Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Описанный метод чрезвычайно чувствителен' ), и телескопы, которые сейчас проектируются, смогут определять столь незначительные компоненты газа в атмосфере звезд как, например, одну часть на 10'. *) Более подробное описание метода модуляцновной спектроскопии можно найти в англниском журнале «Бс)епсс зонгпа!» 1ог Ары! !967: «Ое1есИпй Р1апе(агу С1!с 1гощ Еа«16», Ьу .1. 1.очс!ос!и О. Нйс!»сос16 Р.
Ге!!дсБК з. ап<1 1». Соппеж 1.. Кар1ап, 3. К)пя, р. 66. См, также книгу М. Кардона (Мод).ищнонная спектроскопня», «Мнр», 1972, ГЛЛВА 1 ВОЛНЫ В ПРОСГРАНСТВЕ ДВУХ И ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ 7.1. Введение Волны, которые мы рассматривали до сих пор, были почти всегда одномернымп. Это означает, что они распространялпсь вдоль прямой, которую мы обычно принимали за ось г. В п.
7,2 мы познакомимся с трехмернымп волнами. Для этого будет достаточно совершить поворот координатной системы, используемой для описания плоской одномерной бегущей волны. Таким образом, мы получим трехмерное представление плоской гармонической бегущей волны, Мы увидим, что введение дополнительных координат может означать нечто большее, чем простую замену переменных. Действительно, увеличение числа измерений означает увеличение числа степеней свободы. Например, в трехмерном вакууме электромагнитная волна может быть бегущей волной для одного направления, чисто стоячей для другого н экспоненциальной волной для третьего направления! В одномерном случае экспоненциальную электромагнитную волну в вакууме получить невозможно, так как дисперснонное соотношение а'=сЧгг не может превратиться в соотношение а'= — с'-'кг для некоторого диапазона частот.
Для получения экспонснциальной волны в одномерном случае нам необходимо наличие граничной частоты, т. е. дисперсионное соотношение должно иметь вид соотношения для ионосферы: а'=а,'+с'/г', которое для достаточно низких частот может превратиться в соотношение а*=- =а' — с'х'. о Мы покажем, что в трехмерном случае й — это величина вектора, который называется вектором распространения. Таким образом, дисперсионное соотношение для электромагнитных волн в вакууме имеет внд а'-=-с'(гг,'+)г'„+)г,'). В некоторых случаях можно заменять компоненты/г„' и т.
д. на — й„' и т. д., но всегда следует сохранить положительное значение величины а', имеющей смысл возвращающей силы на единицу смещения и на единицу массы. В качестве примера мы рассмотрим электромагнитные волны в волноводах и полное отражение света. В п. 7.3 мы рассмотрим волны в воде (для идеальной воды) и найдем их пространственную зависимость (поляризацию) идисперсию. (В конце главы приведено несколько опытов, которые легко позволяют получить закон дисперсии волн в воде.) В п.
7.4 при помощи уравнений Максвелла будут объяснены явления, которые мы изучали в главе 4 при рассмотрении волн в передающей линии, образованной параллельныхи! пластинами. В п. 7.5 мы рассмотрим излучение колеблющегося точечного заряда. Полученные результаты позволят решить вопрос о естественной ширине линий видимого света, испускаемого атомом, и объяснить синий цвет неба. 7.2. Гармонические плоские волны и вектор распространения Рассмотрим гаргяоническую и !Оскую бегун(у1о еалну, распрострапяюшу1ося в однородной среде вдоль положительного направления оси г.
Предположим, что в плоскости г'= — О водное;!я функция следующим Образом зависит от време:ш: ф (О, 1) =- А соз ь51. (1) Тогда в любой плоскости, заданной фиксированным значением г', волновая функция будет иметь вид ф (г', 1) = А соз (ь51 — йг'). (2) Выразим эту функцию через обычные декартовы координаты х, у, г.
Будем считать, что начало координат совпадает с плоскостью г'=О. Пусть вектор г = хх + уу+ гх определяет положение точки в пространстве относительно начала координат. Плоскость г' =--сопз1 в системе координат х, у, г определяется уравнением г' =г г' =— =- сопз1, где г' — единичный вектор, задающий направлс*.ше Осн г', Поэтому в уравнщп!н (2) величина )гг' может быть заппса1ш следующим образом: нг' = и (г' ° г) =-(йг') г ==- к г. (3) Вектор расироегираненил.
Величина йг' называется еекторал распространения (с (с = =йг'. (4) Величина вектора к равна 51, а направление, сошшдает с направлению! распространю!И51 Волны. Уравнение ( ) люжпо переписать так: иг = к ' г == а. х . г )ггу + й г (5) С физической точки зрения волновое число й представляет собой число радиан фазы на единицу смещения вдоль направления распространения х', так что йг' равно фазе, приобретенной на расстоянии г'.
Величина й, соответствует числу радиан, атнееенно5яу к единине емеи(ения вдоль оси +х, т. е. вдоль х; аналогичный смысл имеют й„и й,. Предположим, например, что х составляет угол О с г' и что длина волны равна Х. Если продвинуться вдоль направления г' на расстояние Х, то фаза возрастет на 2л. Если перемещение ЭОО происходит вдоль х, то, чтобы г' увеличилось на одну длину волны, мы должны пройти расстояние Л/соз О.
На направлении вдоль х фаза увеличилась на 2л на участке, большем чем Я. в (соз О)-' раз, т, е. можно сказать, что увеличение фазы, приходящееся на единицу длины вдоль х, меньше чем и в соз О раз. Таким образом, проекция вектора й иа направление х (т. е, й» =к х) всегда будет меньше длины вектора в отношения, определяемом косинусом соответствующего угла.
Почелу нет е>шпора длины ео»н>ы? Выясним зто на примере. Приведем кажущееся правдоподобным (однако неверное) рассуждение. Фазовая скорость бегущей волны равна о,» —— -Яч. Мь> хотим описать волну, распространяющуюся в трехмерном пространстве В направлении е'. Вектор длины Волны ь:о>кно было бы определить тзе: ч ь = —.Ялт:=- (Я,г')» = Яли г>дина волны Я, определяется как расстояние между дгумя соседнимп гребнями вдоль г'. Эта величина будет определять модуль «вектора» Я.. Аналогично Я, соответствует расстоянию между соседними гребнимп волны смещения вдоль х. Однако у вектора л есть следующее «ужасное» свойство: Я,больше, чем Я,. Так, если х перпендикулярно г, то вечичина Я,. бесконечно велика, в то время как в случае обычного вектора составляющая по х должна равняться нулю.
Итак, мы но>кем сказать, что Я. не может бьапь еекто/>о,и, поо составляющие вектора не могут быть больше его величины. Плоскость постоянной фазы. Бегущая волна, заданная уравнением (2), может быть записана в следующих эквивалентных формах: >)' (х, >/, г, Я) = Л сов(ы) — А.'г ) =. =- А соз,(«а/ — /г„х — /г, у — !«, ') =- =- А соз (ы/ — к г). (О) Аргу; епт синусопдальной волновой функции называется фазой Ч>(х, !/, г, !): Ч> (х д г /) — ь>/ — д-' = =- ь> / — й х — /»„у — />,г = =ь>/ — й г.
(7) В фиксированный ьюмент времени ! точки пространства, имеющие одинаковые значения ч>, образуют плоскость равной фазы, назьпаемую еолноеыи фронтом: а>р ==а>Ж вЂ” (с >(г, а>р = — Π— й е(г в данный момент, (О) «(р =-О, только если е(г перпендикулярно («. В заданный момеитвременизначениефазы будет постоянно во всех точках, образованных смещением на вектор йг, перпендикулярный 30! направлению распространения (г.
Для всех этих точек йгр=О, и их геометрическое место образует плоскость. Поэтому такие волны называются плоскими. Фазовая скорость. Фазовая скорость равна йг'/йг при фиксированном гр: йгр =- гв Ж вЂ” Уг г1г' =- О, ггг' г» (9) Дисггерсионные соотношения длл трехмерного случая. Ниже приведены знакомые вам дисперсионные соотношения, переписанные для трех измерений. П р и м е р 1. Электромагнитные волньг в вак(гулге: гь' = — с')г« = с- (й„'-,'- е„'-'„-,гг»). (10) Электромагнитные волны в дисггергирующей Пример 2 среде: (11) П р и м е р 3. Электромагнитные волны в ионосгререг (12) Дисперсионные соотношения не зависят от граничных условий. Однако граничные условия оггределягот тпп волн, с которымн нам приходится иметь дело: это могут быль стоячие волны, бегущие волны или (как мы увидим) волны смешанного типа. Стоячие волны. Суперпозиция двух бегущих плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях и имеющих одинаковую амплитуду (и частоту), дает стоячую волну «))(х, у, г, г)=Лсоз(го(-', гр)соз(к г-,'— я).
(13) Вспомнив, что («.г =н„х+н«у+А,г, и воспользовавпшсь тригонометрическими тождествами, мы можем записать выражение (13) в виде »()(х, у, г, 1) = = Л сов (М+ гр) сов (й„к+ я,) сов ()г у+я«) сов (Iг»г+ я,). (14) Когда мы выражаем гармоническую волну через стоячие волны (14), то для гг„, нв и гг, можно взять положительные значения.
Действительно, в стоячей волне колебания пе распространяются в одном направлении (как это имеет место в бегущей волне), а «распространяются в двух направлениях сразу». Очевидно, чтофункция »р(х, у, г, 1) не изменится, если, например, заменить й„на — й„н я„на — я,. Таким образом, мы можем оставить все три значения й», ль, /г, положительными и (в случае необходимости) изменить соответствующим образом константы я„я, и я,.
Смесь бегущей и стоячей волн. В одномерном пространстве суперпозиция двух стоячих волн может дать бегущую волну. Аналогично, стоячую волну можно представить в виде суперпозиция 302 — = сг у г гр. д гг)г дгг (!8) П р и м е р 2. Электролгагнитные волны в однородной диспергирующей среде, Если принять во внимание дисперсиоиное соотношение (11), то волновое уравнение для гармонической волны частоты со будет иметь вид дгг!г «г — = — г ггр. д~г в'(ы) 303 двух бегущих волн. Возможна суперпозиция более общего характера, которая пе образует ни чисто бегущей, ни чисто стоячей волны. Все это справедливо и для трехмерного пространства.
Здесь, однако, возникает дополнительная свобода, связанная с тем, что три координаты «иезависимы». Так, например, возможна волна, которая по оси х имеет постоянную составляющую, по оси у представляет собой стоячую волну, а по оси г — бегущую: гр(х, у, г, 1)=гр(у, г, 1)=Аз)п(к,у)соз()г,г — М). (15) Позже мы встретимся с различньп|и примерами таких смешанных волн.
Трехмерные волновыс уравнения и классическое волновое уравнение. Любая трехмерная спнусоидальная гармоническая волна независимо от того, является ли оиа стоячей, бегущей или волной смешанного типа, удовлетворяет следующим уравнениям (вы легко можете это доказать): дгг (16) Приведем примеры волновых уравнений, соответствующих дисперсионным соотношениям (10), (11) и (12). П р и м е р 1, Электролгагнилшые волны в вакуулге. Используя уравнения (16) и (10), мы находим, что волновая функциядля отдельной гармонической составляющей с частотой гв и волновым числом й удовлетворяет дифферспциальиому уравнению —.. =-сгг — г-1- —,+ —,~. дгг(г ! дгг(, дгг) дгг)г 1 дР ! дх" дуг дг» 1 ' (17) Так как с не зависит от частоты, то волновое уравнение (17) справедливо для каждой гармонической составляющей, а также для произвольной суперпозиция стоячих и бегущих электромагнитных волн в вакууме.
Уравнение (17) представляет собой трехмерное классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Аналогичное уравнение справедливо для любой другой трехмерной недиспергирующей волны, например звуковой волны в воздухе. Правая часть уравнения (17) представляет собой произведение сг на Йчйтаб »Р, что иначе можно записать в виде т7 ргР или Рне. г г. прнзгауголивыл вол-азад. полувеы пз передзюпгел лпи л е пгрнллелвныыи плзетн- нвын дабввлаппеы провод.пдггт боковых плзгтг|п в д=о н у=гтй Стрел~ зии показ но ыгповеиное злоктр ~ еское пале на и.,е валног оде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
