Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Заметим, что ЛР равно продольной компоненте скорости, умноженной на б('. Поэтому для о ~~ с с хорошей степенью точности мы можем пренебречь ЛГ в уравнении (!31): а(=Ы'+ — = ЛР+ ~~ ж ЛР для — з((1. (132) Таким образом, для о (( с будет пренебрежимо малое наложение интервалов а( и Л<'. В этом случае существует однозначная связь между обнаруженным излучением в момент г и поперечным ускорением заряда в более ранний момент времени (', для всех г излучаемое поле Е„,„(г, 1) будет определяться уравнением (129).
Если известно Е, то известно и В. Теперь будем считать, что уравнение (129) справедливо для удаленной точки наблюдения, когда г практически постоянно. Также предположим, что В„„определяется из соотношения, справедливого для плоской волны. Таким образом, имеем (опуская индекс «изл») В (г, ») = г )~ Е (г, () . (133) Энергия, излучаемая точечным зарядам. Для удаленной точки наблюдения вектор потока энергии 3(г, г) равен Б(г, 1) = — Е )(В= — ~Е(г, Гфг= — ] г =- — (а> (г'))' —, (134) где Э измеряется в единицах зрг.см-* сек-', Поток энергии в зрг х хсм ', проходящий через бесконечно малую площадку «(А, расположенную в точке наблюдения (и ориентированную перпендикулярно г), равен произведению вектора потока 8 на площадь с(А.
Обозначим этот поток энергии через >2Р (Р это мощность в зрг сек ', а «1Р указывает на то, что мы рассматриваем бесконечно малую мощность, проводящую через ЫА): с(Р(г, г)=)8(г, г)(аА +а„'(г) л». (135) Обозначим через 0(Р) угол между мгновенным значением ускорения а(р) в «ранний» момент времени !' и постоянным направлением г из окрестности заряда г7 на точку наблюдения. Тогда, в соответствии с рис. 7.8, имеем (136) а' (Р) = а' (Р) я!п' 0 (!').
Теперь выражение (135) можно переписать так: иР(г, г)= —,а'(г') я!п'0(г ) 4 дв, ., г)А (137) Полная меновенная мои!ность, излучаемая во всех направлениях. Будем считать Р и «фиксированными и проинтегрируем с(Р по всем направлениям г (т. е. по поверхности сферы радиуса г). Если бы в выражение для АР не входил член я!п'О (Р), мы моглн бы совершить интегрирование простой заменой бесконечно малой площади с)А полной площадью 4пга. Однако в выражение для с(Р входит я!пв 0 (Р) и мы должны при интегрировании агА, учесть пзменение я!па О (г') ф«И на сфере. Таким образом, -г' имеем гв!в Ы(р Р (!) = ~~ а'(Г) я!п'О(!'), (138) где р l Рис. т.
!О. сегервяескне полярные координаты. Вссковсяио малая плопгадь ЛЛ в копие радвуса-вектора г, орвевтврованнвя перпендикулярно г, равна г*лв Нов ля, « я )пе 0 (г ) — = ) 5!по О (г ) — . г!А 4лгв (139) Для вычисления этого интеграла введем сферические полярные координаигы (рпс. 7.10). Бесконечно малая площадь г!А представляет собой площадь маленького прямоугольника со сторонами гг40 и г я!и О дгр. Таким образом, имеем иА (гг!О) (г нгп 0 игр) илО Г' (140) Легко показать (см.
задачу 7.39), что я!па О (!') = — . 2 3 ' (141) Приведем короткий вывод этого равенства. Вектор г имеет компоненту г=г соя О вдоль полярной оси. При усреднении г' по всем направлениям 0(г неизменно) мы должны получить такой же результат, что и при усреднении х' и у'. Но для каждой точки на сфере хя+уя+ге= г'. Поэтому г' = г» = х'+ у' + г' = х' (- у«+ г« = Зг' = Зг' соз' О, тогда — «» ! ! 2 соз'О= — — з)п'0=1 — соз'0=1 — = —. (142) зг з' з з' Знаменитая (зормула для излучаемой мои!ности.
Вычислив з и' 0(У), подставим полученное значение в уравнение (138). Получим (143) В соответствии с уравнением (143) излучаемая мощность, проходящая через поверхность сферы радиуса г, в момент !„имеет то же значение, что н мощность, проходящая через поверхность сферы радиуса г, в момент 1„который соответствует тому же «раннему» времени !', что и в первом случае. Зто означает, что справедлив закон сохранения энергии и что энергия переносится со скоростью света. Полученный результат является следствием того, что излучаемое поле обратно пропорционально первой степени г.
Поэтому падающий на поверхность поток энергии !Я~ обратно пропорционален г'. Однако энергия распределяется по поверхности сферы, пропорциональной г'. Зтп два множителя, г - 'и г', сокращаются, и мь! получаем, что полный поток энергии в единицу времени черезповерхностьсферы постоянен и не зависит от радиуса сферы при условни, что распространение вдоль радиуса происходит со скоростью света.
Излучение и поле в «ближней зоне». Оказывается, что точное решение для временной зависимости электрического и магш тного полей движущегося заряда наряду с полями «нзлучения», поопорциональными г ', содержит поля, изменяющиеся пропорционально г ' и г '. На достаточно малых расстояниях последние преобладают. Иногда их называют полями «ближней зоны». Если мы находимся в «ближней зоне» радиоантенны илн атома, то пренебречь этими полямн нельзя. На достаточно больших расстояниях г они становятся пренебрежимо малыми по сравнению с полем, пропорциональным г-', т.
е. на достаточно больших расстояниях они не дают вклада в поток энергии. Однако в «ближней зоне» их вклад в вектор потока энергии 8(г, !) существен. Вклад в $, создаваемый полями «ближней зоны», дает поток энергии, который часть времени распространяется от источника, а часть времени — к источнику, т. е. примерно так же, как в стоячей волне. Таким образом, колеблющийся точечный заряд образует не чистую сферическую бегущую волну, а комбинацию как бегущих, так и стоячих волн, причем стоячие волны преобладают на малых расстояниях, а бегущие— на больших. На детектор, находящийся на большом расстоянии, будут действовать только бегущие волны, в то время как на близко 336 расположенный детектор действуют как стоячие, так и бегущие волны. Определение телесного угла.
Пусть НА — бесконечно малая площадка, расположенная в точке наблюдения г и ориентированная перпендикулярно г. Дифференциал телесного угла а(о', под которым площадка с(А видна из начала координат, равен о((г (144) Телесный угол измеряется в безразмерных единицах, называемых стерадианами (стер). Рассмотрим сферу радиуса г с центром в начале координат. Поверхность этой сферы состоит из очень большого числа очень малых площадок с(А, каждая из которых ориентирована перпендикулярно радиусу-вектору, проведенному из начала координат.
Поэтому каждому элементу поверхности сферы соответствует свой телесный угол. Полный телесный угол, стягиваемый сферой, определяется как сумма (интеграл) всех элементарных телесных углов, стягиваемых всеми элементами поверхности сферы, т. е. Й=) дО=- ~ —., = — ', 4н стер. (145) Приведем другой вывод равенства (145). В соответствии с (149) дифференциал телесного угла о(й в сферических полярных координатах равен дИ =. дор з1 и О дО (140) прп положительных 6р и ИО или Ю =-Йрс((созО) (14?) при положительных с(Ч1 и д(соз 9). Угол 1р изменяется от О до 2и, а угол Π— от нуля до я.
Соответственно пределы изз енения соз О равны — 1 и +1. Полный телесный угол, стягиваех1ый любои замкнутой поверхностью, окружающей начало координат, равен 2:ь ьа О. =) ~И=-) с(1р ) И(созО)=.-(2и) 2=4я стер. (148) о Мощность, излуше.иая в бесконечно малом телеснол1 угле а(1. Мы можем использовать определение телесного угла и переписать уравнение (13?) в более простой форме: ЙР(г, 7) = — +а'(Р) з1п'0(У) — ' . (149) Излучение электрического диполя.
Если движение заряда представляет собой гармоническое движение вдоль фиксированного направления х, то возникающее при этом излучение называется излучением электрического диполя, В этом случае имеем х (У) = х, соз оо1', а (г') = хх (У) = — оуохх (У). (150) 337 Мощность, излучаемая в телесном угле й(1, усредненная за один цикл колебаний, равна ИР(г)= ч <а»(1')>з1п»8— а»«<х' (Е)) з1п» О вЂ” . с» 4л ' Полное значение усредненной по времени за цикл колебаний мощности, излучаемой во всех направлениях, получается интегрированием по телесному углу.
Поэтому мы просто заменим в уравнении (151) а(1 на 4л и з1п» 0 на его среднее значение»!». Получим 3 с' (152) Естестееннал ширина линии, испускаемой атомом. Мы мажем использовать уравнение (152) для получения простой классической оценки времени жизни свободно высвечивающегося возбужденного атома, излучение которого соответствует излучению электрического днполя. Нужно отметить, что результат, который мы получим, совпадет с экспериментально наблюденными значениями, хотя мы и пе используем в своих оценках квантовую теорию. Рассмотрим простую классическую модель атома. Пусть атом состоит из электрона с зарядом д = — е и массой т, который связан с тяжелым ядром «пружиной с коэффициентом жесткости т»»',».
Если в момент времени 1 =- О атому сообщается энергия возбуждения, он начинает колебаться, совершая слабо затухающее гармоническое движение с частотой «а,. (Мы пренебрегаем незначительным изме- пеняем частоты вследствие затухания, т. е. пользуемся величиной о»«вместо со1 =- со1 — '!, Г-".) Энергия атома равна Е(1) = Е,е-н'. (153) Величина, 1/т, обратная времени жизни, равна относительному уменьшению энергии в единицу времени: (154) Энергия Е(1) равна Е(1)= —,т ~ *Я+ —,п 'Я 1 ! (155) Е (1) = та», '<х'>. (156) Теперь предположим, что причиной затухания являются потери энергии на электромагнитное излучение, которое представля- 338 Мы можем пренебречь изменением Е Я в течение одного цикла и замет!ть мгновенные величины в правой части уравнения (155) на средние во времени значения: Е (1) = 2 т«а, '<х' (1) + 3 т (х'Я) = 3 т«а1<х* >+ 2 та»», (х'>, 1 1 1 1 т.
с. ет собой излучение электрического диполя, Излучаемая мощность определяется выражением (152): е(Я 2 е» вЂ” е, = Р = 3 †, еэ,' (х'). (! 5?) Комбинируя уравнения (154), (156) и (157), мы получим естественную ширину (по частоте) линии для света, испускаемого атомом: 1 Р 2 ее ее»~ «Е 3 ее ю (158) Чтобы получить это выражение, мы использовали тот факт, что для затухающего осциллятора ширина полосы частот на уровне половины максимальной мощности равна величине, обратной среднему времени жизни.
Уравнение (158) применимо к любому излучаю;цему диполю, совершающему затухающие колебания, если затухание возникает из-за потерь на излучение. Положим, что атом испускает видимый свет с длиной волны ) ==5000 А=5. 10-' см, тогда ч, =с)е,, =3 10»е)5 10 '=6 1О" ге(. Взяв для е и т значения г=4,8 10 " ед. СГСЭ и т=0,91 10 " г, мьг получаем 3 е» т У 3 '1 (3 1О'е)'(О 91 1О-") 2 е' со' (, 2 / (4,3 1О-'е)»(2п)е (б 1О")е Важно помнить, что для свободно высвечивающегося атома, испускающего видимый свет, «-10-' сек, Рассмотрим еще один вопрос, ответ на который можно получить, зная излучение диполя.
Почему небо синее? Нас интересует зависимость интенсивности рассеянного отдельным атомом света от частоты. Оказывается, что синий свет рассеивается атомом гораздо сильнее красного. (Красный цвет Солнца на закате объясняется тем, что, когда свет проходит через большую толщу воздуха, синий цвет сильно поглощается и остается красный.) Вы можете проделать опыт, демонстрирующий этот эффект.
Возьмите стеклянный шар или банку с водой и лампу. Добавьте в воду несколько капель молока и перемешайте. Направьте пучок света от лампы через воду так, чтобы видеть пучок либо в рассеянном на молекулах молока свете (наблюдение под углом), либо глядя прямо на пучок через воду. Обратите внимание на синюю окраску рассеянного света (при наблюдении под углом) и на красноватый оттенок при наблюдении источника света по прямой линни через банку. Добавляя капли молока в воду, вы будете наблюдать эффект постепенного сгущения «тумана». Рассмотрим электрон в «классической молекуле молока», находящийся в установившемся состоянии колебаний под действием электрического поля бегущей электромагнитной волны, созданной источником света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
