Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Тогда плотность р постоянна и не зависит нн от времени, пи от координат. Поэтому правая часть уравнения (52) равна нулю. Воспользовавшись выражением (51) для скорости ч, мы получаем 0= — —.:= Т ° (оч) =-.0Т ч д(г «г нл!! 0 =- Т ч =- 7 °, — д - ) == д г (1 г(г), г. е )' '«)г = соп51 (53) 2.
О!поугас«ге«е «узырьков. Константа в уравнении (53) должна быгь равна нусно. В противном случае, в соответствии с теоремои Гаусса, интеграл от ф по поверхности маленькой сферы не будет равен игл!о, что может означать только наличие пузырьков. Но мы предположим, что пузырьков нет. Таким образом, мы нашлг, что «сохраняющаясях и несжимаемая вода, в которой нет пузырьков, удовлетворяет уравнению д~ (х, у, г) дг)„(х, у, 1) 3. О«гсуагс«ге!ге водоворотов. Линейный интеграл от скорости по окружности воронки водоворота пе равен нулю. В бесконечно малом масштабе наличие маленьких завихрений приведет к тому (закон Стокса), что ротор от вектора ч не будет равен нулю.
(Чтобы вспомнить понятие ротора вектора, см. т. П, пп. 2.15 — 2.18.) Мы предполагаем, что завихрений пет, т. е. 0 == 7 Х ч = Ч Х д( — д— , (7 Х «(г) 313 ут Алдергум (58) ЗИ т )( ф = х ( — ф — — ф =- сопз1. д (,дх У де Стоячие волны в воде. 1!ы хотим найти форму водяных волн без алгебраических выкладок, с помощью интуиции. Рассмотрим, например, прямоугольный аквариум или другой сосуд в этом роде, Наполним его на 15 — 20 см водой и потрясем осторожно вдоль 1 х, стараясь вызвать синусоидаль- ные моды.
>'(ы обнаружим, что у-д 1 — самая низкая мода выглядит, как — — показано на рпс. 7.5. — -) уаув — Кинув в воду несколько ко- фейных зерен, можно наблюдать у=-д — ' — за движением воды. Нетрудно заметить, что все кофейные зерна покоятся в одпп н тот же момент Рис. уль ни»ма» сииусоидальиса мода и времени и что смещсния х и у прим»уголь»ам а»»ар»у»с. раВНЫ НУЛЮ В ОДНО И ТО жс Врс" мя. Этого и следует ожидать для нормальной моды, т, е.
для стоячей волны. Все степени свободы (движущиеся элементы) колеблются в фазе. Поэтому мы можем предположить, что для достаточно малых колебаний временная зависимость ф, и фр определяется гармоническим колебанием с одинаковой фазовой константой, т. е. членом соз го1. Далее предположим, что зависимость вертикального смещения а)гр от х соответствует синусоидальной стоячей волне. Если мода выглядит, как показано на рис. 7.5, то фи имеет узел в х = О. Поэтому ф„содержит член ейп йх.
Таким образом, по>кем записать фу(х, у, 1) =сов Ыз)п як((у), (56) где 1(у) пока неизвестная функция от у. ГРаничньле УсловиЯ на стенках. Как»Р» зависит от хр На кРалх аквариума частицы воды могут смещаться только вниз илн вверх. Поэтому те места, где фр имеет максимум (стенка), соответствуют узлам»(>„. Таким образом, мы должны иметь соз ях для фи, тогда как для фр мы имеем з(п 11х: »Р»(х, у, 1) = — созгв1созЫд(у), (57) где д(у) пока неизвестная функция от у. Связь между горизонпиу ьным и вер>пикальньгл5 движением. Теперь воспользуемся тем, что с((ч и го( вектора смещения »Р равны нулю.
Легко показать, что из уравнений (55) н (57) следует: т ф=0: — йу(у)+ — „" =01 д1(в) дв рХф=0: ' — ',® — И(у) =0. (59) Продифференцировав по у уравнение (58) и сложив полученное выражение с (59), мы исключим йу1йу и получим — „, — Й'Ду). е'1 Это уравнение имеет общее решение ) (у) = Ае'х+ Ве "е. (61) Аналогичное решение легко получить и для д(у): у (у) =-- Аеех Ве ех.
(62) Граничное условие на дне. Теперь воспользуемся тем граничным условием, что на дне аквариума (озера) нет вертикального движения воды. Условиефв=-0 при у =- — й эквивалентно условию )(у) =— = 0 при у =- — )ь Из уравнения (61) получим В = — А ехр ( — 2)й). Таким образом, имеем окончательный результат для стоячей синусоидальной волны в аквариуме (озере) с постоянной глубиной й: ф =Л совы(з(пйх(е'х — е еле лх), (63) ф„, =- А соз ы1 соз йх (еле + е м"е 'х) .
(64) Уравнения (63) и (64) дают мгновенные значения смещений частицы воды с равновеснылш координатами х, у. Как легко показать из этих уравнений, движение данной частицы в стоячей волне в воде состоит из гармонического колебания вдоль прямой линии в плоскости ху. Это легко увидеть, наблюдая за кофейными зернами в аквариуме. Волны в глубокой воде.
Если глубина й велика по сравнению с длиной волны, то член ехр ( — 2нй) практически равен нулю и мы можем пренебречь вторым членом в выражениях для д(у) и 1(у). В этом случае уравнения (63) и (64) примут вид ф, =- А соз ы1 з) и йх еех, (65) Ф„=- Л зш ы( соз Фх еле. (66) Мы видим, что волны синусоидальны в направлении х и экспоненциальны в направлении у. Глубина проникновения амплитуды б равна 1,Чг или, что то же, Х12п. Величина Х12п называется приведенной длиной волны и обозначается символом )с. Таким образом, для волн в глубокой воде имеем 1(у) =еле =е е ~х ~ =е-~еи". (67) Глубина проникновения для амплитуды (расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз) равна приведенной длине волны.
Поэтому амплитуда колебаний частицы воды, находящейся в состоянии равновесия под водой на глубине одной длины волны от поверхности, меньше амплитуды колебаний частицы на поверхности в ехр ( — 2и) ж 11500 раз. Мы видим, что колебания почти полностью затухают на глубине порядка одной длины волны. На такой глубине движение будет пренебрежимо мало, и мы можем считать, что имеем дело с волнами в глубокой воде.
315 Волны в неглубокой воде. Под такими волнами понимают волны, которые возникают в сосуде (водоеме), равновесная глубина й которого мала по сравнению с К. В этом случае мы можем аппроксимировать зависимость ф„и ф„от у, оставив в разложении в ряд Тейлора функций )" (у) и у(д) только первые члены. Легка показать, что для Ь (( Х уравнения (63) и (64) примут вид пъ.=-2А созга(з)п/гх 1/г(у-~-й)), (66) «р„= 2А соз свГ соз йх. (69) Мы видим, что для такой волны горизонтальное смешение частицы ф«не зависит от ее равновесной координаты д.
Вертикальное смещение ф, меняется лииеино с глубиной частицы, достигая нуля на дне и максимума на поверхности. На поверхности максимальное вертикальное смещение меньше максимального горпзантальнога в .':/Х (( 1 раз. В нашей модели идеализированной воды мы прснебоегли трением воды о грубую поверхность дна.
Для волн в глубокой ваде это упущение несущественно. Для волн в мелкой воде трение играет важную роль, в чем можно убедиться, возбудив стоячие волны в прямоугольной ванночке (см. дамашнии опыт 7.11). Другое приближениезаключается в том, что мы пренебрегли внутренним трением, т. е. вязкостью. Чтобы понять, как сказывается вязкость, выполните какой-нибудь из доз ашних опытов с маслом вмесго воды.
Дисперсионное соотношение для гравитационных волн в воде. й!ы рассмотрели геометрию идеальных волн в воде, но еще ничего пе знаем о соотношении между «формой» (длиной волны п глубиной) и частотой. Чтобы изучить эту связь, нужно рассмотреть возвра.цающую силу, которая действует на воду в волне. (Напомним, чта возвращающая сила, приходящаяся на единицу смещения и на единицу массы, равна св-'. Это — общий результат, справедливый как для гармонических водяных волн, так и для любых других гармонических волн.) При изучении мод в главе 1 мы пришли к выводу, что в данной моде все движущиеся элементы имеют одно значение ы» и чтобы найти соотношение между частотой моды и ес форхюй (если она известна), достаточно рассмотреть движение для одной степени свободы движущегося элемента. В нашей задаче форма волны апреде:жется уравнениями (63) и (64).
Поэтому мы можем рассматривать движение отдельной частицы только в направлении осп х (илп у). Будем рассматривать движение по х бесконечно малого объема воды, расположенного очень близко к поверхности. Рассмотрим небольшой объем воды (рис. 7.6), имеющий в равновесии размеры бх и Лу и длину 1 (по оси г). Пусть размеры Лх и Лу малы по сравнению с длиной волны.
Возвоащающая сила Е«, действующая на объем воды, равна площади 7. Ьд, умноженной на разность давлений в точках х и х+ бх. Разяость давлений определяется произведением рд (плотность воды на ускорение силы тя- 3!б В е-- а) '(), з-ил) (72) Выражение (72) п есть искомое гшсперспоииое соотноше:ше. Ез пего лепю получить дисперсионное соотношение и соответствующ:е фазовь:с скорости для гравитационных волн в глубокой и мелкой воде: Волны в глубокой воде; со'=-д/г, ое —— ) де,, (73) Волны в мелкой воде; ы'-=д/1(н/Х), оэ — — ) д/). (74) Таким образом, гравитационные волны в мелкой воде не диспе;- гнруют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
