А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Уравнение (43.5) является точным уравнением и называется уравнением Шредингера в представлении взаимодействия. В разложении (43З) коэффициенты С„(у) изменяются так, что нормировка волновой функции на единицу сохраняешься. Докажем это. Запишем условие нормировки: Отсюда (43.1б) 242 9 Теория возмущений С другой стороны, умножая комплексно сопряженное к (43.5) уравнение на С и суммируя по и, получаем Б дС* с)с = ,'г" Р'" СЯС„= ',Г )с„* СЯС„, (43.9) где последнее равенство — результат изменения обозначений индексов суммирования.
Вычитая почленно (43.8) из (43.9), находим <<1<„ — — 'ГС'С = '~ С*С„(1'„* — )г „). (43.10) Если оператор возмущения эрмитов, то 1'„е = Р'„ и, следовательно, правая часть равенства (43.10) обращается в нуль. Значит, ',г С„*С = сопя<, (43.! 1) что и требовалось доказать, Таким образом, условие нормировки (43.7) с течением времени сохраняется. Вычисление поправок к волновым функциям. Уравнение (43.5) можно решать по методу последовательных приближений, взяв за величину первого порядка малости возмущение и'. Представим коэффициенты С в виде Си = С'е'+ С"'+ С'„г'+..., (43.12) где коэффициент С'„г' имеет тот же порядок малости, что и возмущение 'и', коэффициент С г' является величиной второго порядка малости относительно возмущения и т.д.
Подставив (43.12) в (43.5) и приравнивая между собой величины одинакового порядка малости, получаем систему уравнений я с)С<с" « — =5'р С<" ! 0< (/<=0,1,2,...), (43.13) в которой СГ' определяются из начальных условий. Пусть в начальный момент времени, когда включается возмущение. система находилась в стационарном состоянии, описываемом функцией Ч'<е'. Тогда С<о< = х (43.14) так как в начальный момент в разложении (43.3) имеется лишь один член номера и =)г. Уравнение (43.13) для нахождения первой поправки принимает внд я с(С<„« — — — "=~(У „8„, = 1',.
С«>(0 = — — Р,(0 с)с. о Итак, волновые функции первого приближения найдены. Аналогично могут быть вычислены и последуюшие приближения. Пример 43.1, Найти вероятность поглощения фотона атомом, находяшимся в электромагнитном поле. Для электромагнитного поля в вакууме в отсутствие зарядов запишем и"(г,с) = — дА(г,О,<о<, В =г1«А. При У А = 0 имеем сггА <угА — — — = О. сг ясг Монохроматическая плоская волна круговой частоты в описывается формулой А(в;г,0 = 2Ар(в)созйс г — вс+ <р„) = =*(в)(ехр[<0< г — вс+ ср )~ + + ехр1 — <()с г — вс+ <р )1).
Если в = )сс, то е = — 2вАе(в)зсп(1с г — со<+ <р„), 1 43. нестационарная теория еоамущений 243 В = — 2)б х А„(в)аш()б. г — вг + бр„). При квантовом описании электромагнитного поля объемная плотность энергии равна йа)т"(а)/1', а прн классическом она дается выражением (а Ф+ д/~па)/2 = = 4г. вгАга(а)йпг(1б-г — Он+ бр ), откуда средняя объемная плотность энергии за период и„= 2еаагАОг(в).
Приравняем ее БвЯ(а)/Р: Аог(а) = БМ(а)/(2а сеР). Плотность потока энергии 1(ог) = 2аев'АО(в)с = ~М(а)дв/)с) с= гг с. Гамильтониан бесспиновой частицы Н = Г1/(2,)1 (р — дА)г + д р. Для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом 2е потенциал = — с.е/(4хаег) и, следовательно, при наличии внешнего электромагнитного поля ГгдР Г 1 7ег -) — — — = ~ — ( — гтгР + еА)' — — ~ Чг. г дг (.2ги, 4каат Кулоновская калибровка обеспечивает коммутируемость операторов Ч и А: ГУ (А'Р) = (Ч А) 'Р + А (7бР) = А (ЧФ).
Тогда имеем: Б дЧ' / Ьг Лег (ед — —,— =~ — — (Гг — — — — А Р+ г дг 2г», 4яаг а, ег ,(г Чб В слабых полях квадратичный по А член весьма мал по сравнению с линейным и им можно пренебречь. Используя (43.1), где т г Й г Уе 2ги, 4яааг' запишем м (ед Р(г, г) = — — А. т. ги Пространственная часть собственных функций ЧХО' (г, г) уравнения (43.2) дается соотношениями (3039), а временная часть представляется множителем ехр( — (Е„г/Б), причем собственное значение энергии дается формулой (30.24б). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны.
При расчетах (см. 9 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надо рассмагривагь как самостоягельное. Если при г = 0 атом находился в состоянии Ч',(г,г), то для амплитуды вероятности того. что он в момент г находится в состоянии Ч'„(г, г), имеем 1 С"'(г/ = — — ) (Ч' 1А У!Ч',)е 'б)Г', »гт О где в~„= (Š— Ет)/Ь и (Ч'„)А.7(Ч' ) = )Чг~~(г)А РРе(г)йхйуб)г. Пусть излучение почти монохроматично и сконцентрировано в узком интервале частот Ла вблизи максимальной частоты со . Тогда А(г,г) = ) А (в)(ехргг((б г — Он+ бр )) + Ь + ехр1 — г()б г — Он+ бр )3)б)а, сбн(г) = — — ) ехр(гбр )(ч' (ехр(г)б г) х »1„ х АО(а).7('Р„)б)а) ехр(г(а „вЂ” в)Г3с)Р— О е — — ) ехр( — Йр„)(Ч' /ехр( — Й г) х »г б х АО(в) .
7) Ч' ) б(а) ехр(1(а + а) Г] й'. О В общем случае продолжительность 244 9. Теория возмущений Задачи В гамильтониане изотропного гармонического осциллятора, рассмотренного в залаче 6.6, добавляется возмущение У= хху(Х константа). Найти первую поправку к энергии первого возбужденного уровня. Простой гармонический осциллятор, колеблющийся вдоль оси 22 находится в основном сосо оянии. Прн г = 0 включается электрическое ноле с напряженностью д (г! = = Еоехр( — ггт) вдоль оси, приводящее к появлению в гамильтонианс возмущения !'= =- — дхл(г) Определить вероятность того, что осциллятор будет найден в возбужденном состоянии при г оо К гамильтониану !27 1) линейного осциллятора добавляется возмущение пхг.
Найти поправки первого и второго порядков к энергии с помощью теории возмущений. Получигь ~очное решение задачи при наличии возмущения и сравнить с приближенным. К гамильтоннану (27 !) добавляется возмущение бх'. Найти первую и вторую поправки к энергии. Найти поправку первог.о порядка к уровням энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме [см. рис. 55, формула (26.6)], если имеетс~ возмущение У(х) = 0 при 0 < .х < а/2 и У(х) = Уо при а/2 < х < а.
Найти поправку АЕ к энергии Е, основного состояния электрона в атоме напорола, обусловленную учком гравитационного взаимолействия протона массы т, и электрона массы в„. Гравитагшонная постоянная С = 6,672 !О " Н м' кг 9.2. 9.3. 9ай 9.5. Ответы 9.!. + 25/(2,„/ед). 92. у~в 8т~/[2вйв(т~в~ 9 1)].
93. (и+ '/г)пй/(вв); — (и+ + '/ )пй/(2вв), (и е '/ )й„/вг + 2п/в. 9* 0; — (30п' + 30п + 11) ()гаг/(8тзв). 95. !'„'2. 9.6. /зЕ/Ег = 8 8 ° 10»о импульса излучения много больше периода 2л/ш„, световой волны, излучаемой атомом прн переходе р- нь Очевидно, что Сгг! (7) близко к нулю для всех частот цз, которые не очень близки к со,. При ш = щ первый член С!г! (!) отличен от нуля, а второй пренебрежимо мал.
В этом случае Е = Е„+ Ьш, следовательно, первый член описывает поглощение фотона (Е ) Е„). При ш = — щ, Е = Š— лш отлйчен от нуля второй член, а первый равен нулю. Следовательно, второй член описывает испускание фотона (Е < < Е„). Поскольку для заданных т,гэ эти две ситуации взаимоисключающие, каждый нз процессов может рассматриваться отдельно с помощью соответствующего члена Сц' (г). Кроме того, надо учесть, что излучение иск огерентно и, следовательно, прн расчете интерференцно нные члены отсутствуют. Вероятность нахождения системы в состоянии нг в момент времени г равна 2Рг (С!'г(!) ~' = —, ~ 0(в)г (!*в — в,)г)в, гл» а, (2(га) = ((Чг„,~ехР(гтг г) Ао(оз) г/~ Чг) ~г, /(г,в — в „) = = 71 — соз [(в — в„г)Г])/(в — в„,).
Функция /' имеет очень острый и узкий максимум при ш = ш„а. Поэтому в СИ! (!) пределы ннгегрнрования можно растянуть от — со до + со и использовать теорему о среднем в максимуме подынтегрального выражения: 2ЛР' ~ СЯ!(!)!г = —, 2(в,) г. Вероятность М„, поглощения фотона с1,, 2лег 9 „„= — !СЫ!(/)!'= —,0(еэ „). И» 44 45 Эффект Зеемана 47 Эффект Штарка 48 50 Теория дисперсии Мультиппетная структура термов атомов и линий излучения как результат спин-орбитального взаимодействия Эффект Пашена — Бака Взаимодействие двухуровневого атома с когерентнмм резонанснмм излучением Динамика спина в переменном магнитном поле Комбинационное рассеяние ВЗАИ МОДЕЙСТВИ Е АТОМА С ЭЛЕКТРОМАГНИТ- НЫМ ПОЛЕМ В лияние внешнего электромагнитного поля на атом сводится к изменению энергетических уровней и состояний атома, а также свойств симметрии соответствующих волновых функций.
Общий подход к рассмотрению вопросов взаимодействия атома с электромагнитным полем состоит в том, что атом и электромагнитное поле рассматриваются как единая система, для которой уравнение Шредингера решается подходящими в конкретной ситуации методами. 246 10 Взаимодействие атома с электромагнитным лолам 44. Мультиплетиая структура термов атомов я линий излучения как результат спин-орбитального взаимодействия Рассматривается тарактер связи мультиллетности спектра с особенностями спин-орбитального взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
