А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 27
Текст из файла (страница 27)
О физических свойствах стационарных состояний уже говорилось в э' 5, и здесь нет необходимости повторять сказанное. Отметим только еще раз наиболее фундаментальное свойство стационарного состояния — его единство в том смысле, которое разъяснено в ч 5. Из физических свойств стационарных состояний вытекают математические требования, которые предъявляются к волновой функции Ч' (х, у,:), описывающей стационарное состояние.
Математические требования к волновой функции. Волновая функция Ч' является решением дифференциального уравнения (16.1), а (Ч'(х,у,а))~— плотностью вероятности нахождения частицы в точке (х,у,;). Другими словами, ~ Ч'(х,у, з)!~ с(хууг(х - вероятность нахождения часгицы в объеме дхс(уг(к в окрестности точки (.х,у,-). Отсюда следует, что функция Ч' должна быль непрерыв- ной, однозначной и конечной во всех точках. Если потенциальная энергия Е„(х,у,:) имеет поверхности разргява непрерывности, то на таких поверхностях функция Ч' и ее первая производная должны оставаться непрерывными.
В области пространства, где Е. обращается в бесконечность, волновая функция Ч' должна быть равна нулю. Непрерывность 'У требует, чтобы на границе этой области функция Ч' обращалась в нуль. Условие нормировки волновой функция. Волновая функция определяется линейным уравнением с ~очностью до постоянного множителя, который можно выбрать так, чтобы удовлетворить интерпретации ~Ч'!' = Ч'*Ч' как плотности вероятности. Так как Ч'еЧ'г(хс)ухов вероятность нахождения частицы в элементе объема с(хс(ус(:, то ) Ч'*Ч'дхдуда = 1 (16.4) показывает, что частица существует и находится где-то в пространстве.
Интегрирование в (16.4) распространено на все пространство, хотя эффективно оно сводится к интегрированию по той области пространства, где плотность вероятное~и нахождения частицы отлична от нуля, т.е. области, где частицы наверняка нет (~Ч'~' = О), исключаются из интегрирования в (16.4). Равенство (16.4) называется условием нормировки волновой функиии. Такая нормировка возможна при дискретном спектре собствепных зничсний.
При непрерапто.и спектре собственных значений интеграл от !Ч'!' обращается в бесконечность и поэтому используется другая нормировка, о которой сказано ниже. Собственные функции я собственные значения. Уравнение Шредингера (16.!) имеет решения, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям не при любых значениях Е„а лишь 100 4. Основные положения квантовой механики при некоторых, которые будем обозначать Е,, Е,, ..., Е„,.... Значения Е, при которых (16.1) имеет решения, обладающие указанными свойствами, т.е. Е„Ег, ..., Е„, ..., называются сооствениымн значениямгб а функции Ч', 'Р„..., Ч' ..., являющиеся решениями уравнения (16.1) при Е = = Ег, Е = Е„..., Е = Е„, ...,- собственны.ни фуикг(ними, принадлежащими собственным значениям Е,, Е„ ..., Е,.
Ортогоналы1ость собственных функций. Две собственные функции. принадлежащие различным собственным значениям, ортоеоналвны друг другу, т.е. интеграл от произведения одной из этих функций на функцию, комплексно сопряженную с другой, взятый по всей области интегрирования, равен нулю. Для доказательства выпишем уравнение Шредингера в виде (10.5) для функции Ч'„и комплексно сопряженной с ней функции Ч'„*с г7г'Рх ~ь (2т~угг) (ń— Е„) Ч'„= О, (16.4а) УгЧге Е (2т/Ьг)(Еи — Е„) Ч',*с = О. (16.46) Умножая первое уравнение на Ч'„*, второе — на Ч'е и вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем Чге(ггчг Чг ргчге + + (2т)6~)(ń— Е„,)'Р„*Ч'„= О.
(!6.5) Разность первых двух членов можно преобразовать по формуле Чге)гг'Є— 'Р„1хгЧг" = = Ч(Же, хƄ— Ч'„глР„*,) = г)(еА, (16.6в) где А = РеМЧгх - Чг„)ггр„е.. (16.66) Поэтому предыдущее равенство можно записать следующим образом: г)(е А + (2т1бг)(ń— Е„.) Ч'„*,Ч'„= О. (16.7) Проинтегрируем последнее соотно- шение по некоторому объему Р: ) г((е Ад!'-!- (2т(йг) (ń— Е„) ) Ч'„"Ч'„с1!'= О. (16.8) Первый интеграл по теореме Гаусса Остроградского можно преобразовать в интеграл по поверхности Я, ограничивающей объем Р: ) ЙхАг)(г= )А дб =)А„с(5.
(169) Принимая, что )г- со, и считая, что на бесконечности функции Чг стремятся к нулю достаточно быстро, так что А стремится к нулю быстрее, чем !/гг, где и- радиус сферы, внутри которой заключен рассматриваемый объем, получаем (ń— Е„) ( Ч'„"ху„г()г= О. (16.10) Значит, при Е„Ф Е„ ) ФеЧ'„г(хг(уд = 0 (и Ф- и'). (16.11) Таким образом, собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Условие нормировки и условие ортогональности: (1 (и = и'), )Ч'„"Чг„г(хс(ух(е = б„„= ~, ' (!6.!2) (О (и Ф. и'), где б„„.— символ Кроиекера. Характер статистических закономерностей квантовой механики. При интерпретации волновой функции было о~мечено, что квантовая механика допускает лишь вероятностные предсказания о поведении частиц.
Хорошо известно, что и в классической статистическои механике дается также лишь вероятностное предсказание о поведении частиц. Однако между закономерностями 1 16. Уравнение Шредингера статистической классической физики и статистическими закономерностями квантовой механики существуег принципиальное различие. Статистические закономерности классической физики являются результатом взаимодействия большого числа частиц.
поведение каждой из которых описывается динамическими законами классической механики. Как только число рассматриваемых частиц становится достаточно малым, статистические закономерности классической физики перестают действовать, а соответствующие статистические понятия (например, температура) теряют смысл. По-другому обстоит дело со статистическими закономерностями в квантовой механике, которые выражают свойства индивидуальных микрочастиц и имеют место даже при наличии лишь одной частицы. Как показали эксперименты,микрочастица обладаес как корпускулярными, так и волновыми свойствами.
Поэтому для описания ее движения неприменимы методы и понятия, которые использовались в классической физике в отдельности для формулировки теории движения корпускул и распространения волн. Квантовая механика выработала новые представления о движении микрочастиц и о характере закономерностей, управляющих их движением. Неоднократно делались попытки придать статистическим закономерностям квантовой механики характер статистических закономерностей классической физики. Смысл этих попыток сводится к следуюсцему. Считается, что состояние микрочастицы характеризуется не только физическими величинами, которые может измерить эксперимесггатор посредссвом макроприборов, но и «скрытыми параметрами».
Причем у частиц, со- стояния которых характеризуются одной и той же волновой функцией Ч', «скрытые параметры» имеют различные значения, какой-то статистический разброс и вследствие этого движения микрочасгицы описываются статистически. В качестве наглядного примера может быль взято взаимодействие частицы с флуктуациями вакуума (см. З 73), в результате чего движение частицы уподобляется движению броуновской частицы. Однако все попытки в этом направлении не увенчались успехом, Эксперименты по изучению квантовых корреляций, выполненные в последние годы (см. гл. 15), показывают, чго все эти попытки в рамках локально~о подхода несостоятельны в принципе.
Этими экспериментами не исключается возможность нелокальных теорий «скрытых параметров». Однако вряд ли поиски таких сеорий перспективны. Уравнение Шредингера, зависящее пт времени. Уравнение Шредингера (16.1) определяет стационарные состояния и не зависит от времени. Как изменяется волновая функция с течением времени? Каким уравнением определяется это изменение? Для ответа на эти вопросы поступим следующим образом, Представим волновую функцию, зависящуго от времени в виде Ч'(г, с) = е 'г»" Ч'(г) (Е = Ьсе), (16,13) где Ч'(г) — решение уравнения Шредингера (16.2): Ь 2 ЕЧ'(г) = — — 7с + Е„Ч'(г).
(16.14) Принимая во внимание очевидное ра- венство йссэЧ'(г, с) ЕЧ'(г, с) = —— (16.15) с?с можно уравнение (16.14) записатыак: 102 4 Основные положения квантовой механики д дч'(г, 0 э' д — — = ! — — ттт + Е„Ч'(г, г). ду 2гл (16.16) Оно называется уравнением Шредингера, зависящим от времени. Волновая функция Ч'(г, 1) должна удовлетворять тем же требованиям, которые налагаются на функцию Ч'(г), т. Е, фуНКцИя Чт(Г, 1) дОЛжНа бЫтЬ НЕ- прерывной, однозначной и конечной, Кроме того, очевидно, что Ч" (г, 0 Ч'(г, 0 = Ч'"(г) Ч'(г) (16.17) и, следовательно, условие нормировки сохраняется с течением времени, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
