А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если ось Х направлена по вектору р, то условие постоянства фазы Еу— — рх = сопка Фазовая скорость волн де Бройля вычисляется в результате дифференцирования этого уравнения по времени: Š— рс)х7с(у = О, (8.8) Распределение амплитуд в группе волн Так как и < с, то фазовня скоросгь волн де Бройля всегда оольшс скорости света. Однако это не составляет какого-либо противоречия с теорией относительности, когорая запрещает существование скоростей, больших скорости света. Утверждение теории относительности справедливо лишь для процессов, связанных с переносом массы и энергии. Фазовая же скорость волны не характеризует скорость переноса энергии и массы частицы.
Их перенос характеризуется скоростью частицы, которая определяется не фазовой, а групповой скоростью волн ле Бройля. Волновой пакет н групповая скорость. Из плоских волн можно построить группу волн, т.е. совокупность волн, волновые числа которых (с заключены в достаточно узком интервале. Математически эту группу волн можно представить следующим образом; Чт(х г) ~ АЯе — Д Ип — ак1гПс (8 1О) 2п д где А(Й) отлична от нуля лишь в узком интервале волновых чисел ()г — 8, и + б) (рнс. 34).
Множитель 1г(2к) введен для того, чтобы согласовать выражение (8.10) с обозначениями, принятыми в теории интегралов Фурье. БВ 2. Вопноеые свойства корпускул Волновой пакет, представляемый функцией (8.10), зависит от (х,г). Он отличается от нуля в некоторой области значений х, а его форма и размеры меняются с течением времени. Из общих свойств преобразований Фурье можно сделать заключение о длине волнового пакета в пространстве: чем в более узком интервале волновых чисел амплитуда А(/с) в (8.10) отлична от нуля, тем больше пространственные размеры волнового пакета.
Если амплитуда А(/с) отлична от нуля в достаточно малом интервале значений волнового числа /с вблизи /со, то функцию со(/с) можно разложить в ряд Тейлора в точке /с и ограничиться первым членом по к— /со со(/с) = соо + (" "о) с(сос/с)/со где соо = со(/со), с1со /с)/со = с(со/с(/с ! Тогда [см. (8.10)) Ч' = ехр ( — г'[со — /с (с(со /с(/с„))с) х 1 с(соо х — ) А(/с)ехр~ с/с~ х — с с(/с. (8.12) Формула (8,10) при Г = 0 прини- мает вид ЕЕ Волна де Бройля описыеает волновые сеойстеа микрочастнц, но не саидетепьстеует о еозможности предстаепения микрочастиц копнами. Микрочастицы пап ьзя также предстаеить волновым пакетом Воины де Брайля обладают дисперсией е сеободнам пространстее (е вакууме).
Группоеая скорость заппы де Бройпя равна скорое~и микрочастицы, а ее фазоеая скороать всегда бопьшз скорости ската. Каково униаерсаяьное соотношение между групповой н фазоеой скоростями волн де Бройяят Ч'(х,О) = — ~ А(/с)е™мс(/с, 2я г где Ч'(х, 0) описывает волновой пакет в пространстве в начальный момент времени. Из (8.13) следует, что — А(/с)ехр с/с х — с с(/с = =Ч' х — ЬО (8.14) Тогда [см. (8.12)) с(сос Ч'(х,с) = Ч' х — — сс,о х с(/сс х ехр — г(соа — /са цнс (8.15) Амплитуда этого волнового пакета 1Чг(х,с)~ = Ч' х — — Г,О .
(8.16) с(соа с(/со (8.18) о„= с(со/с(/с1 '=за Для волн де Бройля с„= с)со/с)/с = с)Е~/г5р. (8.19) т--..ч -. з=.,'Р+ 'С *. получаем Следовательно, волновой пакет в первом приближении движется бес изменения формы. Скорость есо движения определяется дифференцированием по условия постоянства аргумента функции в правой части (8.16): с(соо — (х — — "с)=0.
(8.17) с(/со Она называется групповой скоростью волнового пакета и равна 6Э падтварждания волновых свойств корпускул 1 9. Экспериментальные р, = ср( ~р + тусе = сэр~Е = = с'тр/(тс') = а (8.20) Групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы. свойства которой описываются посредством этих волн Сравнение (8.20) с (8.9) приводит к весьма важному универсальному соотношению между фазовой и групповой скоростями волн де Бройля: арр„= с~.
(8.21) Формула (8.20) наводит на мысль прелставить частицу в виде волнового пакета. Такая идея кажеэся очень привлекательной, потому что в одном образе объединяет волну и частицу, но она несостоятельна. Несостоятельность гипотезы волнового пакета. Главный аргумент против этой гипотезы заключается в следующем. Частица является стабильным образованием.
В процессе своего движения частица как таковая не изменяется. Такими же свойствами должен обладать и волновой пакет, претендующий представлять частицу. Поэтому надо потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою пространственную форму или по меньшей мере сохранял свою ширину. Однако именно этим необходимым свойством волновой пакет нс обладает; только в первом приближении, как это видно из (8.15), он сохраняет свою форму и ширину. Учет следующих членов в разложении (8.! 1) показывает, что волновой пакет с течением времени расплывается и не сохраняет ни свою форму, ни ширину. Причиной расплывания волнового пакета является дисперсия фазовых скоростей составляюгцих его волн, вследствие чего более быстрые волны уходят вперед, а более медленные отстают от волн со средней ско- ростью.
Поэтому представление частицы в виде волнового пакета несостоятельно. Однако такое заключение справелливо лишь для волн, описываемых линейными уравнениями. Для нелинейных волн ситуация другая — возможны уединенные волны («солитоны»), которые пространственно сосредоточены в малой области пространства и распространяются без изменения своей формы и размеров, Хотя солитоны были открыты более 100 лет назад, особенно большой интерес возник к ним в настоящее время в связи с решением некоторых задач квантовой механики. Затем солитонные решения были найдены во многих явлениях, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Солитоны также рассматривались в качестве кандидатов на роль частиц.
Однако достаточно удовлетворительных результатов в этом направлении нс получено. 9. Зксяерямеятвльяые подтверждения воляовых свойств корпускул Оыкыввытев экепервиеоты по проверке врвввпьпоетв преяетеппевпй о волковых евойсзвпх кор. пуекуп. Длина волн де Бройля. Волновые свойства наиболее отчетливо проявляются в явлениях дифракции, условия наблюдения которой определяются длиной волны. Длина волн де Бройля частиц очень мала. Первоначально покоящаяся частица с зарядом е и массой т в результате прохождения разности потенциалов П приобретает скорость с, которую можно определить из закона сохранения энергии, имеющего в случае нерелятивистских скоростей с «с вид э(дтсэ = ееэ', (9.1) 60 2 Волновые свойства корпускул Полярная диаграмма интенсивности отраженного пучка электронов от монокристалла никеля Схема опыта Дэвидсона и Джермера 37 Зависимость интенсивности отраженного пучка электронов от кристалла никеля при изменении их энергии (угол падения пучка постоянен) откуда с = /2е~У/в.
Длина волны де Бройля ) = 2пл! /2елт(т' (9.2) Для электрона е = 1,6 1О 'э Кл, пт=9,1 1О э'кги Х = 550/~/ 1О 'е м = (1,2! /О)нм, (93) где Е~ — напряжение, В. Из (9.3) сле- дует, что при энергиях электронов порядка нескольких электрон-вольт длина волн де Бройля имее~ порядок ! нм, т.е. порядок атомных расстояний в кристаллах. Поэтому волновые свойства электронов при таких энергиях можно обнаружить в опытах по дифракции на кристаллах (см. 2 6), Опыты Дэвидсона и Джермеря. Дэвидсон и Джермер наблюдали отражение электронного пучка от поверхности кристалла. В первом опыте на монокристалл никеля направляли электроны с энергией в несколько десятков электрон- вольт.
Затем, изменяя угол падения электронов на поверхность кристалла, фиксировали изменение интенсивности отраженного пучка. Зависимость интенсивности отраженного пучка от угла скольжения а показана на рис. 35. На полярной диаграмме отчетливо виден максимум интенсивности отражения при угле ао. Во втором опыте при фиксированном угле падения электронного пучка на кристалл измерялась интенсивность отраженного пучка в зависимости от энергии (т.е. от изменяющейся разности потенциалов). Интенсивность пучка отраженных электронов измерялась по силе тока от коллектора электронов К (рис.
36). Результаты эксперимента показаны на рис. 37. Результаты опытов Дэвидсона и Джермера получили объяснение (1927) как проявление волновой природы электронов и дали количественное подтверждение справедливости формул де Бройля. В теоретическом плане анализ дифракции электронных волн полностью совпадает с дифракцией рентгеновских лучей (см. З 6). В опытах Дэвидсона и Джермера дифракция электронных волн наблюдалась по 1 9.
Зкспернментальные подтверждения волновых свойств корпускул методу Брэгга. Атомная структура кристаллов никеля известна из опытов по дифракции рентгеновских лучей. Длина электронных волн дается формулой (9.3), а угол, при котором наблюдается максимум интенсивности отражения, может быть найден по формуле Вульфа- Брэгга. Сравнение полученного результата с экспериментально найденным значением ао позволяет произвести сравнение формулы де Бройля с экспериментом. Формула де Бройля была достаточно хорошо подтверждена. Во втором опыте при неизменном угле скольжения а максимум отражения наблюдается при условии иХ„= 2Ыли а (и = 1, 2, ...).
(9.4) Учитывая (9.2), это соотношение можно представить в виде /лят 1 ф„= ')) и = соим и, (9.5) и ни а /2сти т.е. максимумы отражения отстоят друг от друга на равном расстоянии /О. В эксперименте характер зависимости (9.5) подтвердился (рис. 37), однако наблюдалось некоторое расхождение с предсказаниями теории. Стрелками на рис. 37 показаны положения максимумов по теории. Видно, что между положениями экспериментальных и теоретических максимумов наблюдается систематическое расхождение, которое уменьшается с увеличением энергии электронов.
Систематический характер расхождений между теорией и экспериментом свидетельствует о том, что в теории отсутствуют некоторые существенные факторы. В данном случае при выводе формулы Вульфа — Брэгга не принято во внимание преломление электронных волн. Учет преломления электронных волн. Для вывода электрона из объема металла требуется затратить энергию, равную работе выхода (1.4). Следовательно, при входе электрона в металл его энергия и скорость увеличиваются и соответственно изменяется фазовая скорость волн де Бройля.
Это означает, что на поверхности металла происходит преломление электронных волн. Показатель преломления и волны относительно вакуума равен отношению фазовой скорости с, волны в вакууме к фазовой скорое~и с , в среде: и=се /ае (9.6) Для волн де Бройля справедливо соотношение (8.9), и поэтому (9.6) принимает вид и = с,!с„ (9.7) где ь, и с„— скорости частицы в среде и в вакууме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
