А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В рамках классических представлений стенки полости моделировались как совокупность классических осцилляторов, которые могут обмениваться энергией с излучением в полости. Излучение в полости в условиях равновесия представляется в виде совокупности стоячих волн или мод колебаний.
Полость удобно выбрать в виде куба с ребром Ь(рис. 43). Стоячая волна образуется лишь в том 70 3. Дискретность атомных состояний 0 у 43 К расчету концентрации мод К расчету концентрации мод в сферической системе координат случае, если бегущая волна после отражения от двух противоположных граней куба и прохождения пути 2Е возвращается в исходную точку с фазой, отличающейся от первоначальной на 2ял, где и — целое число. Не ограничивая общности, можно принять, что двукратное отражение от граней либо не вносит в фазу волны никаких изменений, либо изменяет фазу на 2я. Поэтому условие образования стоячих волн в каждом из измерений куба !с 2Ь=- 2нц (! 1.4) или !с„!.= хп„!с г.= ки„!с, Г,= дя,.
(11.5) Число волн с)Ю, волновые числа которых заключены между ()с„)с, + + с))с„), ()с,, (с, + с()с,), (!с, )с, + с(сс,), равно числу целых чисел, заключенных в интервале (и„, и„+ с!п„), (н,, и, + с(п„), (л„п + с1л,), и поэтому с!М = с!я„с!н„дп, = (Цд! с!)с„д!сх с!!с,. (! !.6) Расчет удобно вести в сферических координатах, считая, что по оси прямоугольной декартовой системы координа~ отложены (рис. 44). Поскольку волновые числа )с„, )с,, (с, положительны, в сферических координатах (11.6) принимает вид с!)ч' = (Ь~д)з (1/8) 4д)сг с()с (11 7) Учитывая, что )с = оз/с, находим концентрацию стоячих волн: !з! 1,„г — = - - — с(оз.
г.з 2 насз Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможными поляризациями, полная концентрация стоячих волн в два раза больше (11.8) и равна г с!оз. н'сз Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод (11.9) равно числу степеней свободы колебаний, которыми представлено излучение в полости, Если (Е) является средней энергией излучения, приходящейся на одну степень свободы, то плотность энергии излучения в полости г Вопрос о нахождении распределения энергии равновесного излучения по спектру сведен к определению средней энергии моды колебаний.
В (!1.10) для удобства записано распределение по частотам. От него легко перейти к распределению по длинам волн с помощью соотношения со = = 2яс/).. а 11. Излучение черного тела Формула Рэлея — Джинса. Для нахождения средней энергии (Е) в (11.10), приходящейся на одну степень свободы, можно воспользоваться классической теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы в классической статистической системе приходится энергия 2(гнТ. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна йТ. Поскольку в условиях термодинамического равновесия в полную статистическую систему входят излучение в полости и осцилляторы стенок полости, это означает, что средняя энергия, приходящаяся на одну моду колебаний в полости, (Е) = 1гТ.
(11.11) Подставляя (11.11) в (11.10), находим равенство , г ж (Т) = !гТ, (11.12) ягсЗ называемое формулой Рэлея — Джинса. Она была предложена (1900) Д. У. Рэлеем (1842 — 1911) и несколько подробнее обоснована Д. Д. Джинсом (1877 — 1946). Эта формула распределения теплового излучения по спектру дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых частотах.
При больших ш спектральная плотность (11.12) значительно болыпе наблюдаемой, а при оз -+ со получается недопустимое соотношение )4'„— оо. Кроме того, полная объемная плотность излучения И'= ) и доз=со, (11.13) о что также недопустимо. Поэтому формула Рэлея-Джинса не дает правильного описания всего спектра излучения. Формула Вина. В. Вин (!864-1928) предположил (1896), что каждая мода колебаний является носителем энергии Е(оз), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число ЛХ/Х возбужденных мод определяется распределением Боль21мани: г!г!у/!у = е (11.
14) Отсюда средняя энергия, приходящая на моды с частотой ш, (Е) = Е(м)12!у'22!у' = Е(аз)е аот' (11 15) Из общих термодннамических соображений Вин заключил, что энергия моды с частотой ез пропорциональна частоте; Е(оз) = йез. Коэффициент пропорциональности здесь дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время еще не была известна. Формула (11.10) с учетом (11.15) принимает вид з (Т) е-з лзн (11. 16) 322 сз Она называется формулой Вина и дает хорошее со~ласие с экспериментом в области достаточно больших частот. Если, например, взять спектр солнечного излучения, то с помощью формулы Рэлея — Джинса удается описать лишь частоты, много меньшие той, на которую приходится максимум плотности излучения, а с помощью формулы Вина — только большие частоты, далеко за максимумом.
Промежуточную область описать не удалось. Формула Планка. Поскольку все попытки описать весь спектр излучения черного тела, основываясь на теоретических представлениях классической физики, не удались, М. Планк предложил (1900) интерполяционную формулу, которая при малых частотах переходит в формулу Рэлея— Джинса, а при больших — в формулу Вина: з н (Т)= язсзеь дт~ (11.17) 72 3. Дискретность атомных состояний где Ь = 1,05 10 зх Дж с-постоянная Планка. При лаз <с !сТформула (11.17) переходит в (1!.12), а при Ьст» !сТ вЂ” в (11.16). Формула (11.17) дала блестящее согласие с экспериментом и полностью описала все особенности излучения черного тела.
В частности„ из нее нетрудно получить как формулу Стефана †Больцма (1!.1), так и закон смещения Вина (11.3). Противоречие формулы Планка закономерностям классической физики. В рамках классической физики формулу (11.17) получить не удается. В формуле (11.10) (Е) является средней энергией излучения, приходящейся на частоту ат. Естественно предположить, что в состоянии ав Черными называются тела, которые поглощают всю падающую на них электромагнитную энергию. Черное тело является наиболее эффективным излучателем тепловой радиации. Распределение энергии по спектру излучения чарного теяа описывается формулой Планка.
Закон смещения Вина определяет длину волны, на которую приходится максимальная плотность распределения энергии теплового излучения черного тела по длинам волн, Закон Стефана Больцманв утверждает, что энергетическая сввтимость поверхности пропорциональна четвертой степени абсолютной тврмодинвмичвской температуры. Направление распространения, поляризация и фаза волны вынужденного излучения совпадакл с соответствующими характеристиками вынуждающего излучения. Положение максимума спектральной плотности излучения черного тела зависит от шкалы, для которой определяется спвктральнав плотность излучения.
Максимум спектральной плотности излучения по шкаяв частот приходится на более длинные волны, чем по шкале длин вопи. а В чем состоит причина различного положения этого максимума. термодинамического равновесия она равна средней энергии осцилляторов. излучающих и поглощающих излучение этой частоты. Если бы этого равенства не было, то энергия должна была бы перетекать от поля излучения к осцилляторам или наоборот, Тогда под (Е) можно понимать среднюю энергию осцилляторов, испускающих излучение частотой аз. Распределение числа осцилляторов по энергиям должно подчиняться распределению Больцмана. Следовательно, число осцилляторов, имеющих энергию Е, М(Е) = Ас ь!гьг' = Ас 'к [а = 1т(!гТ)]. (11.18) В классической физике осцилляторы могут иметь всеяозможные энергии, т.е. Е в (11.18)-непрерывная величина. Средняя энергия осцилляторов в этом случае А ) Ес-альт~ й Е (Е) = А) с-""" Е с гэ = — — ) с ьв г)Е= !сТ.
(11.19) оа с Подставляя (11.19) в (11.10), получаем формулу Рэлея — Джинса (11.12). Это не удивительно, потому что при выводе (11.19) мы провели в явном виде вычисления, которые при выводе формулы (11.12) содержались в теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы статистической системы.
Вычисления, приведшие к (11.!9), сделаны для того, чтобы найти путь к теоретическому выводу формулы (11.17), которая просто угадана. На этом пути Планком был сделан первый шаг к созданию квантовой теории. ! 11 Излучение черного тела Дискретность квантовых состояний и введение представления о квантовании энергии. Для теоретического вывода формулы (11.17) Планк предположил, что осциллятор может обладать не любой энергией, а лишь дискретным набором энергий, пропорциональных минимальной энергии Е,: Е„= лЕ, (л = О, 1, 2, ...). (1 !.20) Средняя энергия осциллятора Е и — а„ггкг1 <Е> =" Е Ив!От) =о 1 да „е'яг — ! )17т (!1,21) Подставим (11.21) в (11.10): 102 и (7)=— (1 !.22) 2,3 Бздят) где Е, остаемся пока неизвестной величиной. Для того чтобы эта формула совпала с интерполяционной формулой, правильно описывающей спектр излучения черного тела, необходимо принять Е, = лгн.
Планк Макс 11858 1947) Немецкий физик, ссновоггоггоиник квантовой теории Ввел !1900! кваыг действия и, искодя из идеи «влитое, вмвсл закон излучения, названнмй его именем Таким образом. чтобы получить формулу (11.17), правильно описывающую спектр излучения черного тела, пришлось допустить, что осциллятор не может обладать любой энергией, а может иметь лишь дискретный набор энергий. Осцилляторами моделируются атомы вегцества стенок оболочки полости. Следовательно, внутренняя энергия атомов не может изменяться непрерывно, а изменяется скачками, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
