А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 64
Текст из файла (страница 64)
творил возмущений ное сечение рассеяния в телесный угол с)П = 2кейпее)О ЙХ ( ус ч~2 Йа) с)ст = — = 2 4, (41.54) Х . ),4хсогн)) 2/ йпе (Е/2) что совпадает с формулой (14.7), полученной по классической теории. Таким образом„первое борновское приближение для рассеяния на неподвижном кулоновском центре дает результат, совпадающий с результатом классической теории.
Пример 412. Пространственный ротатор с моментом инерции ) и электрическим дипольным моментом р помещен в однородное электрическое поле у. Рассматривая электрическое поле су как возмущение, вычислить первую неисчезающую поправку к основному энергетическому уровню ротатора. Направляя полярную ось У сферической системы координат вдоль вектора й, можно энергию возмущения записать в виде К= — р й= — рд'созе. Волновые функции пространственного ротатора и собственные значения энергии определяются формулами (28.16) и (28.22). В частности, для основного состояния У' = 1у' /4н, Е'„" = О. Первая поправка к энергии находится по формуле (41.12): Поэтому надо вычислить вторую поправку по формуле (41.20). Прежде всего учтем, что матричные элементы энергии возмущения между основным невозмушенным состоянием и другими невозмушенными состояниями равны 2чч Р)оо = Р)оо = ) ) У)оо» У)си й)п ЫЕ4 Р = оо = — 0)сй)г)3 ) рыб„о, где использовано условие ортонормированности для шаровых функций.
Отсюда по формуле (41.20) находим ~ р оо ~2 ~ р оо!2 Е)2) = ~-'~. Е)о) Его) Е)о) Его) о о ( е)2 — —.г. )ГР 42. Стационарная теория возмущений в случае вырожденных собственных значений Излагае)са метод получении приближенных собственных значений не зависашего от времени оператора Гамилв гона и соответствующих собственных фунаний в случае вырожденных собственных значений.
Ортогонализапия собственных функций, принадлежащих вырожденному собственному значению. В случае вырожденных собственных значений поправка вычисляется к собственному значению, которому принадлежит не одна собственная функция, а несколько. Как известно, собственные функции, принадлежащие одному и тому же вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу. Однако всегда можно выбрать ортогональные функции с помощью процесса ортогонализацин. Пусть функции Ч)мой,, Ч)ф, ..., Чг)о)1, принадлежат вырожденному собственному значению Е'о) и не ортогональны между собой. Очевидно, что любая линейная комбинация этих собственных функций Чг)о) ч „Ч)го) уй) ю является также собственной функцией, принадлежащей тому же собственному значению Е)о). Козффи- 1 42.
Стационарная теория возмущений 239 циенты и. в формуле (42.1) могут быть выб)5аны так, что функции Чног будут ортонормированными. Еслг( записать условие ортонормированности функций Ч'1ог., то число уравнений относительно коэффициентов а„и получается меньше, чем число кдэффициентов. Следовательно, этим уравнениям можно всегда удовлетворить, построив тем самым ортонормированные собственные функции Ч' о,' . Поэтому при вычислениях можно всегда предполагать, что собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортонормированы. Рассмотрим ортогонализацию в случае двукратного вырождения. Пусть неортогональными собственными функциями, принадлежащими одному и тому же собственному значению, будут функции Ч' и Ч' (они иг иг нормированы на 1).
В соответствии с формулой (42.1) можно написать для искомых ортогонализиро ванных функций следующие выражения: Чг„,=а, И Ч' +а„Ч' Пользуясь тем, что число условий, налагаемых на функции в процессе ортогонализации, меньше числа коэффициентов, имеющихся в нашем распоряжении, можно положить а, =- 1, а„и = О, т. е. принять Ч', = Ч' . г огда условие ортого- нальностй функций Ч'„ и Ч'„ дает "г уравнение )Ч'„',Ч'„,ахт(, т(г = а ... + +а„,и (Рй,Чн ДхйУа =О, из которого следует, что а, и е 'гиг = — Са„, где С = )гри,Ч' дхйусЬ.
Поэтому а последний неизвестный коэффициент а„ и определяется из условия нормирогвкги функции Ч'„: "г *г 'г Снятие вырождения. Пусть собственное значение Е'о' вырождено. Обо- значим (42.2) ортогонализированные собственные функции, принадлежащие этому собственному значению. В разложении (41.4) каждый член, соответствующий вырожденному значению, заменяется суммой членов по всем волновым функциям, принадлежащим этому собственному значению. Например, вместо члена п = нг, согласно (42.2), имеется сумма членов; (42. 3) Уравнения (41.9а, 41.9б) приобретают следующий вид: С1о1 (Е1ог Е1о1 ) 0 С)ог (Е1о1 Е1ог) С(о1 Еог+ Сог Его1— и и (42.4) (42.5) и=1 Эта система уравнений относительно коэффициентов С'ог имеет нетривиальное решение, еслй ее определитель равен нулю. При записи определителя одинаковые у всех вели- Из (42.4) получаем С о,' = О О = 1, 2, ...
г), С);1=0 ( = ). Следовательно, вместо (42.5) нахо- дим систему уравнений; 240 9 Теория возмущений чин индексы т для упрощения отбра- сываем: "1 2 ч 2 (42.8) Это уравнение 1-й степени относительно Е"'. Решив его, найдем вообще говоря, различных поправок к собственной энергии: Е'„" = Е",', Е>>1, ..., Е>'>.
(42.9) Поскольку возмзушение 1> предполагается малым, Е' > малы. Таким образом, вместо одного вырожденного значения энергии получается ряд близких уровней энергии: при наложении возмущения вырожденный уровень энергии Е'о' расшепляется на ряд близких уровней, определенных в первом приближении формулой Е Е>о> + Е>1> (> ! 2 (42.10) Это означает, что вырождение снимается.
Снятие вырождения может бы>ь как полным, так и частичным. В последнем случае вырождение после наложения возмущения остается, но имеет меныпую кратность, чем первоначальное. Каждому значению Е",' ( !' = = 1, 2,..., !) уравнения (42.8) соответствует решение (СД о>, С'„о„' 0>,..., С>о> о>) уравнения (42.7). Найдя >' решений'этого уравнения. получим !собственных функций нулевого приближения с учетом возмушения. Каждому уровню энергии Е, (> = 1, 2, ..., Я соответствует в этом приближении собственная функция (42.!2) аии причем в сумме отсутствуют члены, соответствуюшие рассматриваемому вырожденному уровню энергии, поскольку соответствующие величины Р „, равны по условию нулю.
С другой стороны, уравнение (41.96) для членов С!» при й М л> имеет вид С!» (Е<о> Е!о>) > Р С>о> 'Г ! С>о> (42 13) Ф> где СГ> при и Ф и> обращается в нуль. Следовательно, 1'„ ЕЕ>о> поэтому уравнение (42.12) принимает вид *у Приравнивая определитель из коэф- фипиентов при С „,. в (42.15) к нулю, получаем уравнение для определения второй поправки ЕЯ'. (42.14) + + С>а>»>~у>а> (42 ! !! Может случиться, что матричные элементы переходов К „„между состояниями одной и той'же'энергии равны нулю.
Тогда поправка первого порядка Е'" к энергии равна нулю и необходимо вычислить поправку второго приближения. В этом случае уравнение (42 4) и его решение (42.6) остаются без изменения, но вместо (42.5) надо взять уравнение второго приближения (41.9в). Для рассматриваемых коэффициентов СЙ. оно имеет вид 1 43 Нестнционарння теория воамущвний 241 1'„. „)г„ Решения этого уравнения дают поправки к невозмущенным уровням энергии и приводят к снятию вырождения, если поправки Е"' первого приближения равны нулю. 43.
Нестаивоварная теория возмущений Излнается метол нахожления волновых функ- ний зависяпгего от времени уравнения Шгрелин- гера, «огна оператор Гамильтона явно зависит от времени О(оз Ч о(г В О г' ду (43.2) предполагаются известными. Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия. Представим искомую волновую функцию Ч'(г, г) в 16 ис Постановка задачи. В стационарной теории возмущений рассматривается постоянно существующее возмущение. Нестационарная теория возмущений позволяет изучить процесс появления возмущения. Поскольку в этом случае полный гамильтониан (включающий возмущение) зависит от времени, энергия не сохраняется и поэтому стационарных состояний не существует. Следовательно, в этом случае задача о нахождении поправок к собственным значениям энергии не возникает.
Задача состоит в приближенном вычислении волновых функций уравнения ) Ьд — —.— — й'~')Чх(гд) = р(гы)Ч'(г, у), еду (43. 1) в ко~ором г'(г, у) — зависящее от времени возмущение. Волновые функции ЧгГ'(г, г) стационарных состояний, удовлетворяющие уравнению виде разложения по волновым функ- ц и я м Ч г ~ о > ( г ! ) Ч' = 2 С„(1)Ч"„о' (43.3) с коэффициентами С„(г), зависящими от времени. Подставляя (43.3) в (43.1) и учитывая (43.2), получаем — - д,— "Ч"„о' = ,''г Рс Чик~'. (43,4) о ду Умножая обе части (43.4) на Чног и интегрируя полученное равенство по всему пространству, находим ЬдС вЂ” —,— ' = ~ р.„(у)с„, (43. 5) где (у) = )Чяо1 (г у) РЧио'(г у)с(хдус1и (43лб) 5Чг"Ч'дхдудг = ~: ~ С„|' = 1. (43.7) Покажем, что если условие (43.7) выполнено при каком-либо одном моменте времени, например начальном, то оно выполняется и при любом последующем моменте времени.
Для доказательства умножим (43.5) на С* и просуммируем по т: — т~ С.* —" = 5' Р.„С„"С„. (43.х) Б „дс„ — матричные элементы оператора возмущения, вычисленные с помощью собственных волновых функций невозмущенного уравнения, зависящих от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
