Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 81
Текст из файла (страница 81)
(36, Константу л|о;кно спределить, положив й, — -О (при этом ы = ы», и потребовав, чтооы время пробега волноп расстояния «туда и о.- ратно» (от одной боковой полосы до другой и обратно) Т,» рашшлось 2Ь(с. Таким образом, мы получим дисперсиоппое соотпошепп ..
(26). Более высокие моды (т -.-2, 3, ...) мы получим, полагая гр',- ппчнлю частот) га(лмоникой самой низкой гйаничной частоты (ил =- =1): 308 (Зо) П р и и е р 2. Отражение и прохождение света, падаюлиего из стекла в воздух. Это еще один пример двухмерной волны. Предло. ложим, что пространство отг =- — оодо г =- О заполнено стеклом. Прл г =- О стекло кончается, и начинается вакуум (или воздух), который простирается до г-=-+ оо. Можно было бы думать, что вакуум всегда будет вести себя как не реактивная, т. е. днсперсивная, среда. Однако в примере 1 (прямоугольный волновод) было показано, что, когда у пас нет плоских волн (Е„изменялось вдоль оси у и вдоль оси распространения г), волновод при некоторых условия.' становится реактивным (либо оп слишком узок, либо, что то же сз.
мое, частота слишком мала) даже в вакууме. Нечто подобное может происходить при падении света из стекла в воздух, если угол падс. ния становится слишком большим. Это имеет большое практическое значение в оптическом приборостроении, где явление полного внут- реннего отражения позволяет получить 100оУв-нее отражение света, Соответствующий пример показан на рис.
7.3. Рассмотрим подробно, в чем заключается это явление. Волны света удовлетворяют волновому уравненшо как в стекле, так и в вакууме (рассматриваем одну частоту б»). Граница между стеклом и вакуумом находится в плоскости г = О. Вектор распространения к» падающей волны имеет компоненты Йл вдоль х и Й вдоль у, Таким У ооразом, мы имеем двухмерную задачу (примерно ту же, что и для волновода). Геометрические условия показаны на рпс.
7.4. В стекле Оптам» рзс З Отралгение н про»г з»сии згу,еб, падагоп,пз вз сте~ ла з зозз .т. рис. у.б, Приз»га обратного иода, испалазуенан дла ог,.ловсвви светового пучин на ЛО' без потери интенсивности. ветнчпна Й, вектора )»» равна произведению показателя прслсм,сипя »г Па ОтНОШЕПИЕ б»!С, а ВЕЛИЧИНа Й, ВЕКтОРа Кз Ранив ОтНОПЕППЮ б»Г'С: Й, —..- и —, Й, —.— — —, (40) Дисперсиопное соотношение для среды 2 (вакуум) имеет впд (41) Покажем, что Й„должно равняться Й,„.
Мы знаем, пто Й,, равно произведению 2п на число гребней волны, приходящееся на е .лицу длины вдоль оси у в среде 1. То же справедливо и для Й„,, только в среде 2. Будем двигаться вдоль оси д в плоскости г =- О. Число гребней, мимо которых мы пройдем, в стекле и в вакууме должно быть одинаковым.
Таким образом, имеем Йз„— — Йгу = Й» 5(п О = и — 5»п О». (42) Подставляя уравнение (42) в (41), получим — — 51пе О, -)- Й', (43) 509 т. е. имеем дисперсионное соотношение (44) Критическис( угол полного внутреннего отражения. При увеличении угла падения 9, г-я компонента вектора йу будет уменьшаться. В конце концов мы достигнем угла падения, при котором й„равно нулю (предполагаем, что и больше единицы, что имеет место, например, для видимого света в стекле или воде).
Такой угол называется критическиул углом падения. В соответствии с уравнением (44) критический угол падения определяется из условия пя'п 0„, =1. (45) (Для стекла с показателем преломления и =-1,52 получим 0„„-= =41,2'.) При критичесном угле падения преломившийся пучок света касатслен поверхности стекла.
Закон Снеллиуса. Для углов О между нулем и 0„, пучок свеса частично отражается и частично преломляется и проходит в вакуум. В этом случае существует угол О, (рис. 7.4) и соотношение я„, = — й, „ эквивалентно закону Снеллиуса (в п. 4.3 мы ввели его другим способом): й„=А,яп 8,=-п,— яп 8„ с. яц, — — я, яп О, = и, — з! и О,. Положив Йуу Йсу~ получим (46) Полное внутреннее отражение. Для углов падения, больших критических, дисперсионное соотношение получается заменой в уравнении (44) Ф'„на — х,' =— — и'с хг == —, (и'яп'О,— 11, (47) где пз)пО,) 1. В этом случае волновая функция (электрическое или магнитное поле) в среде 2 является бегущей волной в направлении у, но экспоненциальной в направлении г: Ф(у, г, 1) =А соз(сгс — /г у) е-"' (48) где х определяется уравнением (4?), а/ау равно(гсяпО = и (се/с) =.
=яп 8,. Средняя во времени плотность энергии пропорциональна среднему во времени квадрату ф(у, г, с)с Плотность энергии ссе-'"*. (49) 310 В качестве приложения уравнения (47) рассмотрим призму (см. рис. 7.3), меняющую направление пучка на обратное. На боковых гранях призмы свет падает на границу стекло — воздух под углом О, =45'. Этот угол превышает критический угол О„„= 41,2' (для стекла и = 1,52). Поэтому луч света полностью отразятся. Для поля, проникающего в вакуум (оно уменьшается по экспоненте), найдем 8=к-1=- [и~з1п~О 1)-'/в= — ' — 1~ =0,4),, т. е.
на расстоянии нескольких длин волн поле в вакууме станет пренебрежимо малым. Наглядную демонстрацию полного внутреннего отражения мо>кно получить, плавая с маской под водой. Если вы будете смотреть из воды вперед на границу вода — воздух, то увидите, что она блестит, как жидкая ртуть. Это происходит потому, что угол, под которым вы смотрите, превышает критический. Проникновение света через барьер. Если вакуум не простирается до бесконечности, а ограничен второй пластиной из стекла, то в уравнение (48) нужно добавить второй член с положительной экспонентой ехр (+кг).
Таким образом, мы имеем здесь дело с типичной задачей проникновения через барьер. Красивый и остроумный опыт, доказывающий экспоненциальное уменьшение плотности энергии, был выполнен студентом-дипломником Куном из Принстона *). Хотя этот опыт относится к области квантовой механики, он подтверждает результаты классической оптики.
Это один из многих результатов классической оптики, которые сохраняются и в квантовой механике. Кун установил две призмы с воздушным зазором между ними так, что свет (зеленая линия ртути) падал через одну призму на границу стекло — воздух под углом, большим критического. Энергия света, переносимая через воздушный зазор ко второй призме, пропорциональна плотности энергии на поверхности второй призмы. Из квантовой механики мы знаем, что свет частоты со переносится неделимыми частицами-фотонами и энергия каждого фотона равна Фы.
Таким образом, для данной частоты в энергия пропорциональна числу фотонов. Кун измерил плотность энергии, подсчитывая число испущенных фотонов в зависимости от толщины воздушного зазора, н подтвердил предсказанную экспоненциальную зависимость (49). Качественная демонстрация проникновения через барьер и быстрого уменьшения поля в световой волне с удалением от стекла в вакуум легко осуществима с помощью стеклянной призмы нли куба.
Рассмотрим некоторую точку поверхности (через стекло) под углом, дающим полное отражение для линии вашего взгляда. Поднесите палец и расположите его над точкой на некотором расстоянии. Палец будет невидим, так как лежит в запрещенной области, ') О, 1З. С о о п, Аиь 3. Рпуз. 64, 240 (1966), 311 Теперь прикоснитесь пальцем к поверхности. Вы увидите отпечаток пальца. Выпуклости кожи на пальце, соприкасаясь с полностыз отражающей поверхностью стекла, нарушают полное отражение. Впадины кожи не касаются стекла и не нарушают полного отражения. Это выглядит, как серебряные завитки, разделяющие гребни.
Глубина этих впадин имеет порядок нескольких длин волн, т. «. порядок глубины проникновения 6 г и '. Если глубина впадин мены. е 6, поле будет в заметной степени проникать через «барьер между стеклом и кожей, и полное внутреннее отражение буд: нарушено. Этот опыт можно выполнить с прозрачным, наполнегпым водой прямоугольным сосудом вместо куба или призмы. 7.3. Волны в воде Водяные волны наблюдать нетрудно.
В детстве мы следили за нпмь в ва,не, в пруду, озере или море, наслаждаясь их красотой и слани:остью. Теперь мы сможем получить интеллектуальное ас.- ланх;,ение поняв их природу. Это понимание требует упроптенп . П этому пренебрежем некоторыми свойствами реальной воды. 11апрсигр, пренебрежем вязкостью, которая является резу.тьтатом внутреннего трения, (Профессор Ричард Фейнман дал такой идеализирозшшой воде название «сухой» воды.) Ограничимся также рассмотрением волн с небольшой амплитудой. Ь1дем изучать геометрическую структуру и днсперспоинсз соотношение а(л) для волн в воде в рамках рассмотренных упрощений. Все результаты, котооые мы получим, можно проверить иа опытах в аквариуме или в доугом подходящем сосуде.
(См. домашний опыт 7.11.) Пряиыесэлпы, Рассмотрим волны в воде, имеющие определенную длину. Пусть гребни н впадины этих волн образуют параллельныс прямые. Такие волны называются прямылш. Они представляют собой двухмерный аналог трехмерных плоских волн. Предположим, что у нас есть бесконечный водоем постоянной глубины Ь. Когда нет волны, поверхность воды плоская.
Пусть для этой плоскости у = 0 и ось у направлена вверх, а волна распространяется горизонтально вдоль оси х, так что гребни и впадины расположены вдоль линий, перпендикулярных х. Обозначим через х и у равновесные координаты данной частицы воды. Величина х может быть любой в пределах от х= — сю до + оо, а у лежит в пределах от у = — й (дно озера) до у =- О (поверхность), В волне частица совершает движение, которое является комбинацией движения вверх — вниз (вдоль у) и движения вперед— назад (вдоль х). Вектор смещения в прямой волне имеет только х- и д-компоненты: (50) 312 Мгновенная скорость частицы воды с рапновесными координатами х, у равна частной производной «)г по 0 д«ь(х, д, г) д!) дг(г„ (51) Свойсгвеа идеальной воды.
Здесь мы рассмотрггм некоторые свойства идеальной воды. 1. Сохранение массы. При изучении электрического тока (том П, п. 4.2) было показано, что сохринение элегапрического з«ряда выражается «рг:снен! ел не«рсрывноспи Т (Рч) = — д'(, (52) пз которого следует, что изменение заряда в бесконечно мало;л объев е связано с током через поверхность, ограничпваюшую это! объем. В пзшем случае следует заменить плотность заряда р на плотность воды. Тогда уравнение (52) выражает закон сохранения массы. Далее, с хорошеи степенью точности воду можно считать несжго а!иеной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
