А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В качестве области интегрирования выбирается вся область изменения соответствующей переменной. Условия (14.20) позволяют из всего мыслимого по классической теории множества движений выделить некоторое счетное множество фактически допустимых движений, т.е. проквантовать движение системы. Рассмотрим квантование эллиптических орбит водородоподобного атома. В качестве обобщенных координат выберем полярный угол тр и расстояние « электрона от начала координат совпадающего с точкой нахождения ядра, имеющего заряд еХ. Кинетическая энергия Е„= '/гы(«+ «ф ) (14.21) где постоянство р -следствие цент- рального характера действующих сил. Запишем закон сохранения энергии: Е = ń— е.е~)(4лаь«) = = (р,' + р',/«г)/(2е) — Уег((4лае«).
(14.22) Поскольку в случае плоского движе- ния система обладает двумя степеня- ми свободы, всего имеется два кван- товых условия (14.20); ур т(гр = 2лйп„, ур„т(« = 2лЬп„, (14.23) (14.24) где целые числа и и п„называются азггмутильным и радиальпым квантовыми числами. Из условия р„= Е = сопя( следует, что р =Е=п(г, (14.25) где учтено, что тр изменяется от 0 до 2л. Чтобы выполнить радиальное квантование (14.24), надо выразить обобщенный импульс р, в виде функции от и, следовательно, обобщенные им- пульсы р = дЕ„/дгр = пг«аг = сопа1, р, = ЕЕ„/д« = пг«, 88 3 Дискретность сточных состояний Итак. !?е гп — = (и + п„)Гг.
'!"во г 2гпЕ Отсюда тг 4 Е„=— 32к~с~оГг~ (и, + и ) ?~е~гп ! 32ягвогЬг и' (14.28) где введено целое положительное число и=п +п (!4.29) называемое главным квангиовым числам. Сравнивая выражение (14.28) для энергии стационарных состояний в случае эллиптических орбит с выра- г. Из ~14.22) следует р, = (А + 2В)г + + С7г )'", где А = 2тЕ, В = тле~!(4яво), С = пгтгг (!4.26) Поэтому условие радиального квантования (14,24) имеет вид ~(А + 2В7г + С7гг)нг йг = 2лвгг„(!4.27) причем область интегрирования включает в себя все возможные значения г, т.е.
от минимального значения до максимального и обратно до минимального. Минимальные и максимальные значения г являются теми значениями, при которых подынтегральное выражение обращаешься в нуль. Физически это соответствует тому, что в этих точках максимального приближения электрона к ядру и максимального удаления электрона от ядра радиальная скорость электрона обращается в нуль, а следовательно, обращается в нуль и радиальный импульс р, = гиг = О.
Интеграл (14.27) вычисляется обычными методами и равен у(А + 2В/г + С7г~)нграт = = — 2я1( /С вЂ” В/ УА) (! = У1) жением для энергии (14.19) в случае круговых орбит, мы видим, что для эллиптических орбит получаются те же значения энергии, что и для круговых орбит, с той лишь разницей, что входящее в выражение энергии для круговых орбит квантовое число оказывается суммой азимутального и радиального квантовых чисел. Условиями квантования (14.23) и (14.24) из непрерывного множества всевозможных эллипсов отбираются лишь определенные эллипсы, размеры и форма которых определяются квантовыми числами и и и„, причем все эллипсы, для которых и + и„= сонат, энергетически эквивалейтны определенной круговой орбите. Спектральные серии атома водорода.
В соответствии с условием частот Бора излучение атома происходи~ при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. Пользуясь выражением (14.28), находим, что частота излучаемого света , = я(17!г !/„г) (14.30) где В ?г 4пг7(32ягегвз) (14.31) Формула (14.30) по виду совпадает с формулами (13.1) — (13.5), найденными эмпирически для частот, излучаемых атомом водорода.
Величина Я, вычисленная по (14.31), при ? = 1 с очень большой точностью совладав ~ с величиной А в формулах (13.1) — (13.5), которая была найдена экспериментально. Формула (14.30), полученная на основе элементарной квантовой теории Бора, правильно описывает спектр атома водорода. Различные серии в спектре излучения атома водорода образуются в результате перехода электрона с внешних орбит на определенную внутреннюю орбиту.
4 14 Ядерная модель атома Серия Бальмера (13.1) испускается в результате переходов электрона с третьей, четвертой орбит и т.д. на вторую орбиту. Эти переходы показаны стрелками на рис. 49. Серия Лаймана (13.2) получается в результате переходов электрона со второй.
третьей орбит и т. д. на первую орбиту (штриховые стрелки). Остальные серии соответствуют переходам на тре~ью, четвертую орбиты и т, д. Переходы, приводящие к излучению различных линий в спектре атома водорода, могут быть также изображены на схеме уровней энергии атома. На рис. 50 стрелками показаны переходы, приводящие к излучению линий серии Бальмера, Лаймана и Пашена. Энергия иоиизации атома водорода. Если атом поглощает энергию извне, то энергия электрона увеличивается и он переходит на более внешнюю орбиту. Если сообщенная электрону энергия достаточно велика, то он может перейти на орбиту с п = аэ, т.е. покинуть пределы атома.
В результате э~ого атом ионизуется. Энергия„ необходимая для этого, называется энергией ионизаиию Энергия ионизации для атома водорода в основном состоянии (п = 1) на основании (14.19) равна Е„,„= иге~?(32я~еоай~) = 13,6 эВ. (14 32) Главной особенностью столкновений счастиц достаточно большой энергии с атомами, свидетельствуюоаей об ндерной модели атома, явлвется изменение направления движения с-частиц в результате столкновения на очень большие углы, близкие к 180 Почему в модели атома Томсона невозможно отклонение а-частнц в результате столкновения с атомом на очень большие углы близкие к 180'т 8 чем планетарная модель атома несовместима с представлениями классической физикит В чем состоят главные недостатки теории агам* Бора? Это теоретическое значение для энергии ионизации находится в хорошем согласии со значением, полученным в результате экспериментальных измерений.
Спектр иона гелия. Простейшим после атома водорода водородоподобным атомом является ион гелия Не Вокруг ядра с зарядом У. = 2 в этом атоме вращается один электрон. Формула (14,30) в рассматриваемом случае может быть записана следующим образом: йы = 4й(1,?Р— 1?гт~), (14.33) где г? = лте~/(32х~е~~?1~) (14.34) — поен?оп?гнал Ридберга для атома водорода. В крайней ультрафиолетовой части спектра иона гелия лежит серия ю„г = 411(1?1з — 1/лз) (14.35) Серия цт = 4й(112т — !?п~) = = л [111 з — 1!(л/2)т) (14.36) имеет частоты, которые при п = 4, 6, совпадают с соответствующими частотами серии Лаймана [см.
(13.2)3. При и = 3, 5, 7, ... формула (14.36) приводит к частотам, лежащим между частотами серии Лаймана (13.2). Аналогичное положение у серии йч а = 4гт (1?'4 — 1?'и ) = г? [1/2т Цп?2)з) линии которой через одну совпадают с бальмеровскими линиями водорода. Эти линии первоначально наблюдались в спектрах некоторых звезд и ошибочно приписывались водороду. Впоследствии они были получены в лабораторных условиях при свечении чистого гелия. Однако более тщательные измерения положения линий по- ВО 3.
Дискретность атомных состапння казали, что полного совпадения между линиями спектра водорода и соответствуюгцими линиями спектра иона гелия не наблюдается, Учет движения ядра. Это различие обусловлено конечностью массы ядра. При расчете водородоподобного атома, приведшего к формуле (14.19)„ предполагалось, что ядро неподвижно, т.е. имеет бесконечную массу. В действительности же масса ядра т„конечна.
Поэтому фактически и электрон и ядро движутся вокруг общего центра масс. При рассмотрении задачи двух тел необходимо перейти в систему координат, связанную с центром масс. Все вычисления сохраняют силу, только при этом массу электрона т надо заменить приведенной массой )г: !г = тт„((т + т„) = т/(1 + т)т„), (!4.38) где т„-масса ядра. В результа~е постоянная Ридберга по формуле (14.38) равна хгЕ4 гг зт )!в 32л'аогвз 32лаойз 1 + т!т. )(„ ! + т/т„ где )( ~ге4тг(32лгаогйз) (14.40) является значением постоянной Ридберга в предположении бесконечной массы ядра. Поэтому формулы для частот атома водорода и иона гелия выглядят следующим образом: (14.41) д„ /1 ! зг (14.42) 1 + т/тн,(,(г пг! где т„и тн.— массы ядер водорода и гелия. Поскольку тн, 4т„, точного совпадения между линиями в спектре атома водорода и соответствуюгцими линиями в спектре иона гелия не должно быть.
Измерение разницы в положении линий блестяще подтвердили формулы (14.41) и (14.42). Изотопический сдвиг спектральных линий. Аналогичное положение со сдвигом линий должно наблюдаться у изотопов атома водорода. Изогполами называются элементы, заряд ядра которых одинаков, а массы различны. Иначе говоря, ядра изотопов содержат одинаковое число протонов, но разное число нейтронов. Так как химические свойства элементов определяются строением внешней части электронной оболочки атома, то химические свойства изотопов весьма близки друг к другу, поскольку их электронные оболочки почти идентичны. Важнейшими из изотопов водорода являются дейтерий и тритий. Ядро атома дейтерия, называемое дейтроном, состоит из протона и нейтрона.
Ядро атома трития, называемое гпритоном, состоит из протона и двух нейтронов. Различие в массах ядер различных изотопов приводит к сдвигу линий друг относительно друга в их спектрах излучения. Этот сдвиг линий называется изотопичееким. Он невелик.
Например, для дейтерия йо = й l(! + "Й"о) )(н = з<„Л1 + '%'тн) 14.43 и, следовательно, )<о — дн = й (тг'тн тг'то) = = г! тД2тн), (14.44) где то 2т„, т « т„. Тогда разность частот излучения Ьаз = озт((2тн) - аз/4000. (14.45) 14. Ядерная модель атоьаа Эта разность частот надежно подтверждена экспериментом. Атомы дейтерия присутствуют в обыкновенной воде в составе молекул тяжелой воды, т. е. молекул воды, в которых атомы водорода замещены атомами дейтерия. Пропорция атомов дейтерия в обыкновенной воде небольшая: примерно один атом дейтерня приходится на пять с половиной тысяч атомов водорода. Поэтому линии излучения дейтерия по сравнению с линиями излучения водорода очень слабы. По сдвигу этих линий можно вычислить массу изотопов, а по интенсивности линий сделать закл2очение о концентрации изотопов.
Этот метод анализа изотопного состава веществ по изотопическому сдвигу линий излучения широко используется в практике. Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира, отчетливо показала неприменимость классической физики для описания внутриатомных явлений. Эвристическая ценность теории Бора сохраняется до настоящего времени: не давая всегда достаточно точных и надежных количественных результатов, она позволяет отчетливо классифицировать и качественно интерпретировать многие явления.
Однако с самого начала выявились существенные недостатки теории Бора. Прежде всего эта теория не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой, а была полуклассической, полуквантовой теорией. Недостаточность теории Бора выявилась уже при ее применении к атому водорода: давая правильно значения частот спектральных линий, она не позволяла вычислять их интенсивности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
