А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(17.33) Сравнивая (17.33) с (! 7.28), заключаем, что 2, и,*(х') и,(х) = 8(л — х'). (17.34) Аналогичное соотношение може~ быть получено и в случае непрерывного спектра. Поде~валяя (17,31) в (17,30), находим и(х) = (а„ит(х)Ы = = (ит(х)0 Ци*„(х') и(х') Йх' = = )<1х'и (х)) ил (х) и„(х) д?.. Отсюда следует, что ) и,*(х') и,(х) с)? = б (х — х'). (17.35) (17.36) ставляют непрерывное множество чисел а, и находятся из условия (ит иат'= )и1 пи)а и,т)?. = )а,.тт?)и1 и,ОУ= = (а;д?л3(?.' — ?.) = а„,.
(17 31) Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям являешься суммой ряда (17.21) и интеграла (17.30): и = 2 а„и„ + (ати„.йи 110 4. Основные положения квантовой механики 18. Представление динамических переменных посредством операторов Извазаезсв физическая ивтерпретаиив математического аппарата квантовой механики Постулаты квантовой механики. В классической механике для описания движения частиц используются координаты, импульсы частиц и другие физические величины, называемые динамическими переменными.
В каждый момент времени они имеют определенные числовые значения. Главная задача описания движения частиц в классической механике состоит в определении зависимости динамических переменных от времени. В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности того или иною значения динамической переменной и о среднем значении динамической переменной, а не об ее определенном числовом значении в данный момент времени и изменении этого значения со временем. Поэтому классическое описание движения частицы и выражение динамических переменных в виде функций времени теряют смысл. Основные положения квантовой механики аксиоматически могут быть сформулированы в виде следующих четырех постулатов (более общая формулировка этих постулатов дана в 8 23).
1. Состояние движения частицы описывается волновой функцией Ч'. 2. Каждая динамическая переменная представляется определенным линейным эрмитовым оператором. 3. При измерении числового значения некоторой динамической переменной, изображаемой оператором А, с определенной вероятностью получается одно из чисел ) з, ) „..., а.„,..., являющихся собственными значениями оператора А. Вероятность получения при изме- ренин того или иного значения )с,.
вычисляется с помощью следующего правила. Обозначим и„собственные функции оператора А измеряемой динамической переменной Аи„= а.„и„, которые составляют полную ортонормированную систелгу, и разложим нормированную волновую функцию Ч' по этой системе собственных функций: Ч'= за„и. Вероятность того, что при измерении динамической переменной А будет получено числовое значение ).„, равна !а„!'.
4. Волновая функция Ч' подчиняется уравнению Шредингера (16.16). Вычисление средних значений динамических переменных. В теории вероятностей среднее значение величины (А), принимающей значения ) „(и = 1, 2, ...) с вероятностями !а„!г, вычисляется по формуле (А) ~) ! !г (18.1) Это правило может быть обобщено: среднее значение динамической переменной, представляемой оператором А, в состоянии, характеризуемом волновой функцией Ч', задается формулой (А) = )Ч'аАЧзс(К (18.2) Если представить Ч' и Ч'* в виде рядов (17.21) и подставить полученные ряды в (18.2), то, произведя необходимые действия, получим формулу (! 8.1), что доказывает обоснованность (18.2).
Оператор координаты. Операторы, представляющие динамические переменные, должны быть самосопряжепными эрмитовыми операторами. Вы- 1 18. Представление динамических переменных посредством операторое 111 (18.10) 81' д дкг дх дгг)' Ьгт д д) й д ' дх (18.б) (18.12) бор их конкретного вида определяется согласием полученных с нх помощью результатов с экспериментами.
Величина Ч'*(х)Ч'(х) характеризует плотность вероятности нахождения частицы в точке х (для простоты написания формул рассматриваем случай одного измерения). Следовательно, среднее значение координаты (х) =)Чг*(х)чг(х)х1)х=)Чгк(х)хЧг(х)дх. (18. 3) Сравнение (18.3) с (!8.2) показывает, что в качестве оператора координаты х следует выбрать оператор умножения на эту координату, т.е. применение оператора координаты х к некоторой функции Ях) сводится к умножению этой функции на х: х((х) = = хЯх), т. е.
оператор х = х. Оператор импульса. Для нахождения оператора импульса вспомним, что, согласно гипотезе де Бройля, свободная частица, имеющая импульс р„, представляется плоской волной с волновым числом )т, = р„% и частотой ет = Е!й. Поэтому следует потребовать, чтобы уравнение на собственные значения для импульса р Ч =рЧ (18.4) имело решение в виде плоских волн; Ч' = Ас' '"' 1 *' = Ас па' а ' (185) где А — несушественная для данного вопроса нормировочная постоянная. Сравнение (18.4) с (18.5) показывает, что в качестве оператора импульса р. следует выбрать оператор При таком выборе оператора р„уравнение (18.4) удовлетворяется функцией (18.5).
Аналогично выражаются и другие составляющие оператора импульса. Поэтому в векторной фор- ме оператор импульса можно записать в виде лг'. д . д . дкг 6 р-т 1„+1, +1. —.р, (!87) Рх ду тда 1 где 1„, 1,„1,— орты. Гамйльтонпан. В классической физике функцией Галтильтона называется полная энергия, выраженная через импульсы и координаты частиц.
Для одной частицы полная энергия сводится к сумме кинетической и потенциальной энергий: Н (г, р) рг((2лг) + Е (г) (18.8) В квантовой механике функции Гамильтона должен соответствовать оператор. Он получается в результате подстановки в (18.8) вместо р оператора р из (! 8.7): рг лг Й = — + Е„(г] = — — 121 -~- Е„(г). (18.9) 2лг " 2та Момент импульса частицы. В классической физике момент импульса частицы определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс: Ь=гх р или в координатном виде Ь„= ур, — грл Ь„ = ар, — хр,, (18.11) Ь„= хр„— ури В квантовой теории проекциям мо- мента импульса ставятся в соответст- вие операторы следуюшим образом: Оператор полной энергии.
Оперитор полной энергии Е следует выбрать 112 4. Основные положении квантовой механики так, чтобы его собственные значения были равны энергии Е частицы. Найдем его возможный вид на примере свободной час1ицы, обобщив результат на общий случай. Необходимо потребовать, чтобы уравнение ЕЧ' = ЕЧ' (!8.!3) имело реп1ение в виде плоской волны (18.5), описывающей свободную частицу с энергией Е. Легко заметить, что Е= — — .—. й д (18. 14) 1' С:1 1"й Р '1 р = !11(х) + р, ~ — — ). 1 81х (! 8.1 5б) Условие одновременной измеримости различных динамических иеремеи- Найденный для частного случая вид оператора полной энергии (18.14) обобщается на произвольный случай. Оператор произвольной функции динамических переменных.
Приведенные примеры операторов наводят на мысль, что если имеется некоторая функция Е(х, р) динамических переменных (х, р), то соответствующий этой функции оператор Р получается заменой величины р ее операторным выражением (18.7), Во всех приведенных выше случаях это правило выполняется. Однако в общем случае поступать так нельзя, поскольку получающийся при этом оператор 1' л дт! Р~х,— — ! не является самосопряжен- '1 ВХ ным и, следовательно, не может быть использован в квантовой механике. Так можно поступать лишь в том случае, когда получающийся оператор самосопряжен. В частности, если Е(.т, р) = Е,(х) + Е (р), (18,15а) то соответствующий оператор записывается следующим образом: иых.
Выше было отмечено, что при измерении динамической переменной получается вполне определенное числовое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией измеряемой динамической переменной. Но собственные функции операторов различных динамических переменных, вообще говоря, различны, поэтому различные динамические переменные не могут при измерениях одновременно давать определенные числовые значения. Однако при определенном условии это возможно. Необходимым и достаточным условием является коммутативность операторов этих динамических переменных.
Доказательство необходимости условия состоит в следующем. Пусть операторы А и В имеют общие собственные функции и, следовательно, соответствующие динамические переменные одновременно измеримы. Тогда из уравнений Аи = аи. Ви = би (18 !ба) находим, что АВи = 8Аи = баи, (18.166) ВАи = аВи = и(3и. (18.! 7) Отсюда видно, что операторы А н В коммутируют: АВ = ВА. (!8.!8) Доказательство достаточности условия проводится следующим образом, Если операторы А и В коммутируют, то, обозначив для определенности собственную функцию оператора В через и, т.е, считая, что Ви = (311, (18.19) можно на основании (!8.18) и (18.19) написать ВАи = АВи = ВАи.
(18.20) Это означае~, что функция Аи — собственная функция оператора В, принад- 18. Предстаапение динамических переменных посредством операторов лежащая собственному значению !3. Но, согласно ( ! 8.! 9)„собственной функцией оператора В, принадлежащей собственному значению )), является функция и. Следовательно, функции Аи и и совпадают с точностью до числового множителя а; Аи= им !!8,2!) Это равенство показывает, что и — собственная функция оператора А, т.е. операторы В и А имеют общую собственную функцию н поэтому соответствующие им динамические переменные одновременно измеримы.
Теорема доказана, Принцип дополнительности. Из изложенного вьппе следует, что в квантовой механике для описания движения частиц нельзя пользоваться одновременно всеми теми переменными, которыми пользуются при описании движения частиц в классической механике. Координата и соответствующий этой координате импульс частицы могут быть примером пары таких переменных. Следовательно, в квантовой механике состояние движения описывается меныпим числом переменных и является менее подробным, чем в классической физике, описанием. Выберем всевозможные физические величины, операторы которых коммутируют между собой. Эти величины одновременно имеют определенные значения, Их совокупность дает полное квантово-механическое описание и составляет полный набор величин в квантовой механике, хотя в классической механике для полно~о описания движения необходимо пользоваться одновременно с этими величинами также и другими.
Выбрав в качестве полного набора величин некоторые конкретные величины !например, в числе прочих— я Ян координаты), мы исключим из рассмотрения другие (в данном случае в числе прочих — импульсы), операторы которых не коммутируют с ними и, следовательно, не могут входить в тот же самый полный набор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
