Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 91
Текст из файла (страница 91)
б) Покажите, что результаты, полученные для движения капли воды в стоя- чей волне, соответствуют гармоническому движению вперед и назад вдоль прямой линии. 7.30. Предположим, что распространяющиеся в океане бегущие вояны имеют амплитуду 3 м и д>тину волны 10 м.
На ианом расстоянии от поверхности воды вы должны плыть, чтобы амплитуда вашего движения была равна !5 см? О т в е т. Около 5 м. 7.3!. Форма бегущих волн е воде. Предположим, что ф„иыеет вид ф, =- А соз (ие — йх) 7 (у), где !(у) — неизвестная фуннция координаты у. Далее, предположим, что вода не- с кцмасча н не имеет пузырьков. Покажите, что ф„п»рг определяются уравнени- ями (75) и (76) из п.7.3.
7.32. Закон дисперсии для волн и воде (уравнение (72), п.7.3) был почучен при рассмотрении стоячих волн. Каи выглядит закон дисперсии для бегущих волн? 7.33. Закон дисперсии для волн назер«наетнаго натяжения. Поверхность воды ведет себя наи растянутая мембрана. В равновесии натяжение по оси х определя- ется коэффициентом поверхностного натяжения Т вЂ” 72 дин!см, умноженныы ца длину !. вдоль «неинтересного> г-направления (см. рис. 7.5 и 7.6). Если поверх- нпсть выпуклая, то вследствие поверхностного натяжения возникает давление, направленное вниз. Покажите, что для синусоидалшюй волны давление, направ- ленное вппз, равно р=Тйеф .
У' Покажите, что вес воды создает постоянное давление (давление прн равновесии) и дополнительное давление Р = Руфу. Покажите, что вклад поверхностного натяжения в величину возвращающей силы, отнесенной к единице массы и единице смещения (т. е. в величину ы'), ьюжет быть получен из гравитационной возвращающей силы заменой ру на Тй'. Зтим вы дона. жете, что в общем случае закон дисперсии имеет вид ( + Т ) ~! — е-™а~ 7.34.
Плоские электромагнитные волны. Покажите, что для элситромагнитных плоских волн в вакууме уравнения Максвелла, которые связывают Е и В>н «эквивалентны» уравнениям Маисвеляа, связывающим Е„и В, в том смысле, что один набор уравнений может быть получен из другого путем простого поворота системы координат относительно оси г (т. е.
оси распространения) на 90'. Покажите на чертеже ориентацию векторов Е, В и осей х, у. 7.35. Стоячие электромагнитные залпы е вакууме. Покажите, что если Е.(г, !) — стоячая волна вида Е„=А соз ы! соз йг, то Вх (г, Г) имеетформу стоячей волны А з!п ы! ып йх. 7. 30. Выражения для энергии электромагнитных стоячих волн. Предположим, что форма стоячих волн определяется уравнениями задачи 7.35. Найдите плотности электрической и магнитной энергий, а также вектор Пойнтинга хая функции пространства' и времени. Рассмотрите область длиной в»!«й, простирающуюся от узла до пучности Ех.
Постройте график Е„и В, относительно г для этой области в моменты времени (=-О, Т(8 н Т(4. Для этой же области и этих же времен постройте график плотности элехтричесной и магнитной энергий, а также график плотности полной энергии. Определите направление и величину вектора Пойнтинга 3 для этих моментов времени. 349 7.37. Свяэалныв линейные ди4фврекци«мальм уравнения первого порядка двя волн в алрулв. Рассмотрим непрерывную однородную струну с линейной плотностью рь и равновесным натяжением Ть.
В такой струне могут распространяться иедиспергирующие волны со скоростью а= )ГТ«?рь. Введем следующие функции Е» (г, !) ы Е» (г, )); Ет(г г) ~ ° "«(г П~Ы— Т«дф» дф» дг ' « ' » д! Таким образом, Е! равно произведению !/о на поперечную возвращающую силу, приложенную к струне справа от г со стороны струны с»«ева от г, и Е» равно гоперечнаму импульсу, приходящемуся на единицу длины. Покажите, что Ед н Е, удовлетворяют связанным уравнениям первого порядка 1 дГ~ ду«1 дГ~ дуг о д! дг' о дг дг' Покажите, что одно из этих уравнений «тривиальна», т. е. представляет собой тождество. Покажите, что второе уравнение эквивалентно второму закону Ньютона.
Обратите внимание на то, что эти уравнения похожи по форме на два уран»цнии Максвелла, связывающие Е„и В „если Е„заменить на Ео а Вг на Е». Аналоги ~но, одно из этих двух уравнеийй Максвелла может рассматриваться как «тривиальное тождество», если известна специальная теория относительности. 7.38. найдите такие волновые величины Г» (г, !) и е«(г, г) для продал ных волн в струне с грузами, чтобы они удовлетвогяли связанным уравнениям первого порядка такого же вида, как в задаче 7.37. Сделайте то же для звуковых воли и для электромагнитных волн в передающей линии. (В последнем случае связанные уравнения не будут просто похожи по форме на уравнения Максвелла.
Зто будут уравнения Максвелла, записанные через ток н напряжение вместо полей Еки в.) 7.30. Покажите(прямым интегрированием), что значение ып«0, усредненное по всем направлениям, равно»/з. Здесь Π— угол между данным направленьем н фиксированной «полярной» осью.
При интегрировании используйте сферические полярные координаты. 7.40. Миражи на автострад«. Управляя автомобилем в жаркий летний день, можно наблюдать, как далеко впереди появляются водоемы, отражающие небо, нли фары приближающейся машины. Когда вы подъедете ближе, отражения неожиданно пропадут, как только угол отражения (измеренный от поверхности шоссе) станет больше некоторого критического угла. Зги отражения, или «миражи», связаны с полным виутр«нним отражением света, падающего из холодного воздуха (более плотная среда) в более теплый воздух около поверхности шоссе. Более теплый воздух имеет меньшую плотность и меньший показатель преломления, (Напомним, чторазностьлв — 1пропорциональна плотности воздуха.) Предположим, что температура воздуха у покрытия автострады на величину ЬТ больше темпе.
ратуры на расстоянии нескольких дюймов от покрытия. Допустим, чта те»1пе!»а- тура изменяется скачком. Пусть температура холодного воздуха равна 300 К, а скачок температуры АТ около покрытия равен 10 'С. Показатель преломления воздуха л= 1,0003.Пусть ф — критический угол при полном внутреннем отражении, измеренный от покрытия, т. е. ф равно 90' минус угол паденвя, измеренный относительно нормали к покрытию. Считая л — 1«К!, получите формулу рю т(2(л — !)аТ(Т)'« ° эля ф«К1. Если ваши глаза находятся на 120 см выше мостовой, то на каком расстоянии вам покажется ближайший край «водоема с водой»? 7.41. Во»повод.
Внутреынне размеры прямоугольного волновода равны ЗХ!0 ам«. а) Какова самая низкая частота (в Мтд электро:лагнитной волны, которая будет распространяться в волноводе без ослабления? б) Покажите на графике направление ы нзменение электрического поля в этой волне в разных точках волновода. в) Найдите фаэовую н групповую скорости (выраженные в долях с) для волыы с частотой, Равной ?/а самой ыызкой настина волны, РаспРсстРаыиюшейса беэ ослабления. г) Найдите среднюю глубияу проникновения для волны с частотой, равной е/д самой низкой частоты волны, распространяющейся без ослабления.
ай. Коэффициент отражения ддя электрического лолы. Погонная индуктивность в передающей линии аналогична погонной массе для растянутой пружины, а обратная погонная емкость аналогична натнженню струны. Известно, что С= еСээ н Е=РЕэ,„и что фазовая скорость в вакууме равна с. а) ([о аналогий с пружиной покажите, что показатель преломления л равен (ер) Н и что характеристический импеданс Я равен произведению его зпа> чения в передающей вакуумной линии нв ()д>з) Нч Покажите, что коэффициент отражения для электрического поля при переходе из вакуума в среду равен В=[1 — (я/)г)[>>[1+(л>р)[.
Он совпадает с козффициентом отражения для электрического йоля в плоской волне, нормально падающей из вакуума на поверхность среды. б) Теперь выполните с помощью уравнений Максвелла более строгое вычисление коэффициента отражения. Используя уравнения Максвелла и интегрирование по контуру, покажите, что тангенциальиое электрическое поле непрерывно на гравице при условии, что производная дВ/дх на границе не бесконечна. Полагая, что падающая ялектромагннтная волна линейно поляризовзна (электрвческое поле направлено по х), покажите, что Ех>ддд>+Ех>э>р>=Ехгэром .
в) Воспользуйтесь уравнениями Максвелла для средй, приведенными в Д.9. Рассмотрим поле  — 4пМ. Это поле, го определению р, равно В>)г н иазываеггя полем Н. Покажите, что тангенциальная компонента Н непрерывна при условии, что частная производная от Е+4яР по времени конечна. Затем покажите, что для волны, падающей из вакуума, Вэ>ээд>+Вэ>о>р> (1>)д)Вэ<зром>. Теперь восле>гьзуйтесь тем, что Вэ в среде равно пройзведению показателя преломления и ид Е„, и соотношением между В„и Е в падающей и отраженной волнах для полученйя коэффициента отражения й=Ехгэгэ>/Ех>д,д>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
