следа в пределах некоторой области, поперечные размеры которой вычисляются по соотношению неопределенности. Пример 18.1. Волновая функция электрона в атоме водорода в состоянии с наименьшей энергией Ч'(т) =(кас) "~с "ис, где ас —— 4яао л'т1тс') = 0.529 х х 1О '"м — радиус первой боровской орбиты. Собственная функция опера- \22 4 Основные попожвнии квантовой механики тора импульса Ч' (г) =(2хб) "'е 'Р'™.
Найти вероятность того, что импульс электрона в а~оме водорода заключен по модулю между р и р + с1р. Находим волновую функцию электрона в атоме водорода в р-представлении: С(р) = (2хб!)-ззг ) Чз(г)е- р тЯ с(р= (2з!)!)-ззг(х гз)-хзг) е-н о — 'Р.тУгзд). Вычисление интеграла удобно вести в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль р: )ехр( — г/ао — 1р гул)е()гю 2п ) г~!)! х о з- ! х ) ехр( — гззао — гргсояОЯ)с(сояв = - 1 = (2хйу(грЦ ) (ехр(( — 1,'ао ф зрззй)г)— о — схр(( — 1уао — зруй)г1) гс(г = = 8хвз не((бзг + агрг)з. Следовательно, плотность вероятности, что импульс электрона равен р, дается выражением 1с(р)1 8аогзз((хг(бзг + сарг)41 Интегрируя его по всем направлениям импульса р, т.е.
умножая на элемент объема в пространстве импульсов 4хр'!(р, находим вероятность того, что импульс электрона заключен по модулю между р и р + с(рз 32взйзрг р= г г'ге р. ,(бзг +, грг) Пример 18.2. Пользуясь соотношением неопределенности Гейзенберга. оценить минимальную энергию электрона в атоме водорода. По соотношению неопределенности импульс электрона р = луа и его кинетическая энергия Е„= рг/(2вг) = = лг((2пгаг), где а-линейный размер атома (по порядку величины), пав масса электрона.
Потенциальная и полная энергии электрона равны соответственно Е„= — сгу'(4яаоа), Е = = Е„+ Еп = йгз(2таз) — ег,з(4ха а). Полная энергия Е = Е(а) при малых а положительна 1Е(а- 0)- оо3, а при больших а- отрицательна и стремится при этом к нулю 1Е (и -+ — оо) - — 01. Поэтому она имеет минимум при значении ао, определяемом из условия ВЕ(а)/да = 0: ао = = 4хвобгЯизег). При а = ао движение электрона в атоме водорода устойчиво, а полная энеггугия равна Е(а ) = = — в!с у(32х'ерй ), что в данном случае совпадает с точным значением минимальной энергии по теории Бора (14.19) и с соответствующим результатом квантовой теории атома водорода (30.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
