А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Решение уравнения. Решение уравнения (49.4) ищем в виде ! Ч'( с) ) = а,, (с) / ?, + ) + а (с) с ?, — ), (49.6) где )?, + ) и )?, — )-базисные функции в собственном представлении оператора спина (см. (36.2Н. Подставляя (49.6) в (49.4) и принимая во внимание (36.2), получаем В!1 а, где В"' = (О,О,Всв!), В" '(с) = [В'„"(с), В',сс(с),О1. (49.2) Оператор Гамильт.она для спина в магнитном поле определяется формулой (38.4) и имеет вид Й= — (сЬсслнвсос+ Всс!) й (49.3) Оператор спина я выражается формулами (36.5) — (36.7). Напомним, что формулы (36.5) — (36.8) дают представление спина в базисе собственных векторов его ?-ссроекций.
Уравнение Шредингера. Зависящее от времени уравнение Шредингера с гамильтонианом (49.3) имеет вид Ад — — — Ч'(с)) = Й Ч'(с)), сйс Рв В!! В Во! Тогда — — — = (св Вс"а, + В'„" — сВ'„" а. (49.8) — — — — = 1св Вс„"+ сВсс' а, — В'"'а Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что индукция магнитного поля в плоскости ХУ описывается формулами Вс!' = Во !сов(отс), В'," = Всо~сзсо(осс). (49.9) Отсюда Ь"„" + сВ'„о = В!в!с [сов(ен) + ссйп(отс)) = = Вв"ехр(+ сто!). (49.10) Введя обозначение р В',о' = Е, представим уравнения (49.8) в виде Ь с(а, — — = Еа, + рв Вон ехр( — стас) а с' с(с (49.11) Ьс)а . — — — = 1!в В!в (с С)а, — Е с с(с Для решения (49.11) перейдем к новым неизвестным функциям Ь, (1) и Ь (г) по формулам а,(с) = Ь,(с)ехр[ — сЕс/Гс'3 а (с) = Ь (с)ехр[сЕсссВ1. Полезно сравнить (49.12) с (48.15) н с последующим ходом решения уравнений в 9 48.
Подставляя (49,12) в (49.11), находим Ь с(Ь, — — — = (св Всв'секр [ — йвс — 2Есй)Ц Ь с с)с (49.13) Ь с)Ь = 1свВсв~сехр[с(вт — 2Ес%)сЗЬ,. с)с З 50 теории дисперсии Особенно просто эти уравнения регпа- ются при гп = 2Е,%, (49. 14) когда они приобретают вид с(Ь, г)Ь ! — = йЬ, г' — = йЬ„ (49.15) г(! с(! где й = (ги оо гйг. (49.16) Решение уравнений (49.15), удовлетворяющих начальному условию Ь (О) = О, задается формулами Ь, = яп(й!), Ь = г соз(й!). (49.17) В решении (49.17) можно добавить еще общий произвольный множитель, который по условиям нормировки функции (49.6) на единицу полагаем равным единице.
С учетом (49.17) и (49.12) волновая функция (49.6) принимает свою окончательную форму: 1Ч'(!) ) = яо(й!) ехр( — гЕг%)1Ж + ) + 4 гсозйгехр(ге!уй)~е, — ). (49.18) Вычисление средних значений оператора спина проводится аналогично тому, как это сделано в 9 38 (см. (38.13), (38.15)). В результате вычислений средних в состоянии 1чр(!) ) находим: (з,) = (%72) [з(пг(й!) — созг(й!)) = = ( — Гг,г2) соз(2й!), (49,19) (т„) = — (Ьг2)згп(2й!)яв(2Ег!Ь), (49.20) (з„) = (Ь!2)з!п(2й!)соз(2Егггя), (49.21) Препессня спина.
Формула (49.19) показывает, что У-проекция спина осциллирует с частотой 2й между положительным и отрицательным направлениями. Из (49.20) и (49.21) следует, что в плоскости ХУ проекция спина вращается вокруг оси л. с частотой 2Е(1! и модулнруется по величине с частотой 2й. Это означает, что спин осуществляет прецессионное движение вокруг оси У с частотой 2Е/й и одновременно изменяет с частотой 2й угол между «своим направлением» и осью л.. Так образуется аналогия между движением спина в магнитном поле и движением гироскопа, на который действует момент внешних сил, стремящихся изменить угол прецессии гироскопа. 50. Теория дисперсия Даетск постановка задачи теории дисперсии и решение соатветствуюшей квантоваеаеканической задачи Задача теории дисперсии.
Из классической электродинамики известно, что показатель преломления и среды связан с диэлектрической восприимчивостью и среды соотношением 2 (50.1) причем к связано с поляризованностью Р и напряженностью электрического поля Е равенством Р = ивов, где е -диэлектрическая постоянная. Однако поляризованность Р равна сумме дипольных электрических моментов р отдельных атомов, находящихся в единице объема: Р=~р. (50.3) Электрический момент р каждого атома можно разбить на две части: Р=рг =Рг Здесь первая часть не зависит от напряженности внешнего поля и ориентирована беспорядочно, так что вклад от этой части в сумму (50.3) равен в среднем нулю.
Вторая часть р, индуцируется внешним полем и 262 1О. Вэаимодейстаие атома с электромагнитным попем направлена по напряженности поля: Рт = ааоа (50.4) где а-атомная диэлектрическая восприимчивость. Подставляя (50.4) в (50.3) и сравнивая результат с (50.2), находим >с = Ма, (50.5) где М-концентрация атомов. Задача теории дисперсии заключается в вычислении показателя преломления л, т. е. величин а и х. Нахождение волновой функции.
Считая падающий иа атом свет монохрома~ическим, а длину его волны— много большей размеров атома или молекулы, можно электрическое поле световой волны в атоме (или молекуле) представить в виде Я = сро соа(ол). (50.(>) При решении задачи поле световой волны рассматривается как возмущение, причем, очевидно, энергия возмущения равна И= — с7>>о г сот(сос) (с) = — е). (50.7) Действие магнитного поля световой волны на движение электрона имеет порядок а/с и в нерелятивистском случае перенебрежимо мало. Тогда уравнение Шредингера йд т7>о> Ч> рч> (50.8) ! >7! где г>>со> — невозмуп!енный гамильтониан, собственные функции которого Ч"„о' и собственные значения Е„'о' известны. Пусть до момента ! = О, когда на атом начала действовать световая волна, он находился в стационарном состоянии Ч"„о'(г). Решение Ч'„(г, !) уравнения (50.8) будем искать в виде Ч'„(г, !) = Ч'со>(г)е ' ' + /'„(г)е 'с ~ "' + + ср„(г)е ' ° '"", (50.9) где со„= йтко>/Б, а функции /„и ср„ считаются того же порядка малости, что и возмущение.
Подставляя (50.9) в (50.8) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем ес '[Ь(о>„— со) — (сс '1/„+ е кы [)!(о>„+ со)— >!со>19> ф,',г[(е> с > е-сис)/21>рсо>(г) (50.10) Приравнивая между собой члены при одинаковых экспоненциальных множителях, находим для определения /'„ и ср„следующие уравнения: [в(о> о>),фо>1/. ( /2)4 . гЧпо>(г) (50.1!а) [В (о>к + со) — Фо>) ср — — (4/2) Фо. гЧ'со'(г) (50.1!б) Представив искомые функции в виде Чссо> (50.12а) (50.12б) р =ХВ Ч>с." и подставляя эти выражения в (50,11), получаем Чссо> (сг/2) Во гЧ>со>(г) (50.!За) В>Х(со — со + о>)В Чсс'> = = — (4/2А'ч'Г>(г). (50.
! Зб) После умножения (50.13) на Ч"„о' и интегрирования по всему пространству с учетом ортонормированности функций находим уравнения для определения коэффициентов А„и Вм: »(о>„— сос — со)А„> — — — (с)/2)ссо гасо', (50.14а1 Г>(со„— сок+ о>) Вм = — (9/2)суо. гсо> (50 14б) где гсо> )Ч>со>гЧссо>с)хс)ус)а (50.15) 1 50.
Теории дисперсии — матричные элементы радиуса-вектора г. Решение уравнений (50.14) выражается формулами А. = — 80'р~о>>[27>(в,— а)1, (50йба) В. = ~ГО ' р)~Я2)>(в.» + в)1, (50.! бб) где а„„= а„— в„— собственные частоты излучения атома, р'„0' = 9г'„ог> — матричный элемент вектора электрического дипольного момента. С учетом (50. ! 6) и (50.12) выражение (50.9) можно записать в виде Ч>„(гд) = Ч»о>(г) — (2Ь) >ЕЛО'р>о> х [ е>ги е О 1 ~℄— в в„+ в у»>у Чио> у>о> (20)- > т())> Чио> Чио>+ + )у» Ч»о> Ч~>о>) где )г„'„= р „80[ем'фо„— в) + е-> с((в ! в)гг (50.
! 9б) (50.19а) получаем р>0> (2Д)- >~(И/ р>О> > )У» р>0>*) (50.20) Чтобы перейти к величине х [см. (50.2)), необходимо произвести суммирование по всем молекулам, находящимся в единице объема. При (50. ! 7) Атомная диэлектрическая восприимчивость.
Чтобы вычислить коэффициент атомной диэлектрической восприимчивости по формуле (50.4), необходимо найти электрический дипольный момент системы, ипдуцируемый световой волной. Для э>ого необходимо определить р„„= 9)Ч'»(г,>)гЧ'„(г,й>)хаус(г (50.!8) с точностью до величин, линейных по Юо. Учитывая, что где и „= у» .
Принимая во внимание, что г„+ Г„" = 4в„сох(вг)((в„' — в'), (50,22) можно выражение (50.21) переписать: о гр Х>) (У Х г г 80 сое (в>) В г г О (50.23) При выводе этой формулы была допущена непоследовательность, которая заключается в следующем. Учтено, что направление вектора вдоль электрической напряженности поля (ось у) является выделенным и закрепленным в пространстве. Собственные же функции, с помощью которых вычислялись матричные элементы, найдены относительно некоторых осей, твердо закрепленных относительно атомов.
Однако, поскольку атомы ориентированы произвольно относительно выделенного направления, среднее значение квадрата координаты вдоль выделенного направления ничем не отличается от среднего значения квадрата координаты в любом другом направлении. Учитывая, что (уг) (хг) ( г) (гг)(5 (у)=-(х)= (:) =О, (50.24) этом результирующий момент единицы объема буде~ направлен по электрическому вектору световой волны, поскольку это направление является единственно выделенным. Пусть для определенности электрический вектор световой волны направлен вдоль оси У. Тогда из (50.20) найдем В = Р, = )9(р„„)„= >,<о> [,7(2В)1ц(У + У» )и ! >о>1г) Г„= е»" Дв„— в) + е >"'/(в„+ в),(50.21) 264 10 Взаимодействие атома с электромагнитным нолем Отрицательная дисперсия ',) ~~>0 вм ч гя 1 ь 87 Аномальная дисперсия имеем (2)тег то )т 1г) 38 в- -в4 (50.25) где в „= — в„и принято во внимание равенство (50.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
