Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(Под двумя сопряженными точкамн мы подразумеваем точки на диаметре круга, расположенные по обе стороны от центра, на равных расстояниях ст него.) Когда пакет проходит через сопряженный фокус, то образуется временная стоячая волна (точно так же, как образуется временная стоячая волна, когда волновой пакет распространяется по «пружине», конец которой привязан к стене, а на другом конце возбуждаются волновые пакеты).
Это дает вам возможность оценить среднее время прибытия панета (в фокус). Есть лп разница во временах прибытия коротковолновых и длвнноволновых составляющих пакета? Зтот эффект трудно измерить, но легко наблюдать. Опьц, который мы не сделали, должен был бы заилючатьси в образовании волновых пакетов с определенной данной волны и групповой скоростью в равномерно текущем потоке, скорость которого равна групповой скорости пакета. В этом случае пакет будет оставаться практически на одном месте относительно покоящегося иабл>одателя. Конечно, зто наиболее наглядный способ изучения волновых пакетов.
6.12. Опыт. Волновые пакеты в джиной воде; при,пыи>ге аолны. В задаче 2.3! вы изучали закон дисперсии для пилообразных стоячих волн в мелиой воде и получили, что из гз 1,1 Уй?< Лля синусоидальных волн в мелкой воде фазовая скорость равна пб =- )< ЯД. Таким образом, волны в мелкой ваде не имеют дисперсии. (Фазовая скорость не зависит от длины волны).
Теперь вместо стоячих волн рассмотрим волновые панеты, распространяющиеся по мелкой воде. Так как волны иедиспергирующие, то одна <отдельная волна» или «прнливиая волна» будет распространяться без изменения своей формы (в первом приближении). Такие волны могут быть возбуждены подводнымн землетрясениями в оксане. В этом случае они называются <цунами». Средняя глубина океана близка к 5 кж (?<=-5 ! 0' сл). Поэтому приливные волны с длиной, много большей 5 хм, можяо считать волнами в мелкой воде.
В океане цунами распространяется со скоростью о= )?6<< —. )< 980 5 10' —.2,2 10'=220 м,'сея?-790 км,'ч, что нескольио меньше скорости обычного реактивного самолета. Снольио времени нужно такой волне, чтобы пройти расстояние от Аляски до Гавайез? В 1883 г, произошла извержение вулкана Кракшау, сопровождавшееся самым большим в >шре взрывом. (Кракатау расположен в Зоидском проливе, между островами Суматрои и Явой. Описание этого взрыва можно найти в энциклопедии.) Образовались огромные приливные и атмосферные волны.
Недавно было обнаружено существование воздушных бегущих волн, распространяющихся со скоростью 220 и!с«х. (Напомним, что скорость звука при 0 "С равна 332 м!се«.) Существование этих воздушных вали, возможно, объясняет, почему приливные водяные волны от взрыва появлялись с обратной стороны материкоа, которые должны были бы блокировать прохождение водяных волн. По-видимому, приливные волны «перепрыгивали> материковые массивы, будучи связанньпш с воздушными волнами, имеющилш ту же скорость (и то же время возбуждения) '). Вы можете создать свои собственные мелководные приливные волны.
Возь. мите квадратный сосуд со стороной около 50 см. Наполните его водой на глубину Н> †: ! см. Резко толкните сосуд (или поднимите один конец сосуда и неожиданно бросьте его). Таким образом вы создадите два бегущих волновых пакета на двух концах сосуда, распространяющихся в противоположных направлениях. Следите за ббльшим из двух пакетов.
Измерьте скорость пакета, засекая время прохождения пакетом нескольких длин сосуда. Воспользуйтесь секундомером. Можно также с и<тать хлопки, которые соответствуют удару пакета о стенки сосуда, запоминая «музыкальный темп» и измеряя его с помощью часов. Наскольио хорошо согласу" ») См. статью: Г. Р г е з и, О. Н а г 1< г 1 б е г, А(г-5еа 9?ачеэ 1гош 1)те Ехр1оз(оп о1 Кга1<а1оа, 5с)енсе 154, 1325 (Пес. 9, 1966). 286 ются ваши результаты со значением скорости и.= )' уй? Увеличивая глубину воды, вы постепенно дойдете до глубины, когда волны уже ие будут мелководными В агом случае дисперсионное соотношение постепенно переходит в дисперсиовное соотношение для глубоководных гравитационных волн юг=уй, т. е. (Мы выведем это соотношение в гяаве 7.) Таким образом, волновой панет будет распространяться, не сохраняя свою форму Пля достаточно мелкой воды (глубин« меньше ! см) форма пакета сохраняется очень хорошо на нескольких метрах.
Наконец, возбудите бегущую приливную волну в ванне, «толкнув с помощью доски сразу всю воду аа одном конце ванны. Измерьте время распространения волны «туда и обратно> н определите скорость. Равна ли она )«й~й ? 6.13. Опыт, Музыкальныв трели и полоса частот. Для этого опыта необходим рояль. Возьмите трель на двух соседних нотах [отличающихся на полтона), Начните с двух высоких нот. Перебирайте две соседние клавиши медленно, затем тан быстро, как только можете. Оцепите частоту трели.
Мажете ли вы еще различить обе ноты в трели? Теперь возьмите трель на двух соседних басовых нотах, перебирая клавиши вначале очень медленно, затем все более быстро. Существует ли частота трели, начиная с которой звучание двух нот переходит в беспорядочную, неразличимую смесь? Оцените эту частоту. Теперь сделайте расчет и решите, насколько хорошо ваше ухо и мозг различают два отдельных максимума в разложеаии Фурье в том случае, когда ширина пикав по частоте (измеренная на уровне половинной мощности) не мала по сравнению с расстоянием (по частоте) межд? максимумами пикон. 6.14.
Групповая скорость за граничными частотами. Покажите, что для системы связанных маятников групповая скорость на частотах, меньших нижней граничной частоты и больших верхней граничной частоты, равна нулю. Чему равна фазовая скорость на днух этих частотах? Нарисуйте график дисперсионного соотношения, т. е. график заниснмости ю от й. Покажите, как из этой диаграммы можно определить фазовую и групповую скорости.
6,15. Фурье-анализ зкснонгнциальнай функции. Рассмотрим функцию [(1), которая равна нулю для отрицательных г и равна ехр ( — 1?21) для 12>О, найдите коэффициенты Фурье А(ы) и В(ю) этой функции в случае представления [[Г) непрерывной суперпозицией (интегралом Фурье): [(т) = ~ [А (ю) з!п ыт+В (ю) соз ю?[ дю.
о 6.16. Фурье.анализ одного колебания синусаидальной волны. Предположим, что функция [(1) равна нулю всюду, за исключением интервала от 1=1, до Г=-Гг. Предположим далее, что на интервале л( — — г,— 1> функция [(1) совершает точно одно синусовдальное колебание с угловой частотой юь (т. е. Л(=.Т>=-2п?юь), причем на концах интервала функция имеет нулевые значения. Найдите коэффициенты Фурье А(ы) и В(ы) в случае представления этой функции ивтегралом Фурье; [(1) =- ~ [А (ы) з!п ы(( — 1>)+В (ы) соз ю(1 — (ь)[ дю. о Нарисуйте примерный график зависимости коэффициентов Фурье от еь Нарисуйте также функцию [(О. 6.17.
Струна с грузами. Выведите выражения лля групповой скорости бегущих волн в струне с грузами. Нарисуйте (грубо) график дисперсионного соотношения для струны с грузами при изменении й от у=О до максимального значения. Нарисуйте (грубо) график завнси>1ости групповой скорости ст й и график зависимости филовой сноу~с~~ от й дли О(й(ймаае. 6.18. Фазовал и групповая скорости света в гтгялг. Предположим, что дисперсия определяется одним резонансом.
Пренебрегая затуханием, имгем г г а ыр ~ г 4лдеа ые — ыз~ где й? — число резонирующих электронов в единице объема. а) Нарисуйте график завнсимости квадрата показателя преломления пг от ы для Оа=ы< со. Важнымн параыетрами этого графика являются его значения и наклон прв ы=0, прв ы, чуть меньшем и чуть большем ы„при го= ! юг ъц ма р н прп го, равном бесконечности. Как вы объясните область, где пг отрнаательяо? облгсть около ыг? б) Выведите следующую формулу для квадрата групповой скорости: 1+— ыр Постройте зависимость (г~,.р?с)г от аь Покажите, что(огь?г)г всегда меньше, чем единица, что является требованием теории относительности. Покажите, что о -' ь гр отрицательно в том жс диапазоне частот, где и отрицательно.
Для какои частоты группован скорость максимальна? Чег у равна групповая скорость на этой частоте? 6.!9. Фазовая и групповал скорости а ггубокой воде. Дисперсионное соотношение гпжет ввд Тйг ыг=уй+ —, р рде й=980, Т=-72 и р=1,0 (все в единицах СГС). Выведите формулу для группо. сой н фазовой скорости. Покажите, что групповая скорость равна фазовой, когда уй и Тйг?р равны, и что это имеет место для длины волны 1,7 гм и скорости 23,1 гмуггк.
Г!окажите, что для волн поверхностного ншачжгния, т. е. волн с длиной, значительно меньшей 1,7 си, групповая скорость равна фазовой, уыноженной пз 1,5. Покажите, что для гражгтационньы волн, т. е, волн с длиной волны значительно большей, чеы 1,7 гм, групповая скорость равна половине фазовой. Продол,ките табл. 6.1 из п. 6.2, включив в нее волны сданной 128 л~ и 256 м. Значенве скоростей дайте в кмуч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
