А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 69
Текст из файла (страница 69)
энергия атома не зависит от орбитального квантового числа 1. В общем случае вырождения по 1 нет, а при заданных квантовых числах (л, 7) наблюдается вырождение по магнитному числу дг(т = О, +1, +2, ..., +1) всего 2! + 1 состояний. Однако в этом случае различные волновые функции, принадлежащие вырожденному состоянию (л,(), обладают одинаковой четностью и матричные элементы энергии возмущения равны нулю. Следовательно, первая поправка, линейная относительно напряженности поля, равна нулю. Смещение квантовых уровней пропорционально е'г. Этот эффект называется квадратичным эффектом Штарка.
Величины смещений уровней энергии находятся в результате решения (42.16). Р 48 Взаимодействие двухуровневого атома с когврвнтным рвзонннсным изпучвнивм 267 48. Взвнмоденетвне двухуровневого атома с когерентным резонансным излучением Опнсывастся квантовая картина поведення двухуровневого атома в иоле когере1иного резонансного нздученнн. Двухуровневый атом. Наиболее простая ситуация при взаимодействии электромагнитного излучения с атомом возникает тогда, когда можно считать, что излучение влияет лишь на два состояния атома, а его влияние на остальные состояния пренебрежимо мало. Ясно, что возможность такого полхода обусловливается как свойствами энергетического спектра и состояний атома, так н свойствами излучения.
Для этого необходимо. чтобы излучение было достаточно когерентным, ширина линий излучения была достаточно малой и, кроме того, центральная частота от линии излучения находилась в резонансе с частотой квантового перехода между соответствующими энергетическими уровнями. т.е. выполнялось условие оу = (Е,— — Ет)/и, где Е, н Е, » Е, — собственные значения энергий квантовых состояний атома. Если выполнение этага условия оказывается достаточным для того, чтобы можно было пренебречь взаимодействием излучения с другими квантовыми состояниями атома, то атом рассматривается как двухуровнев|т|й.
Для упрощения расчетов пренебрегают также конечностью времени когерентности, считая излучение монохроматичным с частотой оу, поскольку учет конечности ширины линии излучения при выполнении условий, обеспечивающих возможность рассматривать атом как двухуровневый, тривиален. По тем же соображениям волну можно считать линейно поляризованной. 17 |Ч Ураннение Шредингера. Длина электромагнитной волны много больше размеров атома, и поэтому во всем обьеме атома напряженность электрического поля волны может быль принята постоянной и равной 4у = сХ соз(оут). (48.1) Потенциальная энергия электрона в электрическом поле напряженности Е равна в'= — 4г.
гв = — Уг. Жосан(гпт) (|( = — к). (48.2) где начало координат помещено в центр атома и г радиус-вектор электрона. Взаимодсйствием электрона с магнитным полем волны пренебрегаем, поскольку оно имеет релятивис-|.- ский порядок малости по сравнению с элек гричсским взаимодействием. Обозначив оператор Гамильтона для элек~рона в атоме в отсутствие внешнего поля Й1 ', запишем уравнение Шредингера в атоме при наличии внешнего поля (48.!) в виде йт)Чг(г, |) — — — — = гуты| + Р(т)1 Ч'(г, с), (48.3) | дт где г(т) = — чг Росоз(ои) (48.4) — оператор энергии взаимодействия, соответствующий классическому выражению энергии взаимодействия (48.2).
Волновые функции стационарных сОстОянии Ч',(г) и Ч',(г), ОтнОся- шихся к рассматриваемым уровням энергии, удовлетворяют уравнениям Шредингера, независимым от времени: Е Чт = О|о|Ч' ЕтЧтт = 7(1о|Чг (48 5) Волновые функции Ч', и Ч', ортонармированы. Волновую функцию Ч'(г, |), удовлетворяющую (48.3), ищем в ви- де абв 1О. Взаимодействие атома с электромагнитным полем Чт(г, О) = а, (!) Ч', (г) + аг(!) Ч'2(г).
(48.6) Подставляя (48.6) в (48З), получаем Бйат Бйа, !' й! !' й! = а,(Й"'+ Р) Чт, + а,(Й'"+ Р)Ч'г. (48.7) Умножая слева (48.7) на Чтт, и Ч'г и интегрируя обе части равенства по пространственным переменным с уче- том условия ортонормированности функции Ч', и Ч' 1Ч', Ч'гйхйуй = бо, (48.8) находим Бйат — — — =аЕ+а)' +ан й! 1 1 1 11 2 12 (48.9) ~ й а2 — — — — = а, Рг, + а! Ег + аг(ггг (48. 10) ! й! к! ° = 1 Ч1;! )' Чт! йх йу йг (48.
1! ) — матричные элементы оператора г'. Рпненне уравнения Шредингера. Уравнения (48.9) и (48.!0) упрощаются, если )2„= 0 и !'„= О. Это обусловлено свойствами симметрии волновых функций Ч', и Ч' . С учетом (48.4) выражение (48.11) может быть записано в виде )'» — — даесое(ет!) ) Ч'е(г)гЧ2(г)йхйуйг. (48.12) Поскольку функции Ч', обладают определенной четностью и, следовательно, Ч',*(-г)Ч',.(-г) = Ч',*(г)Ч',.(г), замечаем, что ), Чтг (Г) Г Ч',. (Г) й Х й у йг =- О (48.13) н поэтому с учетом (48.12) !'„= О, )222 = О.
В результате этого уравнения (48.9) и (48.10) упрощаются: байр! — — — =аЕ+а)! г тг ! р! (48. 14) Бйаг а! ! 21 + а2Е2' Для решения этой системы уравнений перейдем к новым неизвестным функциям Ь,(!) и Ьг(!) по формулам а!20 = Ь,1!)схр( — !Ет!/Ь) (! =- 1,2). (48.15) Уравнения (48.14) принимают вид ЬйЬ1 — — — = Ьг!',2ехр [ — !(Ег — Ет)276 2= ! й! = Ьг !',г схр( 'ег!) ЬОЬ2 — — — ' = Ь, Рг, ехр [!'(Е, — Е,) т/Ь1 = — гт = Ь, !221ехр(!ет!), (48.16) где Е, — Е, = Бта. Учитывая, что собственные функции определяются лишь с точностью до фазового множителя, можно всегда подходящим выбором этого фазового множителя сделать матричные элементы (48.12) Вещественными числами н положить !'„= 1'„= 2лгг соя(ет!) = л!2(е' ' + е !"'), (48.
! 7а) (48.18) Величина П, имеющая размерность с ', в уравнении (48.18) определяет скорость изменения Ь, и Ь . При не очень больших амплитудах Ке электрического поля волны она достаточно мала по сравнению с ат. Это означает, что решение уравнения (48.18) представляет сравнительно мед- где 2Ьт2) = — !!тто ~ Чтт (г)гЧ!г (г) йхйуй2 = = — дде) Ч'2(г)гЧ21(г)йхйуйг, (48.!76) а множитель 28 введен для удобства.
Подставим (48.17) в (48.16): йЬ, ! — =йЬ2(! + е " '), й! .йЬ2 ! — = 22Ь,(1+ е" '). й! 49 динамика спина а переменном магнитном лоле ййВ р = — сьтГ г равно (р) =)Ч«*рЧ'ь)хс)удх = = р, а,па+ р,а ао где рв = 1«Ч«~рЧ«,ь)ХС)уь)2. ~т (48.22) (48.23) (48.24) ленное изменение Ь, и Ь, на которое накладываются быстрые колебания с частотой еь. От этих быстрых колебаний можно избавиться, произведя усреднение уравнения по периоду 2я/ьа, в течение которого Ь, и Ь, изменяются незначительно и могут считаться постоянными. В результате усреднения получаем ь)Ь, ь)Ь2 йЬ2 т йЬ2 (48.19) ь) ь т(ь где (е 2'"') = О. Представление решения этих уравнений в виде Ьт(ь) = соя(йг), Ь,(ь) = — ьа(п(йь) (4820) обеспечивает нахождение двухуровневого атома при ь = 0 в состоянии Ч',, поскольку Ь,(0) = О.
С учетом (48.20) и (48.15) можно вместо (48.6) написать Ч' (г, ь) = сов (й, ь) е ' "' Ч', (г)— — Ьап(йь)е ' "' Ч',(т), (48.21) Очевидно, что Ч'(г, ь) нормировано на единицу. Обсуждение физического содержания решения. Из (48.21) следует, что с течением времени электрон переходит из состояния, описываемого волновой функцией Ч',, в состояние Ч',. Вероятность обнаружить его в состояниях ! и 2 в момент в~смени ь равна соответственно сов (Йь) и яп2(Йь). Таким образом, электрон с частотой Й осциллирует между состояниями. Среднее значение дипольного мо- мента Учитывая, что р,2 = р„и значения ат и ая по (48.22), можно представить (48.23) в виде (р) = — рьтяп(2йь)ап(еьь).
(48.25) Следовательно, дипольный момеьп осциллирует с частотой внешнего поля волны ьа, а амплитуда этих осцилляций изменяется сравнительно медленно с частотой 2Й. Максимального значения дипольный момент достигает в тот момент времени, когда соз (Йь) = яп (Йь) = = 1ь' '2. 49.
Динамика спина в переменном магнитном ноле Описывается «вантоввя Лиаамика спина в переыеииом магии!иом поле Постановка задачи. В 9 38 был построен оператор спина и с его помоьцью полносгью рассмотрено движение спина в постоянном магнитном поле, которое сводится к его прецессии. Проекция спина на направление индукции магнитного полн является интегралом движения. Изменение направления спина на обратное не происходит. В переменном магнитном поле картина движения спина коренным образом изменяется и возможно изменение его направления на обратное.
Спин в магнитном поле имеет два энергетических состояний и, следовательно, является двухуровневой системой. Все двухуровневые квантовые истемы обладают рядом общих свойств, которые, в частности, были рассмотрены в 9 48 на примере двухуровневого атома. Спин в переменном магнитном поле ведет себя аналогично двухуровневому атому в переменном электрическом поле. 260 10 Взвнмодвйотвив атома с злвктромвгннтным полем Будем считать, что составляющая магнитного поля по оси У постоянна, а составляюсцая в плоскости ХУ изменяется со временем: В =- В + В"'(с), (49.1) где на основании (38.6) Всос 2га (!В'„'! + сВсс! Всос (49. 5) В последуюсцем для упрощения написания формул учтем, что — дВ((2ас) = ей((2ас,) =- р — магнетон Бора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
