А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если оператор А выражает правило, согласно которому функции и сопоставляется функция и, то это символически записывается в виде о =Аи. (17.1) Если, например, оператор А означает дифференцирование а А= — ° йх то и будет производной от и: д йи с = Аи = — и = йх дх Линейные операторы. Правила, с помощью которых одним функциям ставятся в соответствие другие функции, могут быть самыми разнообразными, т.е. операторы могут иметь самые разнообразные свойства. В квантовой механике для того, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции состояний, используются лишь линейные операторы.
Оператор А называется линейны.м, если для любых функций и, и и, из рассматриваемого класса функций и для любых постоянных чисел а, и а, выполняется равенство А(а,и, + ахи,) = а,ли, + атАии (17.2) Сумма и произведение операторов. Если для любой функции и Си = Аи -> Ви, С,и = А,и — В,и, Сти = Ат(Вти), (17.3) то С, С,, С, называются соответственно суи,мой операторов А и В, разностью операторов А, и В, и произве- 106 4 Основные положения квантовой механики Алгебраические свойства суммы и разности операторов аналогичны алгебраическим свойствам суммы и разности чисел; можно группи рова! ь слагаемые, изменять их порядок и т.
д. Но алгебраические свойства произведения операторов значительно отличаются от алгебраических свойств чисел: произведение операторов зависит от порядка сомножителей в этом произведении: АВИВА, (! 7.5) т.е, произведение операторов, вообще говоря, некоммутативно. Рассмотрим пример, когда в качестве оператора А берется умножение на координату х, а в качестве оператора В— оператор дифференцирования, т.е. А = х, В = фдх, тогда АВ = хам/дх и д г( ВАи = — хи = и + х — и = (1 + х — ) ц йх дх дх г) д Поэтому АВ = х —, ВА = 1+ х — и дх дх б х — =АВ с1х б ~1+х — =ВА. дх (17.6) Коммутирующие и антикоммутирующие операторы.
Операторы з и В называются коммутирующими, если их произведение не зависит от порядка сомножителей: чВ = ВА. Если для двух операторов з и В выполняется равенство АВ = — ВА, то эти операторы называются антикомл!утируои(ими. Оператор АВ-ВА называется коммутатором операторов А и В и обозначается следующим образом; А — ВА = гА, В). (17.7) Антикоммутатором операторов А и Дением операторов А2 и Вз: С=А+В,Г,=А,— Ви~ =А-,В,. (17.4) В называется оператор гА, Вз, = АВ+ ВА. (17.8) Собственные значения и собственные функции линейных операторов. Если в резульгате применения оператора А к некоторой функции и получается та же функция и, умноженная на некоторое число х, то Аи = ).и.
(17.9) Если функция и непрерывна, однозначна и конечна, то она называется собственной функцией оператора (, принадлежащей собственному значению ).. Число 7 называется собственным значением оператора А. Обычно оператор и его собственное значение обозначаются одной и той же буквой. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор А является линейным дифференциальным оператором, то, как доказывается в теории линейных дифференциальных уравнений, его спектр може~ быть как дискретным, т.е.
состоящим из ряда чисел, так и непрерывным, т.е. состоящим из непрерывно~о множества чисел, заключенных в некотором интервале значений. Может случиться, что часть спектра буде~ дискретной, часть-непрерывной. Линейные самосопряженные (эрмитовы) операторы. В квантовой механике применяются не любые линейные операторы, а лишь самосопряженные, или эр иитовы, операторы.
Оператор А называется самосопряженным, если для любых двух функций и и с !о*Аиды= )иА*с*бЕ (17.10) где интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных, совокупность дифференциалов которых обозначена с(К 17 Основные сведения из теории операторов Важнейшее свойство самосопряженных операторов, обусловливающих их применение в квантовой механике, состоит в том, что собственные значения самосопряженных операторов являются действительпымн числами. Доказательство этого положения следует из равенства (17.!0). Пусть г( будет самосопряженным оператором, а и — собственная функция, принадлежаптая собственному значеию ) . Тогда Аи = ).и, или А*из = 7 еие.
Приняв в (! 7.10) р = и, имеем г.)иеиг))г= Хт)иьит))г (17.1!) или (17.12) т.е. собственное значение Х самосопряженного оператора А является действительным числом. Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т, е, интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения олной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю.
Пусть и„и и -собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным зна- ЕЗ Функцией называется правило, по которому числу сопоставлвется число, а оператором называется правило, по которому функции сопоставляется функция. Собственные значения зрмитовых операторов вещественные числа Собственные функции зрмитовых операторов, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Что такое вырожденные собственные значениях Чем отличаются условия нормировки для дискретного и непрерывного спектров собственных зкаченнйт Что такое полнота системы собственных функций линейных операторовт чениям ).„н х„.
Тогда высказанное утверждение может быть математически записано в виде равенства )иьи г1!'=. О (гп ~ и). (17.! 3) Докажем это утверждение. Собственные функции и„и и удовлетворяют уравнениям Аи„= г.„и„, Аи = ). и, (17.14) причем ).„и ). — действительные числа, поскольку оператор А является самосопряженным. Из условия само- сопряженности (17.10), записанного для и„ и и в виде )изАи г))'= )и А*нег(г', (17.15) с учетом (17.14) следует, что (~. — 7,„) ) гг„*и„г) )г= О, (17.1б) Так как ). ~)„, то получаем (!7.!3), что и требовалось доказать.
Условие самосопряженности произведения двух самосопряженных операторов. Пусть операторы А и В само- сопряженные, т. е. удовлетворяют условию (17.10). Учитывая самосопряженность оператора А,имеем )стАВиг))г= ) (Ви) Аьтьг)К (17.17) Из условия самосопряженности оператора В следует ) (Вгг) АерМГ'= ) (Аьсз)(Ви)т))г= = ) иВеАесМК (17.!о) Таким образом, ) с АВид)г= ) иВ А пьг(К (17. 19) Отсюда видно, что произведение двух самосопряженных операторов является самосопряженным оператором только в том случае, когда эти операторы коммутируют. Нормировка собственных функций. Собственные функции определяются лишь с точностью до произвольного постоянного множителя.
Этот множитель можно подобрать так, чтобы собственные функции были нормиро- 108 4. Основные положения квантовой механики ваны на единицу: ) и„"'и„бр= !. (! 7.20) Полнота системы собственных функций. В теории линейных операторов доказывается, что система собственных функций широкого класса линейных операторов является полной ортогональной системой функций, т.е. не существует функции, которая была бы ортогональной всем функциям системы. Исходя из это~о утверждения доказывается, что любая функция, удовлетворяющая весьма широким математическим условиям, которые в физических приложениях. как правило, выполняются, может быть разложена по полной ортогональной системе собственных функций линейного оператора, т.е, представлена в виде бесконечного ряда и = а,и1 -~- а,и, + ...
+ а„и„+ ..., (17.2!) тле а„ вЂ постоянн числа, называемые коэффициентами разложения. Эти коэффициенты разложения могут быть найдены путем умножения обеих частей равенства (17.2!) на собственную функцию ие и интегрирования но области изменения переменных. Ввиду условия (17.13) все ин.гегралы справа, за исключением члена с номером б обращаются в нуль, а интеграл от произведения и,'и, на основании (17.20) равен единице. Поэтому для коэффициента а, в (17.21) получаем а,. = ! и,*и д !'. (17.22) Отметим, что собственные функции могут нумероваться не одним индексом, а некоторой совокупностью индексов. В этом случае в выписанных выше формулах под индексами, которыми обозначают собственные функции, следует понимать совокупность индексов, а суммирование в (!7.21)— как суммирование по различным совокупностям индексов.
Условия орто- гональности (17.!3) и (17.20) можно записать в виде единой формулы: (1 (и = т), и„"'и,„д!'= о„ (17.23) (О (и ~ е). Если и и га означают некоторую совокупность индексов, то л = ~п понимается как равенство соответствуюгцих индексов из совокупностей, обозначенных а и и.
Вырожденные собственные значения. Пусть одному и тому же собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколько. В этом случае данное собственное значение называем вырожденным. Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но ортогональны другим собственным функциям, принадлежашим другим собственным значениям. Однако с помощью процесса ортогонализации (см.
!) 21) собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, всегда можно подобрать так, чтобы они были ортогональны друг другу. Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра неко горые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений ).. Собственную функцию, принадлежагцую собственному значению )., обозначим ихп причем предполагается, что число ).
изменяется непрерывно. Условие ортогональности (17.13) собственных функций, принадлежагцих различным собственным значениям, полностью сохраняется для непрерывного спектра: 4 17. Основные сведения нв теории операторов 109 )и*,иди!'= О (?. Ф ?.'). (!7.24) Однако нормировать собственные функции непрерывного спектра на единицу, как в дискретном спектре, нельзя, по~ому что интеграл от квадрата модуля собственной функции непрерывного спектра обращается в бесконечноствк Ж,О) = (17,25) Поэтому собственные функции непрерывного спектра нормируют с помощью дельта-функции -( 0 (?, Ф 0), 8(?.) = сс (?. = О), (!7.2б) причем я ) 8(л)О = 1. (!7.27) Основное свойство б-функции, которое легко доказывается с помощью ~еоремы о среднем, состоит в том, что для широкого класса функций ) (?.) выполняется ранено~во 0 [?.
ввс (а, Ь)1, )7"(?.') Ь (?. — л') Ы' = ()(Х) [?. внутри (а, Ь) !. (17.28) Таким образом, б (?.) является предельным случаем некоторой функции, которая стремится к нулю во всех точках ?., отличных от нуля, а вблизи нуля стремится к бесконечности так, что интеграл по области, включающей нулевую точку, равен единице. Вместо условия ортонормированности (17.23) для дискретного спектра в случае непрерывного спектра имеем ) и,* и,, с(!'= 6 (?.
— ?.'). (17.29) Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид и = ) ал ивд?., (17.30) причем коэффициенты а„теперь со- (17.32) причем коэффициенты а„и а, определяются формулами (17.22) и (17.31). Суммирование и интегрирование в (17.32) распространено на всю область изменения соответствующих переменных. Формула для суммы произведений собственных функций. Из формулы (17.21) для разложения произвольной функции по системе собственных функций может быть получено важное соотношение для суммы произведений собственных функций. Подставляя (17.22) в (!7.21), находим и(х) = 2 а,и,(х) = = 2 )и,*(х')и(.т')Йх'и;(х) = = (дх'и(х'? [,Г и,*(х') и,(х)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
