А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Собственные функции и собственные значения залаются формулачи (30.39а) и (30.24а). Электроны мокнут находиться в различных состояниях независимо друг от друга. Распределение вероятностей местоположения электронов независимо друг от друга и для каждого электрона совпадает с распределением вероятностей в водородоподобном атоме, Полная энергия равна сумме энергий электронов. Энергетические уровни каждого из электронов совпалают с энергетическими уровнями водородоподобного атома.
Однако такая сравнительно простая картина существенно изменяется, если принять во внимание взаимодействия электронов и их спины. Тождественность различных электронов. Электрон является точечной частицей с определенной массой и олином. Все физические свойства различных экземпляров электронов аналогичны друг другу. Поэтому если один из электронов заменить другим, то в любой ситуации ничего не изменится. Обменное вырождение. Волновая функция (52.7) представляет решение уравнения (52.5) с собственным значением энергии Е = Е, + Е,. Очевидно, что из-за идентичности электронов ничего не изменится, если электрон 2 поместить в состояние а, занимаемое электроном 7, а электрон! — в состояние Ь, занимаемое электройом 2, т.е.
ничего не изменится, если электроны поменять местачи. Слеловательно, волновая функция, получающаяся в резуль~ате такой перемены мест электронов, также является решением уравнения (52.5). Таким образом, наряду с волновой функцией (52.7) решением уравнения (52.5) будет вол- новая функция Ч'(2, 1) = Ч',(2) Ч',(1), (52.1! ) принадлежащая тому же собственному значению Е = Е, + Е,. Непосредственная подстановка (52.11) в (52.5) показывает, что это действительно так. Таким образом, имеются две волновые функции, принадлежащие олному и точу же собственному значению, т.е.
собственное значение энергии вырождено, что является резульгатом идентичности электронов. Это вырождение называется обменным. Симметрия волновых функций. Из тождественных электронов следует, что плотность вероятности найти первый электрон в т.очке г„ а второй — в точке г, равна плотности вероятности найти второй электрон в точке г„а первый — в точке г,. По- этому 1Ч'(1, 2)~~ =- ~'Р(2, 1)(~. (52.12) Тогда лолжно соблюдаться одно из равенств: Ч'(1, 2) = Ч'(2, !) (52.13) либо Ч'(1, 2) = — Ч'(2, 1), (52.! 4) т.е. волновая функция должна быть либо симметричной, либо антисимметричной.
Волновые функции (52.7) и (52.11) непригодны для описания движения электронов с учетом их тождественности, потому что они не обладают определенными свойствами симметрии, т.е. они не являются ни симметричными, ни антисимметрич ными. Однако с их помощью можно построить искомые симметричные и антисимметричные функции.
Уравнение (52.5)- линейное дифференциальное уравнение. Поэтому сумма его решений с произвольными постоянными коэффициентами явля- !! 52 Атом гелия 27З ется также решением. Следовательно, функции Ч'! !(1 2) = 'Р (1) Ч'ь(2) + Ч',(2) Ч'ь(1) (52.!5) !(! 2) = Ч' (1) Чть(2) — Ч'„(2) Ч!ь(1) (52.16) также решения уравнения (52.5), удовлетворяющие требованиям, налагаемым на волновые функции, т.е. волновые функции. Но в отличие от (52.7) и (52.!1) волновые функции (52.15) и (52.16) обладают определенными свойствами симметрии: Ч"" (1, 2) — симметричная волновая функция, Ч" '(1, 2)-антисимметричная. Поэтому эти функции в принципе при! одны для описания движения электронов с учетом их тождественное! и.
Выше обсуждалась тождественность электронов. Но, конечно, различные протоны также тождесгвенны друг другу, различные нейтроны также обладают свойством тождественности и т.д. Поэтому все сказанное выше о тождественности электронов и выводы из этой тождественности относятся также и к другим элементарным частицам. В частности, для описания системы элемен гарных часгиц пригодны не любые волновые функции, а лигць волновые функции с определенными свойствами симметрии: либо симметричные, либо анти- симметричные. Какие конкретно, т. е.
симметричные или антисимметричные, функции должны быть взяты для описания т.ой или иной элементарной частицы, зависит от ее спина. Очевидно, что волновые функции (52.15) и (52.16) принадлежат одному и тому же собственному значению Е = Е„+ Е,. Однако такое утверждение не справедливо, если учитывается взаимодействие между электронами. Обменное вырождение и симметрия волновых функций с учетом взаимодействия между электронами. При наличии взаимодействия между электронами их волновая функция уже не может быть представлена в виде произведения волновых функций каждого из электронов, т.е. в виде (52.7) или (52.11) или в виде их линейных комбинаций (52.15) и (52.16). Благодаря э~ому обменного вырождения при учете взаимодействия между электронами нет. Свойства же симметрии волновых функций (52.13) и (52.14) должны сохраниться и при учете взаимодействия между электронами, поскольку э! и свойс! ва симметрии являются следствием тождественности частиц, которые сохраняются и при наличии взаимодействия.
Однако при наличии взаимодействия симметричные и антисимметричные функции принадлежат различным собственным значениям. Волновые функции электрона с учетом спина. Физические свойства спина, оператор спина и вектор спина были подробно рассмотрены в () 34, 36, 38 н 49. Поскольку в этом параграфе все расчеты проводя гся в х-представлении, вектор спина будем называть волновой футгкцией спина и обозначать У~ь(!'), У '(!') (! = 1, 2, ...), где !'-номер электрона, к которому относится волновая функция; У"- волновая функция спина, проекция которого на выделенное направление (обычно ось Л) положительна (равна й/2); У ' — волновая функция с от рицательной проекцией спина на выделенное направление.
Обозначим пь, квантовое число проекции спина (гп, = + гг). Спин электрона слабо взаимодействует с его пространственным движением. Если Ч'.(1)-волновая функция электрона, описывающая его про- "а74 11. Многоапектронные атомы странственное движение, то полная волновая функция с учетом спина имеет вид Ч',(1) У'(11 или тг,(1) У '(1) (52.17) в зависимости от ориентации спина. Спиновая функция двух электронов может быть представлена как произведение спиновых функций отдельных электронов. Очевидно, что из двух спиновых функций электронов можно в принципе образовать следующие произведения: У "(1) У "(2), (52.18а) У "(1)У '(2), (52.18б) У '(1)У "(2), (52.18в) У '(1)У '(2).
(52.18г) В случае а) проекции спинов обоих электронов положительны, в случае б) проекции спина электрона 1 положительна, а электрона 2 отрицательна и т, д, Из-за тождественности электронов можно заключи~ь, что волновая функция должна обладать определенной симметрией, т.е. быть либо симметричной. либо антисимметричной. Из (52.18) только функции а) и г) обладают определенной симметрией — являются симметричными функциями относительно перестановки электронов.
Функции же б) и в) не обладаю~ определенной симметрией. Однако из них можно образовать симметричную и антисимметричную комбинации: У г~(!)У 82) ! У ~(2)У 1(!) (52.19) У"(1)У '(2) — У"'(2)У '(1). Таким образом, окончательно получаем следующие спиновые волновые функции: а) симметричные функции гл = лг,'" + гп',. ' 5 У ' '(1) У '(2) 1 (52.20а) У''(1)У"'(2)+У"(2)У '(!) 0 (52206) У '[1)У '(2) — 1 (52.20в! б) антисимметричная функция У "(1) У"'(2] — У "(2) У '(1) О.
(5220г! В 8 37 уже говорилось о сложении векторов спинов с учетом пространственного квантования, чтобы получить полный спин системы электронов. Проекция полного спина на избранное направление равна сумме проекций спинов: огт = го'," Ч аг', ', (52.21) Указанные в формулах (52.20) квантовые числа щ, получаются непосредственно по (52.21) с учетом определения волновых спиновых функций. Из формулы (37.22) следует, что квантовое число 5 полного спина двух электронов может быть либо О, либо 1. Спрашивается; какие из волновых функций (52.20а)-(52.20г) принадлежат полному спину 1 и какие принадлежат к полному спину О? Прежде всего ясно, что функции (52.20а) и (52.20в) принадлежат полному спину 1, поскольку при полном спине 0 невозможны проекции спина, отличные от нуля.
Эти функции симметричны. Если полный спин 1 описывается некоторыми функциями, то и линейная комбинация этих функций должна описывать полный спин 1. Но линейная комбинация, чтобы стать волновой функцией, должна обладать определенной симметрией, а это возможно лишь тогда, когда составляющие ее функции обладают одинаковой симметрией. Отсюда следует, что все функции, описывающие в данном случае полный спин 1, должны обладать одинаковой симметрией. Поэтому функция (52.20б) ч 52.
Атом гелия 276 принадлежит так же, как и (52.20а) и (52.20в), полному спину !. Волновая функция (52.20г) принадлежит полному спину О, поскольку она обладает другими свойствами симметрии. Следовательно, симметричные спиновые волновые функции (52.20а)-(52.20в) описывают триплетное состояние двух электронов (5 = 1), а антисимметричная спиновая волновая функция (52.20г) описывает синглетное состояние двух электронов (5 = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
